Lie-Algebren-Kohomologie

In der Mathematik ist die Lie-Algebren-Kohomologie ein technisches Hilfsmittel, welches insbesondere in Differentialgeometrie, Mathematischer Physik und der Theorie der Lie-Gruppen Anwendung findet. Sie wird definiert als Kohomologie des Koszul-Komplexes. Für kompakte Lie-Gruppen ist die algebraisch definierte Lie-Algebren-Kohomologie der Lie-Algebra isomorph zur De-Rham-Kohomologie der Lie-Gruppe.

Definition

Sei <math>\mathfrak g</math> eine Lie-Algebra. Auf der äußeren Algebra <math>\Lambda\mathfrak g^*=\bigoplus_k\Lambda^k\mathfrak g^*</math> des dualen <math>\mathbb R</math>-Vektorraumes <math>\mathfrak g^*</math> definieren wir für alle <math>k\in\mathbb N</math> einen Operator

<math>d^k:\Lambda^k\mathfrak g^*\rightarrow\Lambda^{k+1}\mathfrak g^*</math> wie folgt.

Sei

<math>f\in \operatorname{Hom}(\Lambda^k\mathfrak g,\mathbb R) \cong \Lambda^k\mathfrak g^*</math>,

dann definieren wir

<math>d^kf\in \operatorname{Hom}(\Lambda^{k+1}\mathfrak g,\mathbb R) \cong \Lambda^{k+1}\mathfrak g^*</math>

durch

<math>d^k f(g_1\wedge\ldots\wedge g_{k+1})=\sum_{1\le i<j\le k+1}\left(-1\right)^{i+j-1}f(\left[g_i,g_j\right]\wedge g_1\wedge\ldots \hat{g_i}\ldots\hat{g_j}\ldots\wedge g_{k+1})</math>.

Der Komplex <math>(\Lambda\mathfrak g^*,d^\bullet)</math> heißt Koszul-Komplex. Für alle <math>k\in\mathbb N</math> gilt

<math>d^{k}d^{k-1}=0</math>.

Die Lie-Algebren-Kohomologie von <math>\mathfrak g</math> ist definiert als Kohomologie des Koszul-Komplexes, also als

<math>H^k(\mathfrak g):= \ker(d^k)/ \operatorname{im}(d^{k-1})</math>.

Lie-Gruppen und Lie-Algebren-Kohomologie

Für eine Lie-Gruppe <math>G</math> mit Lie-Algebra <math>\mathfrak g</math> ist der Koszul-Komplex kanonisch isomorph zum Komplex der <math>G</math>-invarianten Differentialformen auf <math>G</math>:

<math>(\Lambda\mathfrak g^*,d^\bullet)= (\Omega^G(G),d)</math>,

die Lie-Algebren-Komologie von <math>\mathfrak g</math> ist also isomorph zur Kohomologie des Komplexes <math>(\Omega^G(G),d)</math>.

Élie Cartan hat bewiesen, dass für kompakte Lie-Gruppen die Inklusion

<math>\Omega^G(G)\subset \Omega^\bullet(G)</math>

einen Isomorphismus der De-Rham-Kohomologie-Gruppen induziert. Für kompakte Lie-Gruppen <math>G</math> gilt also

<math>H^\bullet_{dR}(G)=H^\bullet(\mathfrak g)</math>.

Lie-Algebren-Kohomologie bzgl. einer Darstellung

C. Chevalley und S. Eilenberg haben zu einer Lie-Algebren-Darstellung <math>\pi:\mathfrak{g} \rightarrow\mathrm{gl}(V)</math> die folgende Kohomologie-Konstruktion durchgeführt.<ref>C. Chevalley, S. Eilenberg: Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 63 (1948), Kapitel IV: Cohomology Groups associated with a representation</ref>

Für <math> k>0 </math> sei <math>C_{\pi}^k</math> der Raum der <math>k</math>-linearen, alternierenden Abbildungen <math>\mathfrak{g}^k\rightarrow V</math>, für k=0 sei <math>C_{\pi}^0 = V</math>. Ferner sei <math>\delta^k:C_{\pi}^k \rightarrow C_{\pi}^{k+1}</math> durch

<math>(\delta^k f)(g_1\wedge\ldots\wedge g_{k+1})=\sum_{1\le i<j\le k+1}\left(-1\right)^{i+j-1}f(\left[g_i,g_j\right]\wedge g_1\wedge\ldots \hat{g_i}\ldots\hat{g_j}\ldots\wedge g_{k+1})+\sum_{1\le i\le k+1}\left(-1\right)^i \pi(g_i)f(g_1\wedge\ldots\hat{g_i}\ldots\wedge g_{k+1})</math>.

