Funktionenkörper

In der Algebra bezeichnet ein (algebraischer) Funktionenkörper ein Körper <math>K</math>, wenn die Körpererweiterung <math>K/k</math> endlich erzeugt und von endlichem Transzendenzgrad <math>n</math> ist. Äquivalent ist <math>K/k</math> eine endliche Erweiterung des Körpers <math>k(x_1,\ldots,x_n)</math> der rationalen Funktionen in <math>n</math> algebraisch unabhängigen Variablen über <math>k</math>. Die Elemente <math>x_1,\ldots,x_n</math> bilden dabei eine Transzendenzbasis von <math>K/k</math>.

Funktionenkörper lassen sich geometrisch als Körper rationaler Funktionen algebraischer Varietäten interpretieren, das bedeutet <math>K \cong k(X)</math> wobei <math>X</math> eine algebraische Varietät bezeichnet und <math>k(X)</math> der Körper rationaler Funktionen auf <math>X</math>. Im Fall <math>n=1</math> entsprechen sie den Körpern rationaler Funktionen algebraischer Kurven.

Funktionenkörper über endlichen Körpern spielen auch in der algebraischen Zahlentheorie eine wichtige Rolle.

Algebraische Definition

Es sei <math>k</math> ein Körper. Dann heißt ein transzendenter Erweiterungskörper <math>K/k</math> von endlichem Transzendenzgrad ein (algebraischer) Funktionenkörper.

Der algebraische Abschluss von <math>k</math> in <math>K</math> heißt Konstantenkörper.

Funktionenkörper im engeren Sinne sind Funktionenkörper vom Transzendenzgrad 1 über einem endlichen Körper. Zusammen mit den algebraischen Zahlkörpern bilden sie die Klasse der globalen Körper.

Geometrische Definition

Ist <math>X</math> ein ganzes algebraisches Schema über einem Körper <math>k</math>, so heißt der Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt Funktionenkörper von <math>X</math>. Er ist ein Funktionenkörper über <math>k</math> im algebraischen Sinne.

Beispiel

• Sei <math>x</math> eine Variable über einem Körper <math>K</math>. Der rationale Funktionenkörper <math>K(x)</math> ist der Quotientenkörper des Polynomrings <math>K[x]</math>:

<math>K(x)=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}|\;f,g\in K[x],\ g\neq 0\right\}.</math>

Die Elemente von <math>K(x)</math> sind also rationale Funktionen der Form <math>r=\frac{f(x)}{g(x)}.</math>

• Sei <math>X</math> die algebraische Kurve <math>y^2=x^2+1</math> über dem Körper <math>\mathbb{R}</math>. Die rationalen Funktionen auf <math>X</math> bilden den Funktionenkörper <math>\mathbb R(X)</math>. Er entsteht aus dem Polynomring

<math>\mathbb{R}[x,y]/(y^2-x^2-1)</math>

durch Bildung von Quotienten:

<math>\mathbb{R}(X)=\left\{\frac{f}{g}|\;f,g\in \frac{\mathbb{R}[x,y]}{(y^2-x^2-1)},\; g\neq 0\right\}.</math>

Seine Elemente sind rationale Funktionen wie zum Beispiel <math>\frac{x+y}{x-1},</math> wobei für <math>x</math> und <math>y</math> die Beziehung <math>y^2=x^2+1</math> gelten muss.

Literatur

• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer, 2006, ISBN 9783540376637, S. 99 ff.