Kretschmann-Skalar

Der Kretschmann-Skalar <math>K</math> (auch Kretschmann-Invariante oder Riemannsche Invariante; nach Erich Kretschmann, der ihn einführte) bezeichnet eine skalare Invariante im Bereich der Lorentzschen Mannigfaltigkeiten. Er kann als Maß für die Krümmung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie gedeutet werden.<ref>Vorlage:Cite book/URLVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/Meldung2</ref>

Definition

Der Kretschmann-Skalar <math>K</math> ist unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention definiert als

<math> K = R_{\kappa\lambda\mu\nu} \, R^{\kappa\lambda\mu\nu}=\sum_{\kappa =0}^{3}\sum_{\lambda =0}^{3}\sum_{\mu=0}^{3}\sum_{\nu=0}^{3} R_{\kappa\lambda\mu\nu} \, R^{\kappa\lambda\mu\nu} </math>.

Hierbei bezeichnet <math>R_{\kappa\lambda\mu\nu}</math> den Riemannschen Krümmungstensor und <math> \,R^{\kappa\lambda\mu\nu} =\sum_{i=0}^{3} g^{\kappa i}\,\sum_{j=0}^{3} g^{\lambda j}\,\sum_{k=0}^{3} g^{\mu k}\,\sum_{l=0}^{3} g^{\nu l}\, R_{ijkl} \,</math>.

Für die vierdimensionale Raumzeit kann der Kretschmann-Skalar weiterhin durch den Weyl-Tensor <math>C_{\kappa\lambda\mu\nu}</math>, den Ricci-Tensor <math>R_{\kappa\lambda}</math> sowie den Ricci-Skalar <math>R</math> wie folgt ausgedrückt werden:<ref>Eintrag zum Kretschmann-Skalar im Lexikon der Astronomie des Spektrum Verlags</ref>

<math> K = C_{\kappa\lambda\mu\nu} \, C^{\kappa\lambda\mu\nu} + 2 R_{\kappa\lambda} \, R^{\kappa\lambda} - \frac{1}{3}R^2</math>

Beispiele

Kretschmann-Skalar der Schwarzschild-Metrik

Für die Schwarzschild-Metrik<ref></ref>

<math>\mathrm{d}s^2 = g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\mathrm{d}x^{\nu} =\textstyle- \left( 1 - \frac{r_\mathrm{s}}{r} \right)c^2\mathrm{d}t^2 + \frac{1}{1 - \frac{ r_\mathrm{s}}{r}}\mathrm{d}r^2 + r^2\mathrm{d}\vartheta^2 + r^2 \sin^2\vartheta\mathrm{d}\varphi^2 </math>

mit der Zeitkoordinate <math>t</math>, den Kugelkoordinaten <math>(r, \vartheta, \varphi)</math> und dem Schwarzschild-Radius <math>r_\mathrm{s}=2 G M/c^2</math> ist der Kretschmann-Skalar<ref>Sebastian Boblest, Thomas Müller, Günter Wunner: Spezielle und allgemeine Relativitätstheorie. Springer, Berlin 2016, S. 225.</ref> mit dem Schwarzschild-Radius <math>r_s</math> gegeben durch:<ref></ref>

<math>K_\text{Schwarzschild} = R_{\kappa\lambda\mu\nu} \, R^{\kappa\lambda\mu\nu} =\textstyle \frac{12 {r_s}^2}{r^6} = \frac{48 G^2 M^2}{c^4 r^6}</math>

Der Kretschmann-Skalar verhält sich am Schwarzschild-Radius <math>r_\mathrm{s}</math> völlig harmlos. Die Divergenz von <math>R_{\kappa\lambda\mu\nu} \, R^{\kappa\lambda\mu\nu}</math> bei <math>r = 0</math> zeigt, dass hier eine echte physikalische Singularität lauert: Die Raumzeit ist hier unendlich gekrümmt<ref></ref>.

Kretschmann-Skalar der Kerr-Metrik

Für die Kerr-Metrik eines rotierenden Schwarzen Lochs der Masse <math>M</math> und des Drehimpulses <math>J</math> lautet die Metrik mit dem Drehimpulsparameter <math>a=\textstyle\frac{J}{Mc}</math> in Boyer-Lindquist Koordinaten<ref></ref> mit <math>r_\mathrm{s}=2 G M/c^2</math>

<math> \text{d}s^2=\textstyle-\left(1-\frac{r_\mathrm{s}r}{\rho^2}\right)c^2\text{d}t^2-\frac{2r_\mathrm{s}ra\sin^2\vartheta}{\rho^2}c\text{d}t\text{d}\varphi+\frac{A}{\rho^2}\sin^2\vartheta\text{d}\varphi^2+\frac{\rho^2}{\Delta}\text{d}r^2+ \rho^2 \text{d}\vartheta^2</math>

mit den Größen <math>\Delta=r^2-r_\mathrm{s}r+a^2</math>, <math>\rho^2=r^2+a^2\cos^2\vartheta</math> und <math>A=(r^2+a^2)^2-a^2\Delta\sin^2\vartheta</math>. Dabei ist <math>r=r_z</math> der fiktive Radius einer Referenzkugel mit dem kartesischen Polradius <math>r_z</math>. Dann ist der Kretschmann-Skalar<ref>Vorlage:Cite book/URLVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/Meldung2</ref><ref></ref>

<math>\begin{align}

K_\text{Kerr} &= R_{\kappa\lambda\mu\nu} \, R^{\kappa\lambda\mu\nu} =\textstyle \frac{12r_\mathrm{s}^2}{(r^2 + a^2 \cos^2 \vartheta)^6 }(r^6- 15a^2r^4 \cos^2\vartheta + 15a^4r^2 \cos^4 \vartheta- a^6 \cos^6 \vartheta)\\ &=\textstyle\frac{12r_\mathrm{s}^2}{(r^2 + a^2 \cos^2 \vartheta)^6 }(r^2- a^2 \cos^2\vartheta)(r^4-14a^2r^2 \cos^2\vartheta +a^4 \cos^4\vartheta)\\ &= \textstyle\frac{48G^2M^2}{c^4(r^2 + a^2 \cos^2 \vartheta)^6 }(r^2- a^2 \cos^2\vartheta)[(r^2+a^2 \cos^2\vartheta)^2-16a^2r^2 \cos^2\vartheta] \end{align} </math> Der Kretschmann-Skalar <math>K_\text{Kerr}</math> geht für die verschwindende Rotation <math>a=0</math> über in <math>K_\text{Schwarzschild}</math>!

<math>K_\text{Kerr}</math> hat eine echte koordinatenunabhängige Singularität bei<ref></ref>

<math> \rho^2=r^2 + a^2 \cos^2 \vartheta=0</math>

Bei dieser Singularität wird <math>r=0=\cos\vartheta</math>. In den kartesischen Kerr-Schild Koordinaten<ref></ref> <math>x +\text{i}y =(r -\text{i}a)\text{e}^{\text{i}\varphi}\sin\vartheta</math> und <math>z=r\cos\vartheta</math> gilt

<math> x^2+y^2=(x +\text{i}y)(x -\text{i}y)=(r -\text{i}a)(r +\text{i}a)\sin^2\vartheta=(r^2+a^2)(1-\cos^2\vartheta)\quad\Rightarrow\quad x^2+y^2=a^2\quad\text{und } z=0\quad\text{für }r=0=\cos\vartheta</math>

Diese Gleichung beschreibt einen Ring mit dem Radius <math>a</math>, der in der <math>x</math>-<math>y</math>-Ebene liegt. Die analytische Fortsetzung für <math>r>0</math> und <math>r<0</math> diskutieren Stephen Hawking und George Ellis<ref></ref>.

Die Größe <math>\Delta=r^2-r_\mathrm{s}r+a^2=0</math> ist eine Koordinatensingularität der Kerr-Metrik, die nicht im Kretschmann-Skalar <math>K_\text{Kerr}</math> vorkommt<ref></ref>.

Einzelnachweise

<references />