In der angegebenen Arbeit von C. Chevalley und S. Eilenberg wird noch durch <math>k+1</math> dividiert, was im unten angegebenen Lehrbuch von Hilgert und Neeb nicht der Fall ist. Man zeigt <math>\delta^k \circ \delta^{k+1} = 0</math>, das heißt, es liegt ein Kokettenkomplex vor, den man auch den Chevalley-Eilenberg-Komplex nennt. Die Elemente aus

<math>Z_\pi^k = \mathrm{ker}(\delta^k)</math>

nennt man wie üblich k-Kozykel, diejenigen aus

<math>B_\pi^k = \mathrm{im}(\delta^{k-1})</math>

heißen k-Koränder. Damit sind die Kohomologiegruppen

<math>H_\pi^k := Z_\pi^k/B_\pi^k</math>

definiert, wobei im Falle <math>k=0</math> der Korandoperator <math>\delta^{-1}</math> als 0 definiert ist. Man spricht genauer von der Chevalley-Kohomologie von <math>\mathfrak{g}</math> mit Werten in <math>V</math> bzgl. <math>\pi</math>.<ref>Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, Definition II.5.3</ref>

Elemente aus dem Chevalley-Eilenberg-Komplex treten in natürlicher Weise auf. So ist zum Beispiel durch die Formel

<math>(\rho(g)f)(h) := \pi(h)(f(g)),\quad g,h\in \mathfrak {g}, f\in Z_\pi^1</math>

eine Darstellung <math>\rho:\mathfrak{g}\rightarrow \mathrm{gl}(Z_\pi^1)</math> definiert, die für weitere Untersuchungen der Lie-Algebra herangezogen werden kann. Man kann weitere Folgerungen ziehen, wenn <math>Z_\pi^1=B_\pi^1</math> ist, das heißt, wenn die 1-te Chevalley-Kohomologie verschwindet. Daher sind die folgenden beiden sogenannten Lemmata von Whitehead von besonderem Interesse<ref>Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.5.12, II.5.14</ref>:

1. Lemma von Whitehead: Ist <math>\mathfrak{g}</math> eine halbeinfache, endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra und ist <math>\pi:\mathfrak{g}\rightarrow\mathrm{gl}(V)</math> eine endlich-dimensionale Darstellung, so ist <math>H_\pi^1 = \{0\}</math>.

2. Lemma von Whitehead: Ist <math>\mathfrak{g}</math> eine halbeinfache, endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra und ist <math>\pi:\mathfrak{g}\rightarrow\mathrm{gl}(V)</math> eine endlich-dimensionale Darstellung, so ist <math>H_\pi^2 = \{0\}</math>.

Folgender Satz ist eine Konsequenz aus dem 1. Lemma von Whitehead und der obigen Konstruktion von Darstellungen auf <math>Z_\pi^1</math>:

• Ist <math>\mathfrak{g}</math> eine halbeinfache, endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra und ist <math>0\rightarrow U\rightarrow V\, \xrightarrow{\varphi}\, W \rightarrow 0</math> eine kurze exakte Sequenz von endlichdimensionalen <math>\mathfrak{g}</math>-Moduln, so zerfällt diese, das heißt, es gibt einen <math>\mathfrak{g}</math>-Modul-Morphismus <math>\psi:W\rightarrow V</math> mit <math>\varphi\circ\psi = \mathrm{id}_W</math>.

Dieser Satz kann als wesentlicher Schritt im Beweis des Satzes von Weyl angesehen werden.<ref>Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.4.16, II.5.5, II.5.12</ref>

Das 2. Lemma von Whitehead ist ein wichtiger Baustein zum Satz von Levi.<ref>Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.4.8, II.5.7, II.5.14</ref>

Literatur

• C. Chevalley, S. Eilenberg: Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 63 (1948), 85–124.
• J. L. Koszul: Homologie et cohomologie des algèbres de Lie. Bull. Soc. Math. France, 78 (1950) pp. 65–127
• Gerhard Hochschild, Jean-Pierre Serre: Cohomology of Lie algebras. Ann. of Math. (2) 57, (1953). 591–603.
• J. C. Jantzen, Representations of Algebraic groups, Pure and Applied Mathematics, vol. 131, Boston, etc., 1987 (Academic).
• J. C. Jantzen: Restricted Lie algebra cohomology. Lecture Notes in Math. 1271 (1986), 91–108.
• Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, Kapitel II.5: Lie-Algebra-Kohomologie
• A. W. Knapp, Lie groups, Lie algebras and cohomology, Mathematical Notes, Princeton University Press, 1988, 509 pp.

Einzelnachweise

<references />