Freie Faltung

Die freie Faltung ist eine binäre Operation auf Wahrscheinlichkeitsmaßen auf <math> \mathbb{R}</math>, welche der Addition von freien Zufallsvariablen entspricht.

Definition

Seien <math>x</math> und <math>y</math> selbstadjungierte Zufallsvariable in einem nicht-kommutativen Wahrscheinlichkeitsraum, welche frei im Sinne der freien Wahrscheinlichkeitstheorie sind. Sei <math>\mu</math> die Verteilung von <math>x</math> und <math>\nu</math> die Verteilung von <Math>y</math>. Dann hängt die Verteilung von <math>x+y</math> nur von <math>\mu</math> und von <math>\nu</math> ab (und nicht von der konkreten Realisierung von <math>x</math> oder von <math>y</math>); diese Verteilung von <math>x+y</math> wird mit <math>\mu\boxplus\nu</math> bezeichnet und ist die freie Faltung von <math>\mu</math> und <math>\nu</math>.

Freie harmonische Analysis

Die Untersuchung der Eigenschaften von <math>\boxplus</math> wird meist als freie harmonische Analysis bezeichnet. Es gibt eine weitentwickelte Theorie der Eigenschaften von <math>\boxplus</math>, welche oft (aber nicht immer) parallel zur Theorie der klassischen Faltung verläuft.<ref>D.-V. Voiculescu, N. Stammeier, M. Weber (eds.): Free Probability and Operator Algebras, Münster Lectures in Mathematics, EMS, 2016, Chapter 6</ref><ref>James A. Mingo, Roland Speicher: Free Probability and Random Matrices. Fields Institute Monographs, Bd. 35, Springer Verlag, New York, 2017, Chapter 3</ref>

Literatur

• Alexandru Nica, Roland Speicher: Lectures on the Combinatorics of Free Probability (= London Mathematical Society Lecture Note Series. Bd. 335). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2006, ISBN 0-521-85852-6.
• Fumio Hiai, Dénes Petz: The Semicircle Law, Free Random Variables, and Entropy (= Mathematical Surveys and Monographs. Bd. 77). American Mathematical Society, Providence RI 2000, ISBN 0-8218-2081-8.

Einzelnachweise

<references />