Eine Familie <math> B := \{b_i \mid i\in I\} </math> von Elementen eines Moduls (oder allgemeiner eines Linksmoduls) <math> F </math> über einem Ring <math>R</math> heißt linear unabhängig oder frei, wenn für jede endliche Indexmenge
<math> \textstyle J\subseteq I </math> und alle <math> \textstyle r_i \in R</math> gilt:
Erzeugen die <math>\{ b_i \mid i \in I \} </math> zugleich den Modul <math> F </math>, so heißt <math>B</math> eine Basis (von <math> F </math>) und der Modul <math> F </math> heißt der freie <math>R</math>-Modul über <math>B</math> oder auch einfach frei.
Jeder Ring <math>R</math> mit Einselement ist über sich selbst frei. Das heißt, <math> R_R </math> ist freier Rechtsmodul. Entsprechend ist <math> _RR </math> ein freier Linksmodul.
Ist <math> 1<n \in \N </math>, so ist der <math>\Z</math>-Modul <math> \Z/n\Z </math> nicht frei. Der Grund ist, dass für jede Restklasse <math>b+n\Z \in \Z/n\Z</math> gilt, dass <math>n \cdot (b+n\Z) = 0 + n\Z</math>. Keine Menge von Restklassen kann also linear unabhängig sein.
Der <math>\Z</math>-Modul <math> \Q </math> ist torsionsfrei, aber nicht frei (freie Moduln sind immer torsionsfrei).
Ist <math>n</math> eine natürliche Zahl, so ist <math> R^n =\left\{\begin{pmatrix} r_1,\dots, r_n\end{pmatrix}\mid r_1,\dots r_n \in R\right\}</math> ein freier Modul. Eine Basis ist die Familie <math> (e_i \mid i \in \{1,\dots, n\})</math>. Dabei ist die <math>i</math>-te Komponente von <math> e_i </math> gleich <math> 1 </math>, alle anderen Komponenten sind <math>0</math>. Dieses Beispiel ordnet sich folgender Situation unter: Ist <math>I</math> eine beliebige Menge, und <math> (F_i|i \in I) </math> eine Familie von Moduln, so ist das Koprodukt <math>\bigoplus_{i \in I}F_i</math> genau dann frei, wenn alle <math> F_i </math> frei sind. Insbesondere ist <math> R^{(I)} </math> frei.
Das Produkt einer Familie von freien Moduln ist im Allgemeinen nicht frei. So ist beispielsweise <math> \Z^{\N} </math> nicht frei.<ref>Tsit-Yuen Lam: Lectures on modules and rings. GTM 189, Springer, 1999, ISBN 0-387-98428-3, S. 22 f.</ref>
Der Polynomring <math> \textstyle R[X] </math> über dem Ring <math> R </math> ist ein freier Modul mit Basis <math> (X^i |i \in \N) </math>.
Die Menge der positiven rationalen Zahlen <math> \Q^{+} </math> ist bezüglich der Multiplikation eine kommutative Gruppe. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung lässt sich jedes <math> r \in \Q^{+} </math> eindeutig schreiben <math> r=p_1^{z_1}\cdots p_n^{z_n} </math> mit Primzahlen <math> p_1, \dots, p_n </math>. Es ist also <math> \Q^{+} </math> eine freie abelsche Gruppe mit abzählbarer Basis.
Der Ring <math> R </math> ist genau dann ein Schiefkörper, wenn jeder Modul über diesem Ring frei ist.
Viele der Sätze über Basen von Vektorräumen gelten bei freien Moduln nicht mehr:
Ist <math> \textstyle V </math> ein Vektorraum über dem Körper <math> K </math> mit einer Basis von <math> \textstyle n </math> Elementen, so ist jedes System von <math> \textstyle n </math> freien Elementen auch ein Erzeugendensystem, also eine Basis. Über Ringen gilt das im Allgemeinen nicht: So ist beispielsweise im <math>\Z</math>-Modul <math>\Z</math> die Menge <math> \textstyle \{2\} </math> frei, aber keine Basis.
Ist <math>V</math> ein Vektorraum, so sind je zwei Basen gleich mächtig. Dies gilt noch bei kommutativen Ringen. Ist also der Ring <math> R </math> kommutativ und <math> R^n \cong R^m </math>, so ist <math> n=m </math>. Einen kurzen relativ elementaren Beweis hierzu findet man in dem Buch von Jens Carsten Jantzen und Joachim Schwermer.<ref>Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra, Springer, 2006, ISBN 3-540-21380-5, doi:10.1007/3-540-29287-X, Seite 165</ref> Über nicht kommutativen Ringen <math>R </math> ist der Satz im Allgemeinen falsch. Ein Beispiel ist die Menge der <math>R</math>-Endomorphismen eines freien <math>R</math>-Moduls mit unendlicher Basis. Man kann daher den Rang eines freien Moduls nicht allgemein definieren. Ringe, bei denen je zwei Basen eines freien Moduls gleich mächtig sind, heißen IBN-Ringe.<ref>Siehe hierzu den Artikel en:Invariant basis number</ref> Noethersche Ringe haben diese Eigenschaft.
