Korrelationsmatrix

In der Stochastik ist die Korrelationsmatrix eine symmetrische und positiv semidefinite Matrix, die die Korrelation zwischen den Komponenten eines Zufallsvektors erfasst. Die Korrelationsmatrix kann aus der Varianz-Kovarianzmatrix erhalten werden und umgekehrt.

Definition

Die Korrelationsmatrix als Matrix aller paarweisen Korrelationskoeffizienten der Elemente eines Zufallsvektors <math>\mathbf{X} = (X_1, X_2, \dotsc, X_n)^{\top}</math> enthält Informationen über die Korrelationen zwischen seinen Komponenten.<ref>Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 646 ff.</ref> Analog zur Varianz-Kovarianzmatrix <math>\mathbf{\Sigma}</math> ist die Korrelationsmatrix definiert als<ref>Rencher, Alvin C., und G. Bruce Schaalje: Linear models in statistics. John Wiley & Sons, 2008, S. 77.</ref>

<math>

\mathbf{P} \equiv \operatorname{Corr}(\mathbf{X}) = \begin{pmatrix}

\rho_{11} & \rho_{12} & \cdots & \rho_{1n} \\ \\

\rho_{21} & \rho_{22} & \cdots & \rho_{2n}\\ \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\

\rho_{n1} & \rho_{n2} & \cdots & \rho_{nn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

1 & \rho_{12} & \cdots & \rho_{1n} \\ \\

\rho_{21} & 1 & \cdots & \rho_{2n}\\ \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\

\rho_{n1} & \rho_{n2} & \cdots & 1 \end{pmatrix}</math>,

wobei <math>\rho_{ij} = \operatorname{Cov}(X_i,X_j) / \sqrt{\operatorname{Var}(X_i)\operatorname{Var}(X_j)} = \sigma_{ij} / \sigma_{i} \sigma_{j}</math> der Korrelationskoeffizient zwischen <math>X_{i}</math> und <math>X_{j}</math> ist.

Beispielsweise beinhaltet die zweite Zeile von <math>\mathbf{P}</math> die Korrelation von <math>X_{2}</math> mit jeder anderen <math>X</math>-Variablen. Die Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit wird als <math>\mathbf{P}_{\rho}</math> bzw. <math>\mathbf{P}</math> und die Stichproben-Korrelationsmatrix als <math>\mathbf{R}</math> bezeichnet. Wenn man die Diagonalmatrix <math>\mathbf{D}= \left(\operatorname{diag}(\boldsymbol{\Sigma})\right)^{1/2} = \operatorname{diag} (\sigma_1, \sigma_2, \dotsc, \sigma_n)</math> definiert, dann erhält man <math>\mathbf{P}</math> durch <math>\boldsymbol{\Sigma}</math> und umgekehrt:

<math>\mathbf{P} = \mathbf{D}^{-1} \, \boldsymbol{\Sigma} \, \mathbf{D}^{-1}</math>

oder äquivalent

<math>\boldsymbol{\Sigma} = \mathbf{D} \, \mathbf{P} \, \mathbf{D}</math>.

Eigenschaften

• Sind alle Komponenten des Zufallsvektors <math>\mathbf{X}</math> linear unabhängig, so ist <math>\mathbf{R}</math> positiv definit.
• Auf der Hauptdiagonalen wird die Korrelation der Größen mit sich selbst berechnet. Da der Zusammenhang der Größen strikt linear ist, ist die Korrelation auf der Hauptdiagonalen immer eins.
• Bei Stichprobenziehung aus einer mehrdimensionalen Normalverteilung ist die Stichproben-Korrelationsmatrix <math>\mathbf{R}</math> Maximum-Likelihood-Schätzer der Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit <math>\mathbf{P}</math>.<ref>Rencher, Alvin C., und G. Bruce Schaalje: Linear models in statistics. John Wiley & Sons, 2008, S. 247.</ref>

Stichproben-Korrelationsmatrix

Eine Schätzung der Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit <math>\widehat{\mathbf{P}}</math> erhält man, indem man die Korrelationskoeffizienten in der Grundgesamtheit <math>\rho_{ij}</math> durch die empirischen Korrelationskoeffizienten (ihre empirischen Gegenstücke) <math>r_{ij}</math> ersetzt. Dies führt zur Stichproben-Korrelationsmatrix <math>\mathbf{R}</math>

<math>\begin{align} \mathbf{R} =

\widehat{\mathbf{P}} = \widehat{\operatorname{Corr}(\mathbf{X})} & = \begin{pmatrix}

1 & r_{12} & \cdots & r_{1k} \\ \\

r_{21} & 1 & \cdots & r_{2k}\\ \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\

r_{k1} & r_{k2} & \cdots & 1 \end{pmatrix}\end{align}</math>.

Siehe auch

• Kovarianzmatrix

Einzelnachweise

<references />