Heston-Modell

Das Heston-Modell ist ein auf Steven Heston zurückgehendes mathematisches Modell zur Bewertung von Finanzoptionen. Im Gegensatz zum älteren Black-Scholes-Modell erlaubt das Heston-Modell, eine stochastische Volatilität anzunehmen. Es handelt sich demnach um ein stochastisches Volatilitätsmodell.

Definition

Seien <math>W, B</math> zwei Wienerprozesse mit <math>\rho = {\operatorname{d}\!\langle W, B \rangle_t \over\operatorname{d}\!t}</math> und Zinsrate <math>r \geq 0</math>. Der Preisprozess <math>S</math> folge der Dynamik <math>{\operatorname{d}\!S_t\over S_t} = r \operatorname{d}\!t + \sqrt{v_t} \operatorname{d}\!W_t</math> wobei die Volatilität durch <math>\operatorname{d}\!v_t = \alpha (\beta - v_t) \operatorname{d}\!t + \gamma \sqrt{v_t} \operatorname{d}\!B_t</math>

mit Startbedingung <math>v_o = v > 0</math> und Parametern <math>\alpha, \beta, \gamma > 0</math> gegeben ist.

Eigenschaften

Üblicherweise sind die treibenden Rauschgrößen <math>W</math> und <math>B</math> negativ korreliert, also <math>\rho < 0</math>, was dem Hebeleffekt entspricht. Das entspricht der Beobachtung, dass die Volatilität üblicherweise niedriger ist bei steigenden Kursen und größer bei fallenden (Verkaufspanik).

Die Dynamik der Volatilität entspricht einem Wurzeldiffusionsprozess und nach einem Satz von Yamada und Watanabe existiert eine starke Lösung der stochastischen Differentialgleichung des Wurzeldiffusionsprozesses, die sich als Funktional des Wienerprozesses <math>B</math> formulieren lässt. Dieses Funktional entspricht dem Vega. Insbesondere ist diese Lösung nicht-negativ. Damit die Lösung nicht vorhersagbar wird, muss sie sogar strikt positiv sein, wofür die Feller-Bedingung erfüllt werde:

Satz. Setze <math>d := \frac{4 \alpha \beta}{\gamma^2}</math>. Wenn <math>d > 2</math>, dann gilt <math>\inf\{t \geq 0 \vert V_t = 0\} = \infty</math> fast sicher.

Der Wurzeldiffusionsprozess erfüllt im deterministischen Teil den Effekt der Mittelwertrückkehr, wobei <math>\alpha</math> die Intensität und <math>\beta</math> den langzeitlichen Mittelwert darstellen. Der Faktor <math>\gamma</math> wird auch die "Volatilität der Volatilität" () genannt.

Satz. Ist <math>d \in \N \backslash \{0,1\}</math>, dann ist <math>(v_t)_{t\geq 0} \sim \Bigl( \sum_{i=1}^d (X^i_t)^2 \Bigr)_{t \geq 0}</math> in Verteilung für <math>d</math> unabhängige Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse mit Dynamik <math>\operatorname{d}\!X^i_t = \frac{\gamma}{2} \operatorname{d}\!W^i_t - \frac{\alpha}{2} X^i_t \operatorname{d}\!t</math> und Startbedingung <math>\sum_{i=1}^d (X^i_0)^2 = v_0</math>.

Siehe auch

• SABR-Modell

Literatur

• Steven L. Heston: A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options. The Review of Financial Studies, 1993 (6), 2, S. 327–343.