Zum Inhalt springen

Immanente

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Die Immanente ist eine von Dudley Littlewood und Archibald Richardson definierte Größe einer Matrix. Sie ist eine Verallgemeinerung der Determinante sowie der Permanente.

Sei <math>\lambda=\left(\lambda_1,\lambda_2,\dots\right)</math> eine Partition von <math>n</math> und <math>\chi_\lambda</math> der korrespondierende irreduzible darstellungstheoretische Charakter der symmetrischen Gruppe <math>\mathfrak S_n</math>. Die Immanente mit dem Charakter <math>\chi_\lambda</math> einer <math>n\times n</math>-Matrix <math>A=\left(a_{ij}\right)_{ij}</math> wird definiert als

<math>\operatorname{Imm}_\chi(A):=\sum_{\sigma\in \mathfrak S_n}\chi(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}</math>

Die Permanente ist der Spezialfall mit dem trivialen Charakter.

Die Determinante ist der Spezialfall der Immanente mit <math>\chi_\lambda=\operatorname{sgn}</math>, dem alternierenden Charakter.

Beispielsweise gibt es für <math>3\times 3</math>-Matrizen drei irreduzible Darstellungen von <math>\mathfrak S_3</math>, wie folgende Tabelle zeigt.

<math>\mathfrak S_3</math> <math>e</math> <math>(1\,2)</math> <math>(1\,2\,3)</math>
<math>\chi_1</math> 1 1 1
<math>\chi_2</math> 1 −1 1
<math>\chi_3</math> 2 0 −1

Wie oben erwähnt ergeben <math>\chi_1</math> und <math>\chi_2</math> die Permanente bzw. die Determinante; dagegen erhält man mit <math>\chi_3</math> die Abbildung

<math>\operatorname{Imm}_{\chi_3}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \quad = \quad 2 a_{11} a_{22} a_{33} - a_{12} a_{23} a_{31} - a_{13} a_{21} a_{32}</math>

Littlewood und Richardson studierten die Zusammenhänge mit Schur-Polynomen.

Belege[Bearbeiten]

Abgerufen von „https://wiki.kertz.ch/index.php?title=Immanente&oldid=3590843“