Hilbertalgebra

Hilbertalgebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um Algebren mit einer zusätzlichen Prä-Hilbertraum-Struktur, woraus sich der Name Hilbertalgebra erklärt. Auf der Vervollständigung lassen sich Von-Neumann-Algebren konstruieren, was letztlich zu einer Charakterisierung der semiendlichen Von-Neumann-Algebren führt. Eine Verallgemeinerung dieser Konstruktion, die für jede Von-Neumann-Algebra gilt, führt zum Begriff der verallgemeinerten Hilbertalgebra und ist Ausgangspunkt der Tomita-Takesaki-Theorie.

Definitionen[Bearbeiten]

Eine Hilbertalgebra ist eine assoziative Algebra <math>A</math> über dem Körper <math>\Complex</math> der komplexen Zahlen zusammen mit einer Involution <math>x\mapsto x^*</math> und einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot | \cdot\rangle</math>, das <math>A</math> zu einem Prä-Hilbertraum macht, so dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

<math>\langle x|y\rangle = \langle y^*|x^*\rangle</math> für alle <math>x,y\in A</math>
<math>\langle xy|z\rangle = \langle y|x^*z\rangle</math> für alle <math>x,y,z\in A</math>
Für jedes <math>x\in U</math> ist die Abbildung <math>A\rightarrow A,\, y\mapsto xy</math> stetig in der durch das Skalarprodukt definierten Normtopologie.
Aus <math>\langle xy|z\rangle = 0</math> für alle <math>x,y\in A</math> folgt <math>z=0</math>.

Im Folgenden sei <math>H</math> der Hilbertraum, der sich als Vervollständigung von <math>A</math> ergibt. Aus der ersten Bedingung folgt, dass sich die Involution zu einer stetigen, konjugiert linearen Abbildung <math>J:H\rightarrow H</math> fortsetzt, für die

<math>J^2 = \mathrm{id}_H</math> und <math>\langle Jx|Jy\rangle = \langle y|x \rangle</math> für alle <math>x,y\in H</math>

gilt, man nennt <math>J</math> die kanonisch durch <math>A</math> definierte Involution auf <math>H</math>.

Die Abbildungen <math>y\mapsto xy</math> und <math>y\mapsto yx</math> setzen sich für jedes <math>x \in A</math> zu stetigen linearen Operatoren <math>U_x:H\rightarrow H</math> und <math>V_x:H\rightarrow H</math> fort, so dass gilt:

<math>x\mapsto U_x</math> ist ein involutiver Homomorphismus

<math>x\mapsto V_x</math> ist ein involutiver Antiomomorphismus

Die abgeschlossenen Hüllen bzgl. der schwachen Operatortopologie von <math>\{U_x|x\in A\}</math> und <math>\{V_x|x\in A\}</math> werden mit <math>U = U(A)</math> und <math>V=V(A)</math> bezeichnet und heißen die links-assoziierte bzw. rechts-assoziierte Von-Neumann-Algebra zu <math>A</math>. Zum Nachweis, dass es sich tatsächlich um Von-Neumann-Algebren handelt, insbesondere dass diese Algebren die Identität <math>\mathrm{id}_H</math> enthalten, benötigt man die vierte Bedingung obiger Definition.<ref>Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, Kapitel I.5.1: Definition of Hilbert algebras.</ref>

Man nennt eine Von-Neumann-Algebra eine Standard-von-Neumann-Algebra, wenn sie von der Form <math>U(A)=</math> ist.<ref>Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, Kapitel I, §5, Absatz 5, Definition 7.</ref>

Beispiel[Bearbeiten]

Die H*-Algebra <math>A</math> der Hilbert-Schmidt-Operatoren auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist eine Hilbertalgebra. Bezeichnet <math>\overline{H}</math> den konjugierten Hilbertraum, so ist <math>A</math> isomorph zum Hilbertraum-Tensorprodukt <math> \overline{H}\otimes H</math>. Für <math>\xi, \eta \in H</math> ist <math>\xi\otimes \eta</math> der eindimensionale Operator <math>H\rightarrow H, (\xi \otimes \eta)\zeta := \langle \zeta, \eta\rangle \xi</math>, wenn das Skalarprodukt in der ersten Komponente linear und in der zweiten konjugiert linear ist. Dann ist

<math>(\xi_1\otimes \eta_1)(\xi_2\otimes \eta_2)\zeta = (\xi_1\otimes \eta_1)(\langle \zeta, \xi_2\rangle \eta_2) = \langle \zeta, \xi_2 \rangle \langle \eta_2, \xi_1 \rangle \eta_1 = \langle \eta_2, \xi_1 \rangle (\xi_2 \otimes \eta_1)\zeta </math>

und daher

<math>(\xi_1\otimes \eta_1)(\xi_2\otimes \eta_2) = \langle \eta_2, \xi_1 \rangle (\xi_2 \otimes \eta_1)</math>,

also

<math>U_{\xi_1\otimes \eta_1}(\xi_2\otimes \eta_2) = \langle \eta_2, \xi_1 \rangle (\xi_2 \otimes \eta_1) = \xi_2 \otimes ( \langle \xi_1, \eta_2 \rangle\eta_1)</math>

