Kreisgraph
Ein Kreisgraph, kurz Kreis, ist in der Graphentheorie ein Graph mit einfacher Struktur. Ein Kreisgraph besitzt immer gleich viele Knoten und Kanten, wobei alle Knoten im Kreis miteinander verbunden sind. Kreisgraphen mit <math>n</math> Knoten werden mit <math>C_n</math> bezeichnet. Eine Netzwerktopologie in Form eines Kreisgraphen wird Ring-Topologie genannt.
Definition[Bearbeiten]
Ein Kreisgraph <math>C_n</math> ist ein ungerichteter Graph <math>(V,E)</math> bestehend aus den <math>n</math> Knoten
- <math>V=\{ v_1, \ldots , v_n \}</math>
und den <math>n</math> Kanten
- <math>E=\{ \{ v_1, v_2 \}, \{ v_2, v_3 \}, \ldots , \{ v_{n-1}, v_n \}, \{ v_n, v_1 \} \}</math>,
wobei meist <math>n \geq 3</math> angenommen wird. Ein Kreisgraph mit <math>n</math> Knoten wird auch <math>n</math>-Kreis oder <math>n</math>-Zyklus genannt.
Eigenschaften[Bearbeiten]
Im Folgenden werden nur Kreisgraphen bestehend aus mindestens drei Knoten betrachtet.
- Alle Kreisgraphen sind zusammenhängend, planar, zyklisch, eulersch und hamiltonsch.<ref>Vasudev: Graph theory with applications. 2006, S. 76.</ref>
- Alle Kreisgraphen sind 2-regulär, das heißt jeder Knoten hat den Grad zwei.<ref>Vasudev: Graph theory with applications. 2006, S. 50.</ref>
- Alle Kreisgraphen haben die Baumweite zwei.
- Der Kantengraph des Kreisgraphen <math>C_n</math> ist isomorph zu seinem Ausgangsgraph, also wieder ein Kreisgraph mit <math>n</math> Knoten.<ref>Vasudev: Graph theory with applications. 2006, S. 458.</ref>
- Der Durchmesser und die Stabilitätszahl des Kreisgraphen <math>C_n</math> beträgt <math>\lfloor \tfrac{n}{2} \rfloor</math>.<ref>Tittmann: Graphentheorie: Eine anwendungsorientierte Einführung. 2003, S. 35,60.</ref>
- Die chromatische Zahl des Kreisgraphen <math>C_n</math> ist zwei, wenn <math>n</math> gerade ist und drei, wenn <math>n</math> ungerade ist.<ref>Wallis: A Beginner's Guide to Graph Theory. 2007, S. 94.</ref>
- Das chromatische Polynom des Kreisgraphen <math>C_n</math> ist <math>(-1)^n (\lambda-1) + (\lambda-1)^n</math>.<ref>Robert A. Wilson: Graphs, Colourings and the Four-Colour Theorem. Oxford University Press, 2002, S. 101.</ref>
- Alle Kreisgraphen sind für <math>n \geq 2</math> zueinander homöomorph.
Eigenschaften spezieller Kreisgraphen sind:
- Der Kreisgraph <math>C_3</math> ist ein spezieller Dreiecksgraph.
- Der Kreisgraph <math>C_4</math> ist ein spezieller Gittergraph.
- Der Kreisgraph <math>C_5</math> ist der bis auf Isomorphie eindeutige selbstkomplementäre Graph mit 5 Knoten.
- Der Kreisgraph <math>C_6</math> ist der kleinste reguläre Graph, der nicht stark regulär ist.
Siehe auch[Bearbeiten]
Literatur[Bearbeiten]
- Peter Tittmann: Graphentheorie: Eine anwendungsorientierte Einführung. Hanser Verlag, 2003, ISBN 3-446-22343-6.
- C. Vasudev: Graph theory with applications. New Age International, 2006, ISBN 81-224-1737-X.
- Walter D. Wallis: A Beginner's Guide to Graph Theory. 2. Auflage. Springer, 2007, ISBN 0-8176-4484-9.
Einzelnachweise[Bearbeiten]
<references />
Weblinks[Bearbeiten]
- Eric W. Weisstein: Cycle Graph. In: MathWorld (englisch).