Es gilt allgemeiner: Ist <math> \rho \colon R \rightarrow S </math> ein Homomorphismus von Ringen und ist <math> S </math> ein IBN-Ring, so auch <math> R </math>. Gibt es also beispielsweise von <math> R </math> einen Ringhomomorphismus nach einem noetherschen Ring <math> S </math>, so ist <math> R </math> ein IBN-Ring.
Ist <math> (m_i|i \in I)</math> eine Familie von Elementen aus dem Modul <math> M </math>, so gibt es genau einen Homomorphismus <math> R^{(I)}= \bigoplus_{i \in I}R e_i \rightarrow M </math> mit <math> f(e_i) = m_i </math>. Dabei ist <math> (e_i|i \in I) </math> eine Basis (im Zweifel die kanonische) von <math> R^{(I)} </math>. Erzeugt die Familie <math> (m_i|i \in I) </math> den Modul <math> M </math>, so ist <math> f </math> ein Epimorphismus. Jeder Modul ist also epimorphes Bild eines freien Moduls.
Ist <math> F </math> ein freier Modul und <math> f\colon M \rightarrow F </math> ein Epimorphismus, so ist <math> \operatorname{Kern}(f) </math> direkter Summand in <math> M </math>. Es gibt ein <math> g\colon F \rightarrow M </math> mit <math> f\circ g = \mathbf{1}_F </math>.
Die Aussage 1. kann allgemeiner und zugleich genauer ausgedrückt werden. Zu jeder Menge <math> X </math> gehört der freie Modul <math> \mathbf{F}(X):= R^{(X)} </math> und die kanonische injektive Abbildung <math> \Phi(X)\colon X \ni x \mapsto e_x \in R^{(X)} </math>. Ist <math> Y </math> eine weitere Menge und <math> \alpha\colon X \rightarrow Y </math> eine Abbildung zwischen den Mengen, so gibt es zu der Familie <math> (e_{\alpha(x)}| x\in X) </math> genau einen Homomorphismus <math> \mathbf{F}(\alpha)\colon \mathbf{F}(X) \rightarrow \mathbf{F}(Y) </math>, so dass <math> \mathbf{F}(\alpha) \circ \Phi(X)= \Phi(Y) \circ \alpha </math> gilt. Das heißt, folgendes Diagramm ist kommutativ:Datei:Funktorinfreiesobjekt.png Sind <math> \alpha\colon X \rightarrow Y\, \beta\colon Y \rightarrow Z </math> Abbildungen, so ist <math> \mathbf{F}(\alpha \circ \beta) = \mathbf{F}(\alpha) \circ \mathbf{F}(\beta) </math>. In der Sprache der Kategorientheorie lässt sich das so ausdrücken: <math> \mathbf{F} </math> ist ein treuer Funktor von der Kategorie der Mengen in die Kategorie der freien Moduln. <math> \Phi </math> ist ein funktorieller Monomorphismus zwischen dem Identitätsfunktor und dem Funktor <math> \mathbf{F} </math>.
Wie in 3. gehört zu jedem Modul <math> M </math> der freie Modul <math> F(M) = R^{(M)}=\bigoplus_{m \in M}R e_m </math>. Dazu gehört der eindeutig bestimmte Epimorphismus <math> \Psi(M):F(M) \ni e_m\mapsto m \in M </math>. Für alle <math> \alpha\colon M \rightarrow N </math> ist <math> \Psi(N)\circ F(\alpha)= \alpha\circ \Psi(N) </math>. Es ist <math> \Psi </math> ein funktorieller Epimorphismus zwischen dem Funktor <math> \mathbf{F} </math> und dem Identitätsfunktor.
Zu jeder Menge <math>S</math> und jedem Ring <math>R</math> gibt es den freien <math>R</math>-Linksmodul <math>FS</math> über <math>S</math>. Sein Träger ist die Menge der formalen Linearkombinationen von <math>S</math>-Elementen, kodiert etwa als <math>FS := \{v\colon S \to R \mid \{s\in S \mid v(s) \neq 0\} \text{ endlich}\}</math>.
Addition und Skalarmultiplikation erfolgen dabei punktweise:
<math>+</math>
<math>\colon</math>
<math>FS\times FS \to FS</math>
<math>(v+w)(s) := v(s)+w(s)</math>
<math>\cdot</math>
<math>\colon</math>
<math>R\times FS \to FS</math>
<math> (r\cdot v)(s) := r\cdot v(s)</math>
Die Elemente von <math>S</math> sind hierbei keine Elemente von <math>FS</math>. Wenn <math>R</math> eine <math>1=:e</math> (oder auch nur eine Links-Erzeugende <math>e</math> mit <math>\Z e + R e = R</math>) hat, so lassen sie sich aber einbetten mittels
Der freie <math>R</math>-Rechtsmodul ist der freie <math>R^\text{op}</math>-Linksmodul, wobei <math>R^\text{op}</math> den Gegenring von <math>R</math> bezeichnet.
Das folgende Diagramm setzt die Freiheit eines Moduls <math>M</math> über einem kommutativen Ring <math>A</math> mit den Eigenschaften projektiv, flach und torsionsfrei in Beziehung:
