Kiepert-Hyperbel
Die Kiepert-Hyperbel eines Dreiecks, benannt nach Ludwig Kiepert, ist eine spezielle Hyperbel, die durch die drei Eckpunkte des Dreiecks und eine Reihe seiner ausgezeichneten Punkte verläuft.
Definition[Bearbeiten]
An den Seiten eines Dreiecks <math>\triangle ABC </math> werden drei ähnliche gleichschenklige Dreiecke <math> \triangle ABF </math>, <math> \triangle BCD </math> und <math> \triangle ACE </math> angefügt, und zwar jeweils mit einer Seite des gegebenen Dreiecks als Basis. Dann bilden die Spitzen der drei gleichschenkligen Dreiecke ein neues Dreieck <math> \triangle DEF </math>, das als Kiepert-Dreieck bezeichnet wird. Das Kiepert-Dreieck <math> \triangle DEF </math> und das Ausgangsdreieck <math> \triangle ABC </math> sind aufgrund des Satzes von Kiepert perspektivisch, das heißt, die Geraden <math>FC </math>, <math>AD </math> und <math>BE</math> schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt <math> P</math>, dem Perspektivitätszentrum.
Die Kiepert-Hyperbel des Dreiecks <math> \triangle ABC </math> ist nun definiert als der geometrische Ort aller dieser Perspektivitätszentren, die man erhält, wenn man die Basiswinkel der ähnlichen Dreiecke alle Winkel zwischen <math>-90^\circ </math> und <math>90^\circ </math> durchlaufen lässt.
Bezeichnungen und Koordinaten[Bearbeiten]
Der Basiswinkel <math>\phi</math> der angefügten gleichschenkligen Dreiecke wird positiv genommen, wenn diese nach außen gerichtet sind, andernfalls negativ. Das zugehörige Kiepert-Dreieck wird mit <math>\mathcal K_\phi</math> bezeichnet, das Perspektivitätszentrum mit <math>K_\phi</math>.
Die baryzentrischen Koordinaten von <math>K_\phi</math> sind
- <math> \left( \frac{1}{S_A + S_\phi} : \frac{1}{S_B + S_\phi}: \frac{1}{S_C + S_\phi} \right).</math>
Dabei werden die Abkürzungen <math>S_A = \tfrac{b^2+c^2-a^2}{2}</math> (<math>S_B, S_C</math> entsprechend) und <math>S_\phi = 2 \Delta \cot\phi</math> der Conway-Dreiecksnotation verwendet. <math>a, b, c</math> stehen für die Seitenlängen, <math>\Delta</math> für den Flächeninhalt des Dreiecks.
Die Formel für die Kiepert-Hyperbel in baryzentrischen Koordinaten ist
- <math>(b^2-c^2)yz + (c^2-a^2)xz + (a^2-b^2)xy=0.\,</math>
Der Mittelpunkt der Kiepert-Hyperbel hat die baryzentrischen Koordinaten
- <math>(b^2-c^2)^2 : (c^2-a^2)^2 : (a^2-b^2)^2,\,</math>
die Kimberling-Nummer X(115) und liegt auf dem Feuerbach-Kreis (Neun-Punkte-Kreis).<ref>Clark Kimberling: Enyclopedia of Triangle Centers, X(115). Abgerufen am 20. Januar 2025 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)).</ref>
Eigenschaften[Bearbeiten]
Bei der Kiepert-Hyperbel handelt es sich um eine gleichseitige Hyperbel, die unter anderem durch folgende Punkte geht:
- die Ecken des gegebenen Dreiecks,<ref name="Eddy-Fritsch-193">R. H. Eddy, R. Fritsch: The Conics of Ludwig Kiepert. In: Mathematics Magazine. Band 67, Nr. 3, Juni 1994, S. 193 (uni-muenchen.de [PDF]).</ref>
- den Höhenschnittpunkt,<ref name="Eddy-Fritsch-193" />
- den Schwerpunkt,<ref name="Eddy-Fritsch-193" />
- den Spieker-Punkt,
- die beiden Napoleon-Punkte,
- die beiden Fermat-Punkte,<ref name="Eddy-Fritsch-193" />
- den Tarry-Punkt,
- den dritten Brocard-Punkt,<ref name="Eddy-Fritsch-193" />
- die beiden Vecten-Punkte.
Die Kiepert-Hyperbel ist isogonal konjugiert zur Brocard-Achse.
Literatur[Bearbeiten]
- R. H. Eddy, R. Fritsch: The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle. Mathematics Magazine, Band 67, Nr. 3 (Juni, 1994), S. 188–205
- Cristoph Pöppe: Napoleons Punkt und Kieperts Hyperbel. In: Spektrum der Wissenschaft, August 2017
Weblinks[Bearbeiten]
- Eric W. Weisstein: Kiepert Hyperbola. In: MathWorld (englisch).
- Kiepert-Hyberbel – Animation mit GeoGebra
Einzelnachweise[Bearbeiten]
<references />