Frobenius-Methode

Die Frobenius-Methode, nach Ferdinand Georg Frobenius (1849–1917), ist eine Methode um Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

zu finden, wobei <math>(z-z_0) p(z)</math> und <math>(z-z_0)^2 q(z)</math> als analytisch in einer Umgebung von <math>z=z_0</math> vorausgesetzt werden. Die Idee ist es Lösungen in der Form einer verallgemeinerten Potenzreihe

<math>u(z) = (z-z_0)^\alpha \sum_{n=0}^\infty u_n (z-z_0)^n</math>

anzusetzen und die unbekannten Koeffizienten <math>\alpha, u_n</math> durch Koeffizientenvergleich zu bestimmen. Der zentrale Satz wurde zuerst von Lazarus Immanuel Fuchs basierend auf Arbeiten von Karl Weierstraß bewiesen<ref>L. Fuchs: Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 66 (1866) S. 121. </ref> und danach von Frobenius verallgemeinert<ref>G. Frobenius: Ueber die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 76 (1873), S. 214. </ref>.

Satz von Fuchs[Bearbeiten]

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir <math>z_0=0</math> setzen. Gegeben sei die Differentialgleichung

wobei <math>p(z)</math> bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und <math>q(z)</math> bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung hat. Sie können also in der Form

<math>p(z) = \frac{1}{z} \sum_{n=0}^\infty p_n z^n, \qquad q(z) = \frac{1}{z^2} \sum_{n=0}^\infty q_n z^n</math>

geschrieben werden, wobei die Reihen in einer Umgebung von 0 konvergieren.

Die charakteristischen Exponenten

<math>\alpha_{1,2} = \frac{1}{2} \left( 1-p_0 \pm \sqrt{(p_0-1)^2 - 4q_0} \right)</math>

sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung

<math>\alpha^2 + (p_0-1) \alpha + q_0 =0,</math>

welche sich durch Koeffizientenvergleich für <math>z^{\alpha-2}</math> in obiger Differentialgleichung ergibt,

und wir können sie gemäß <math>\mathrm{Re}(\alpha_1 ) \geq \mathrm{Re}(\alpha_2 )</math> ordnen.

Dann gilt folgende Fallunterscheidung:

Ist <math>\alpha_1-\alpha_2</math> keine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form

<math>u_j(z) = z^{\alpha_j} \sum_{n=0}^\infty u_{j,n} z^n, \qquad u_{j,0}=1, \quad j=1,2.</math>

Ist <math>\alpha_1-\alpha_2</math> eine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form

<math>u_1(z) = z^{\alpha_1} \sum_{n=0}^\infty u_{1,n} z^n, \qquad u_2(z) = z^{\alpha_2} \sum_{n=0}^\infty u_{2,n} z^n + c \log(z) u_1(z), \qquad u_{j,0}=1.</math>

Der Konvergenzradius entspricht dem Minimum des Konvergenzradius der Reihen für <math>p(z)</math> und <math>q(z)</math>.

Auch die Umkehrung gilt: Gibt es zwei Lösungen der obigen Form, so hat <math>p(z)</math> bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und <math>q(z)</math> bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung.

Eine Differentialgleichung mit meromorphen Koeffizienten, für die alle Singularitäten (inklusive <math>\infty</math>) vom obigen Typ sind, wird als Fuchssche Differentialgleichung bezeichnet.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Der Satz von Fuchs kann auf Differentialgleichungen höherer Ordnung und auf Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung verallgemeinert werden.

Anwendungen[Bearbeiten]

Mit der Methode von Frobenius können folgende Differentialgleichungen gelöst werden:

Literatur[Bearbeiten]

Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (freie Onlineversion).
Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-67642-2.

Einzelnachweise[Bearbeiten]