Hilbert-Metrik

In der Geometrie sind Hilbert-Metriken gewisse Metriken auf beschränkten konvexen Teilmengen des euklidischen Raumes, die das Beltrami-Klein-Modell der hyperbolischen Geometrie verallgemeinern.

Definition

Datei:Convex polygon illustration1.svg

Eine kompakte konvexe Menge.

Sei <math>\Omega\subset\mathbb R^n</math> eine beschränkte, offene, konvexe Menge. Zu je zwei Punkten <math>x,y\in \Omega</math> gibt es dann eine eindeutige Gerade durch <math>x,y</math> und zwei eindeutige Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Rand <math>\partial\Omega</math>. Die beiden Schnittpunkte seien mit <math>a,b</math> bezeichnet, wobei <math>a</math> näher an <math>x</math> und <math>b</math> näher an <math>y</math> liege. Der Hilbert-Abstand <math>d_H</math> ist dann auf <math>\Omega</math> definiert durch die Formel

<math>d_{Hilb}(x,y):=\log\frac{\parallel y-a\parallel.\parallel x-b\parallel}{\parallel x-a\parallel.\parallel y-b\parallel}</math>

für <math>x\not=y</math> und <math>d_{Hilb}(x,x)=0</math>.

Die Hilbert-Metrik stammt nicht immer von einer Riemannschen Metrik, aber immer von einer Finsler-Metrik definiert durch

<math>F(v_x):=\frac{d}{dt}\mid_{t=0}d_{Hilb}(x,x+tv_x)</math>

für <math>x\in\Omega\subset\mathbb R^n,v_x\in T_x\Omega\cong\mathbb R^n</math>.

Eigenschaften

Im Folgenden seien <math>\Omega_1,\Omega_2\subset \mathbb R^n</math> zwei kompakte, konvexe Mengen und <math>d_1,d_2</math> die den beiden Mengen zugeordneten Hilbert-Metriken.

• Aus <math>\Omega_1\subset\Omega_2</math> folgt <math>d_1(x,y)\ge d_2(x,y)</math> für alle <math>x,y\in\Omega_1</math>.
• Wenn es eine lineare Abbildung <math>A:\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^n</math> mit <math>\Omega_2=A(\Omega_1)</math> gibt, dann ist <math>d_1(x,y)=d_2(Ax,Ay)</math> für alle <math>x,y\in\Omega_1</math>.

Beispiele

• Sei <math>\Omega=\mathbb D^n</math> die Einheitskugel und <math>d_{Hyp}</math> der Abstand im Beltrami-Klein-Modell des hyperbolischen Raumes, dann gilt

<math>d_{Hilb}=2d_{Hyp}</math>.

Projektive Geometrie

Sei <math>\Omega\subset \mathbb RP^n</math> eine eigentliche, offene, konvexe Teilmenge des projektiven Raumes. (Eine Menge <math>\Omega\subset \mathbb RP^n</math> heißt eigentlich, wenn es eine <math>\Omega</math> enthaltende affine Karte <math>\Omega\subset U\cong V\subset \mathbb R^n</math> gibt, in der <math>\Omega</math> einer beschränkten Menge <math>\Omega^\prime\subset\mathbb R^n</math> entspricht.) Man definiert dann die Hilbert-Metrik auf <math>\Omega\subset\mathbb RP^n</math> durch die Hilbert-Metrik auf <math>\Omega^\prime\subset\mathbb R^n</math>. Weil die Hilbert-Metrik invariant unter linearen Abbildungen ist, hängt die so definierte Metrik nicht von der Wahl der affinen Karte ab.

Innerhalb der projektiven Geometrie kann man <math>d_{Hilb}(x,y)</math> interpretieren als das Doppelverhältnis der vier Punkte <math>a,x,b,y</math> auf der durch <math>x</math> und <math>y</math> bestimmten projektiven Geraden.

Die Gruppe der Kollineationen

<math>Coll(\Omega)=\left\{g\in PGL(n+1,\mathbb R): g\Omega=\Omega\right\}</math>

ist eine Lie-Gruppe und wirkt durch Isometrien der Hilbert-Metrik, sie lässt sich isomorph zu einer Untergruppe von <math>SL(n+1,\mathbb R)</math> hochheben.

Anwendungen

Die Hilbert-Metrik auf <Math>P(\R^n_+)</Math> wird in Birkhoffs Beweis des Satzes von Perron-Fronenius verwendet.

Weblinks

• Images des Maths: Géométrie de Hilbert

Literatur

• Yves Benoist: A survey on divisible convex sets (PDF; 165 kB)
• Ludovic Marquis: Around groups in Hilbert geometry (PDF; 2,5 MB)