Hyper-Operator

Der Hyper-Operator ist eine Familie von mathematischen Operatoren. Konkret ist der erste Operator die einstellige Verknüpfung, dann kommt die Addition, die Multiplikation, die Potenzierung usw. Der Hyper-Operator dient zur kurzen Darstellung großer Zahlen wie Potenztürmen. Es gibt verschiedene Schreibweisen:

<math>\operatorname{hyper} \mathit{n} (a, b)

= \operatorname{hyper}(a, n, b) = a ^ {(n)} b = a \uparrow^{n-2} b.</math>

Herleitung der Notation[Bearbeiten]

Ausgehend von den Beobachtungen

<math>a + (b+1) = 1 + \left( a + b \right)</math>
<math>a \cdot (b+1) = a + \left( a \cdot b \right)</math>
<math>a^{(b+1)} = a \cdot \left( a^{b} \right)</math>

definiert man rekursiv einen dreistelligen Operator (mit <math>a,b,n \ge 0</math>)

<math>

 a^{(n)} b:=

\begin{cases}

 b + 1, & \text{wenn } n = 0\\
 a,  & \text{wenn }n = 1, b = 0\\
 0, & \text{wenn }n = 2, b = 0\\
 1, & \text{wenn }n > 2, b = 0\\
 a^{(n-1)} \left( a^{(n)} (b - 1) \right) & \text{sonst}

\end{cases}

</math>

und führt folgende Bezeichnungen ein:

<math>\operatorname{hyper} \mathit{n} (a, b)

= \operatorname{hyper}(a, n, b) = a ^{(n)} b. </math>

(Zu beachten ist bei dieser Schreibweise, dass die Zusammenschreibung von <math>a ^ {(n)}</math> und <math>b</math> keine Multiplikation darstellt, also jede tatsächlich vorkommende Multiplikation mit dem expliziten Operator <math>\cdot</math> zu notieren ist. Ebenso ist <math>a ^ {(n)}</math> keine Potenzierung. Die Verwendung der Notation <math>\operatorname{hyper}(a, n, b)</math> schließt demgegenüber solche Verwechslungsmöglichkeiten aus.)

Somit ist hyper1 die Addition, hyper2 die Multiplikation und hyper3 die Potenzierung. hyper4 wird auch bezeichnet als Tetration oder Superpotenz und kann folgendermaßen notiert werden:

<math>\operatorname{hyper4}(a,b)={}^{b}a</math>.

Allgemeinverständlicher könnte man auch sagen: Schreibe die Zahl <math>a</math> <math>b</math>-mal hintereinander und füge jeweils dazwischen den Operator eine Stufe tiefer ein.

Die Familie wurde für <math>n>3</math> nicht für reelle Zahlen erweitert, weil es mehrere „offensichtliche“ Wege dazu gibt, die jedoch nicht assoziativ sind.

Knuths Pfeilnotation[Bearbeiten]

Eine andere Schreibweise für den Hyperoperator wurde von Donald Knuth entwickelt, welche als Pfeilnotation bekannt ist. Die Definition ist

<math>

a \uparrow^{k} b \; := \;

a \mathbin{\underbrace{\uparrow \dotsb \uparrow}_{k \mbox{ mal}}} b \; :=

\left\{
  \begin{matrix}
  a^b & \mbox{falls } k=1 \\[1em]
  \underbrace{a \underbrace{\uparrow \dotsb \uparrow}_{k-1 \mbox{ mal}} a \underbrace{\uparrow \dotsb \uparrow}_{k-1 \mbox{ mal}} \dotsb \underbrace{\uparrow \dotsb \uparrow}_{k-1 \mbox{ mal}} a}_{b \mbox{ Kopien von } a} & \mbox{sonst}
  \end{matrix}
\right.

</math>

Eine andere Notation verwendet statt des Pfeils <math>\uparrow</math> das Zeichen <math>\hat{\hbox{ }}</math>. Mit der Definition gilt gerade

<math>a \uparrow^k b = \operatorname{hyper}(a, k+2, b) = a^{(k+2)}b</math>.

Diese Notation wird für die Darstellung von sehr großen Zahlen wie etwa Grahams Zahl benutzt.

Eine andere Erweiterung[Bearbeiten]

Es gibt eine andere Möglichkeit, aus den Vorgaben eine allgemeinere Definition der Verknüpfung zu erhalten, denn es gilt auch

<math>\,a+b = (a+(b-1))+1</math>
<math>a\cdot b = (a\cdot (b-1))+a</math>
<math>a^b = \left(a^{(b-1)} \right)\cdot a</math>,

weil die Verknüpfungen + und <math>\cdot</math> kommutativ sind. Daraus ergibt sich die Definition

<math>

a_{(n)} b:=

\begin{cases}

  a+b, & \text{wenn }n=1 \\
  0, & \text{wenn }n=2,b=0 \\
  1, & \text{wenn }n>2,b=0 \\
  \left( a_{(n)} (b - 1) \right)_{(n-1)}a, & \text{sonst.}

\end{cases} </math>

Diese Notation „kollabiert“ jedoch für <math>n=4</math>; sie ergibt im Gegensatz zu hyper4 keinen Potenzturm mehr:

<math>a_{(4)}b = a^{\left(a^{(b-1)}\right) }</math>

Wie können sich <math>a^{(n)}b</math> und <math>a_{(n)}b</math> plötzlich für <math>n>3</math> unterscheiden? Das liegt an der Assoziativität, einer Eigenschaft, die die Operatoren <math>+</math> und <math>\cdot</math> besitzen (siehe auch Körper), die aber dem Potenz-Operator fehlt. (Im Allgemeinen ist <math>a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne (a^b)^c=a^{b\cdot c}</math>.)

Die anderen Ebenen kollabieren nicht auf diese Weise, weshalb auch diese Operatorenfamilie, genannt „niedere Hyper-Operatoren“ von Interesse ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Addition[Bearbeiten]

Multiplikation[Bearbeiten]

Potenzierung[Bearbeiten]

Tetration[Bearbeiten]

<math> \begin{align} 3^{(4)}3 & = 3^{3^{3}}\\ & = 3^{(3)}(3^{(4)}2)\\ & = 3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}1))\\ & = 3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}0)))\\ & = 3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}1))\\ & = 3^{3^{3^{1}}}\\ & = 3^{27}\\ & = 7.625.597.484.987. \end{align} </math>

Zu beachten ist hier, dass <math>3^{3^{3}} = 3^{(3^{3})}</math> gilt, siehe hierzu auch bei Potenzturm. Eine Schreibweise ist hoch y x, also zum Beispiel ³4 (3 = y, 4 = x); das gibt ausgeschrieben 4 hoch 4 hoch 4.<ref>https://www.rhetos.de/html/lex/tetration.htm (abgerufen am 25. Juni 2026)</ref>

Weblinks (englisch)[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]