<math> = \xi_2 \otimes ((\xi_1\otimes \eta_1) \eta_2) = (\mathrm{id}_H\overline{\otimes}(\xi_1\otimes \eta_1))(\xi_2\otimes \eta_2) </math>,

wobei das mit dem Querstrich bezeichnete Tensorprodukt das Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren sei. Daraus liest man

<math>U(A) = \Complex\cdot 1_{\overline H}\, \overline{\otimes}\, L(H) </math>

ab, denn die Linearkombinationen aus den eindimensionalen Operatoren <math>\xi_1\otimes \eta_1</math> liegen dicht in den jeweiligen Algebren.<ref>Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7, Teil I, Kap. 6, Abs. 5: Normal traces on L(H).</ref>

Semiendliche Von-Neumann-Algebren[Bearbeiten]

Die Von-Neumann-Algebren, die als links-assoziierte Von-Neumann-Algebren von Hilbertalgebren auftreten, sind genau die semiendlichen Von-Neumann-Algebren.<ref>Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7, Teil I, Kap. 6, Abs. 2, Theorem 1 und Theorem 2.</ref> Ist <math>A</math> eine Hilbertalgebra, so ist durch <math>\phi(U_a^*U_a) := \langle a|a\rangle</math> eine semiendliche, normale, treue Spur gegeben, die <math>U(A)</math> zu einer semiendlichen Von-Neumann-Algebra macht. Ist umgekehrt <math>U</math> eine semiendliche Von-Neumann-Algebra mit einer solchen Spur, so ist <math>A := \{a\in U| \phi(a^*a)<\infty, \phi(aa^*)<\infty\}</math> mit dem durch <math>\langle a|b \rangle := \phi(b^*a)</math> definierten Skalarprodukt eine Hilbertalgebra, deren links-assoziierte Von-Neumann-Algebra zu <math>U</math> isomorph ist.

Verallgemeinerte Hilbertalgebra[Bearbeiten]

Eine verallgemeinerte Hilbertalgebra ist eine assoziative Algebra <math>A</math> über dem Körper <math>\Complex</math> der komplexen Zahlen zusammen mit einer Involution <math>x\mapsto x^*</math> und einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot | \cdot\rangle</math>, das <math>A</math> zu einem Prä-Hilbertraum macht, so dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

Die Abbildung <math>x\mapsto x^*</math> ist ein abschließbarer, konjugiert-linearer Operator in der Vervollständigung <math>H</math>.
<math>\langle xy|z\rangle = \langle y|x^*z\rangle</math> für alle <math>x,y,z\in A</math>
Für jedes <math>x\in U</math> ist die Abbildung <math>A\rightarrow A,\, y\mapsto xy</math> stetig in der durch das Skalarprodukt definierten Normtopologie.
Aus <math>\langle xy|z\rangle = 0</math> für alle <math>x,y\in A</math> folgt <math>z=0</math>.<ref>M. Takesaki: Tomita's theory of modular Hilbert-algebras and its applications. Lecture Notes in Mathematics, Band 128, Springer-Verlag 1970, §2.</ref>

Verallgemeinerte Hilbertalgebren werden auch links-Hilbertalgebren genannt.<ref>R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II. Academic Press, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Definition 9.2.41.</ref>

Hilbertalgebren sind verallgemeinerte Hilbertalgebren. Dazu muss man zeigen, dass die Abbildung <math>A \rightarrow A</math>, <math>x\mapsto x^*</math> abschließbar ist, das heißt aus <math>x_n\rightarrow 0</math> und <math>x_n^*\rightarrow z</math> bereits <math>z=0</math> folgt. Für jedes <math>y\in A</math> folgt unter Anwendung der ersten definierenden Eigenschaft einer Hilbertalgebra

<math>\langle z, y\rangle = \lim_{n\to \infty}\langle x_n^*, y\rangle = \lim_{n\to \infty} \langle y^*, x_n \rangle = \langle y^*, 0\rangle = 0</math>

und daher <math>z=0</math>, denn <math>y\in A</math> war beliebig, das heißt <math>z</math> steht senkrecht auf einer dichten Teilmenge der Vervollständigung.

Wie oben setzen sich die Abbildungen <math>y\mapsto xy</math> zu Operatoren <math>U_x</math> auf <math>H</math> fort, ihre schwach-abgeschlossene Hülle bildet die links-assoziierte Von-Neumann-Algebra von <math>A</math>. Der Abschluss <math>S</math> der Abbildung <math>x\mapsto x^*</math> heißt Sharp-Operator, weshalb die Involution von vielen Autoren mit dem Sharp-Zeichen # geschrieben wird. Seine Polarzerlegung <math>\textstyle S=J\Delta</math> führt zu den Formeln, die im Artikel zur Tomita-Takesaki-Theorie beschrieben sind.

Eine beliebige Von-Neumann-Algebra <math>U</math> hat ein treues, normales, semiendliches Gewicht <math>\omega</math>. Dann ist <math>A:= \{a\in U|\,\omega(a^*a)<\infty, \omega(aa^*)<\infty\} </math> eine verallgemeinerte Hilbertalgebra,<ref>R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-12-393302-1, Satz 9.2.40.</ref> deren links-assoziierte Von-Neumann-Algebra zu <math>U</math> isomorph ist.

Einzelnachweise[Bearbeiten]