Jacobi-Transformation

In der Mathematik ist die Jacobi-Transformation eine nach dem Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi benannte Integraltransformation, die die Jacobi-Polynome <math>P_n^{\alpha,\beta}(x)</math> als Kerne der Transformation verwendet.<ref>Debnath, L. "On Jacobi Transform." Bull. Cal. Math. Soc 55.3 (1963): 113-120.</ref><ref>Debnath, L. "Solution of partial differential equations by Jacobi-Transform." Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 59.3-4 (1967): 155.</ref><ref>Scott, E. J. "Jacobi transforms." (1953).</ref>

Die Jacobi-Transformation einer Funktion <math>F</math> ist<ref>Debnath, Lokenath, and Dambaru Bhatta. Integral transforms and their applications. CRC press, 2014.</ref>

<math>J\{F\} = f^{\alpha,\beta}(n) = \int_{-1}^1 (1-x)^\alpha\ (1+x)^\beta \ P_n^{\alpha,\beta}(x)\ F(x) \ dx</math>.

Die inverse Jacobi-Transformation ist gegeben durch

<math>J^{-1}\{f^{\alpha,\beta}(n)\} = F(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{\delta_n} f^{\alpha,\beta}(n) P_n^{\alpha,\beta}(x), \quad \text{mit}

\quad \delta_n =\frac{2^{\alpha+\beta+1} \Gamma(n+ \alpha+1) \Gamma(n+\beta+1)}{n! (\alpha+\beta+2n+1) \Gamma(n+ \alpha+\beta+1)}</math>.

Einige Jacobi-Transformationspaare

<math>F(x)\,</math>	<math>f^{\alpha,\beta}(n)\,</math>
<math>x^m, \ m<n \,</math>	<math>0</math>
<math>x^n \,</math>	<math>n!(\alpha+\beta+2n+1)\delta_n</math>
<math>P_m^{\alpha,\beta}(x) \,</math>	<math>\delta_{mn}</math>
<math>(1+x)^{a-\beta} \,</math>	<math>\binom{n+\alpha}{n} 2^{\alpha+a+1} \frac{\Gamma(a+1)\Gamma(\alpha+1)\Gamma(a-\beta+1)}{\Gamma(\alpha+a+n+2)\Gamma(a-\beta+n+1)}</math>
<math>(1-x)^{\sigma-\alpha}, \ \Re \sigma>-1 \,</math>	<math>\frac{2^{\sigma+\beta+1}}{n!\Gamma(\alpha-\sigma)}\frac{\Gamma(\sigma+1)\Gamma(n+\beta+1)\Gamma(\alpha-\sigma+n)}{\Gamma(\beta+\sigma+n+2)}</math>
<math>(1-x)^{\sigma-\beta}P_m^{\alpha,\sigma}(x), \ \Re \sigma>-1 \,</math>	<math>\frac{2^{\alpha+\sigma+1}}{m!(n-m)!}\frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(\alpha+\beta+m+n+1)\Gamma(\sigma+m+1)\Gamma(\alpha-\beta+1)}{\Gamma(\alpha+\beta+n+1)\Gamma(\alpha+\sigma+m+n+2)\Gamma(\alpha-\beta+m+1)}</math>
z|<1\,</math>	<math>\sum_{n=0}^\infty \delta_n z^n</math>
<math>(1-x)^{-\alpha}(1+x)^{-\beta} \frac{d}{dx}\left[(1-x)^{\alpha+1}(1+x)^{\beta+1} \frac{d}{dx}\right]F(x) \,</math>	<math>-n(n+\alpha+\beta+1)f^{\alpha,\beta}(n)</math>
<math>\left\{(1-x)^{-\alpha}(1+x)^{-\beta} \frac{d}{dx}\left[(1-x)^{\alpha+1}(1+x)^{\beta+1} \frac{d}{dx}\right]\right\}^kF(x) \,</math>	<math>(-1)^kn^k(n+\alpha+\beta+1)^kf^{\alpha,\beta}(n)</math>

Weblinks

• Lexikon der Mathematik: Jacobi-Transformation, In: Spektrum.de
• Jacobi Transformation of a Symmetric Matrix, Author: Christina C. Lee, In: albi3ro (englisch)
• Jacobi-Matrix der Transformation, S. 8, In: Mathematik.Uni.Stuttgart (PDF)
• Jacobi Transformation, In: Mathworld.Wolfram
• Prof. D. Salomon Analysis II, Math, Phy, Chab, Jacobi-Transformation, Beispielrechnung S. 1–9, In: Math.ethz.ch
• Jacobi-Transformation, Nichtparametrische statistische Methoden von Herbert Büning, Götz Trenkler, Walter de Gruyter, Berlin - New York 1994, ISBN 3-11-013860-3 in der Google-Buchsuche
• Jacobi-Transformation, Lexikon der Mathematik: Band 3: Inp bis Mon, von Guido Walz (Hrsg.), Springer Spektrum, ISBN 978-3-662-53501-1, Heidelberg 2001 in der Google-Buchsuche
• Jacobi-Transformation, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics von Eric W. Weisstein, 2003 by Chapman & Hall/CRC, ISBN 1-58488-347-2 in der Google-Buchsuche
• Jacobi-Transformation, Diskontinuierliche GALERKIN-Verfahren in Raum und Zeit zur Simulation von Transportprozessen von Sandra Carstens, Dissertation 2012, Kassel Universität, ISBN 978-3-86219-434-6 in der Google-Buchsuche
• Jacobi-Transformation, Applied Finite Element Analysis von G. Ramamurty, I.K. International Publishing House Pvt. Lt, New Delhi - Bangalore 2010 in der Google-Buchsuche

Einzelnachweise

<references />