HOMFLY-Polynom

Das HOMFLY-Polynom, auch HOMFLY-PT-Polynom, ist in der Knotentheorie eine Verallgemeinerung von Alexander-Polynom und Jones-Polynom, die jedem Knoten ein Polynom in den Variablen <math>m</math> und <math>l</math> zuordnet. Auch ist es ein Beispiel einer Quanteninvariante.

Der Name setzt sich aus den Initialen der Mitentdecker zusammen: Jim Hoste, Adrian Ocneanu, Kenneth Millett, Peter Freyd, W. B. R. Lickorish, David N. Yetter<ref>Freyd, P.; Yetter, D., Hoste, J., Lickorish, W.B.R., Millett, K., and Ocneanu, A. (1985). "A New Polynomial Invariant of Knots and Links". Bulletin of the American Mathematical Society 12 (2): 239–246</ref>, Józef H. Przytycki, Paweł Traczyk.

Definition

Das Polynom wird wie folgt definiert:

<math>P( \mathrm{unknot} ) = 1,\,</math>

<math>\ell P(L_+) + \ell^{-1}P(L_-) + mP(L_0)=0,\,</math>

wobei <math>L_+, L_-, L_0</math> Verbindungen sind, die durch Überkreuzen und Glätten gebildet werden.

Datei:Skein (HOMFLY).svg

Das HOMFLY-Polynom einer Verschlingung <math>L</math>, die die disjunkte Vereinigung zweier Verschlingungen <math>L_1</math> und <math>L_2</math> ist, ergibt

<math>P(L) = \frac{-(\ell+\ell^{-1})}{m} P(L_1)P(L_2).</math>

Eigenschaften

Es gilt

<math>P(L_1 \# L_2)=P(L_1)P(L_2),\,</math>,

wobei <math>\#</math> die verbundene Summe bezeichnet; daher ist das HOMFLY-Polynom eines zusammengesetzten Knotens das Produkt der HOMFLY-Polynome seiner Komponenten.

Außerdem ist

<math>P_K(\ell,m)=P_{\text{Mirror Image}(K)}(\ell^{-1},m),\,</math>,

also kann das HOMFLY-Polynom oft genutzt werden, um zwischen zwei Knoten unterschiedlicher Chiralität zu unterscheiden, obwohl es chirale Paare von Knoten gibt, die dasselbe HOMFLY-Polynom haben, z. B. 9₄₂ und 10₇₁.<ref>P. Ramadevi, T.R. Govindarajan, R.K. Kaul: Chirality of Knots 9₄₂ and 10₇₁ and Chern-Simons Theory.</ref>

Das Jones-Polynom <math>V(t)</math> und das Alexander-Polynom <math>\Delta(t)\,</math> können aus dem HOMFLY-Polynom wie folgt berechnet werden:

<math>V(t)=P(l=t^{-1},m=t^{-1/2}-t^{1/2}),\,</math>

<math>\Delta(t)=P(l=1,m=t^{-1/2}-t^{1/2}).\,</math>

Allgemeiner lässt sich die <math>{\mathfrak sl}_N</math>-Quanteninvariante aus dem HOMFLY-Polynom berechnen.

Literatur

• Louis H. Kauffman: Formal knot theory, 1983

Weblinks

• Gukov, Saberi: Lectures on knot homology and quantum curves

Einzelnachweise

<references />