Multiplikatives Geschlecht

Ein multiplikatives Geschlecht auch Hirzebruch-Geschlecht<ref name="Novikov1995">Sergeĭ Petrovich Novikov: Topics in Topology and Mathematical Physics. American Mathematical Soc., 1995, ISBN 978-0-8218-0455-1, S. 25 (google.com). </ref> ist ein Objekt der Mathematik. Es wird in den Teilgebieten der Differentialtopologie und der algebraischen Topologie untersucht. Als topologische Invariante kann es helfen, Mannigfaltigkeiten, die nicht zueinander äquivalent (homeomorph) sind, zu unterscheiden.

In den späten 1950er Jahren entwickelte Friedrich Hirzebruch eine Methode, bei der er multiplikative Geschlechter mittels multiplikativer Folgen<ref>Ruedi Seiler, Volker Enss, Werner Müller: Geometrie und Physik (Akademie der Wissenschaften Zu Berlin. Forschungsberichte). De Gruyter, 1997, ISBN 978-3110139440, S. 170.</ref> (auch multiplikative Sequenzen<ref>Matthias Kreck: Eine invariante für stabil parallelisierte Mannigfaltigkeiten. Dissertation. (Online)</ref>) definierte. Zu diesen Geschlechtern, die durch multiplikative Folgen definiert werden können, gehören das Todd-Geschlecht, das Â-Geschlecht, das L-Geschlecht und die Klasse der elliptischen Geschlechter. Diese Objekte sind zentral bei der Definition des topologischen Index für den Atiyah-Singer-Indexsatz. Für das L-Geschlecht bewies Hirzebruch in seinem Signatursatz, dass es mit der Signatur der Mannigfaltigkeit übereinstimmt.

Multiplikatives Geschlecht

Ein multiplikatives Geschlecht ist eine Abbildung <math>\phi</math>, die jeder geschlossenen orientierten glatten Mannigfaltigkeit der Dimension <math>n</math> ein Element aus einem Integritätsring <math>R</math> zuordnet, so dass für je zwei solcher Mannigfaltigkeiten <math>X^n</math> und <math>Y^n</math> die drei Bedingungen

• <math>\phi(X^n \sqcup Y^n) = \phi(X^n) + \phi(Y^n)</math>, wobei <math>\sqcup</math> die disjunkte Vereinigung ist,
• <math>\phi(X^n \times Y^n) = \phi(X^n) \phi(Y^n)</math>
• <math>\phi(X^n) = 0</math>, falls es eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit <math>W^{n+1}</math> der Dimension <math>n+1</math> gibt mit <math>\partial W^{n+1} = X^n</math>

erfüllt sind. Ein multiplikatives Geschlecht <math>\phi</math> kann also (äquivalent) als ein Ringhomomorphismus (der auch das Eins-Element beachtet) vom Kobordismusring nach <math>R</math> verstanden werden. Oftmals wird als Integritätsring die Menge der rationalen Zahlen verwendet.

Multiplikative Folge

Sei <math>f \in \Qx</math> eine formale Potenzreihe mit rationalen Koeffizienten und konstantem Term <math>1</math> und sei <math>n \in \Z_+</math> eine positive ganze Zahl. Die formale Potenzreihe <math>f(x_1) \cdots f(x_n)</math> ist dann symmetrisch. Daher existieren Polynome <math>F_k</math>, so dass

<math>f(x_1) \cdots f(x_n) = 1 + F_1(\sigma_1) + F_2(\sigma_1, \sigma_2) + F_3(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3) + \ldots </math>

gilt, wobei

<math>\sigma_k(x_1, \ldots , x_k) := \sum_{i_1 < \cdots < i_k} x_{i_1} \cdots x_{i_k}</math>

das k-te elementarsymmetrische Polynom bezeichnet. Die Folge <math>(F_k)</math> von Polynomen heißt multiplikative Folge oder multiplikative Sequenz bezüglich der formalen Potenzreihe <math>f</math>.<ref>H. B. Lawson, M. Michelson: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0691085425, S. 228–229.</ref>

Geschlecht einer multiplikativen Folge

In diesem Abschnitt wird das Geschlecht einer Mannigfaltigkeit bezüglich einer multiplikativen Folge definiert. Dieses Geschlecht ist ein multiplikatives Geschlecht im obigen Sinn.<ref>Charles B. Thomas: Elliptic Cohomology (University Series in Mathematics). Springer, 1999, ISBN 978-0-306-46097-5, S. 10. </ref> Die Definition geschieht getrennt nach glatten beziehungsweise komplexen Mannigfaltigkeiten. Jedoch sind beide Definitionen ähnlich.

Für glatte Mannigfaltigkeiten

Sei <math>X</math> eine orientierte glatte <math>n</math>-dimensionale Mannigfaltigkeit, <math>TX</math> ihr Tangentialbündel, das ein reelles Vektorbündel ist, und <math>(F_k)</math> eine multiplikative Folge zu der formalen Potenzreihe <math>f</math>. Dann ist das multiplikative Geschlecht von <math>X</math> definiert durch

<math>F(X) := \langle F_k(p_1, \ldots , p_k),[X] \rangle</math>,

falls <math>n = 4k</math> ist und sonst durch <math>F(X) = 0</math>. Dabei bezeichnet <math>p_i</math> die <math>i</math>-te Pontrjagin-Klasse von <math>TM</math>, <math>[X]</math> die Fundamentalklasse von <math>X</math> und <math>\langle \cdot,\cdot \rangle</math> die natürliche Paarung zwischen Homologie und Kohomologie.<ref>H. B. Lawson, M. Michelson: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0691085425, S. 230–231.</ref><ref>Friedrich Hirzebruch: Topological methods in algebraic geometry (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 131). 2nd corrected printing of the 3rd edition. Springer, Berlin u. a. 1978, ISBN 3-540-03525-7, S. 77.</ref>

Für komplexe Mannigfaltigkeiten

Sei <math>X</math> eine orientierte komplexe Mannigfaltigkeit mit <math>\dim_{\Complex}X=n</math>, sei <math>TX</math> ihr Tangentialbündel, das ein komplexes Vektorbündel ist, und <math>(F_k)</math> eine multiplikative Folge zu der formalen Potenzreihe <math>f</math>. Dann ist das multiplikative Geschlecht von <math>X</math> definiert durch

<math>F(E) := \langle F_k(c_1, \ldots , c_k),[X] \rangle</math>,

falls <math>n = 2k</math> ist und sonst durch <math>F(E) = 0</math>. Dabei bezeichnet <math>c_i</math> die <math>i</math>-te Chern-Klasse von <math>TX</math>, <math>[X]</math> die Fundamentalklasse von <math>X</math> und <math>\langle \cdot,\cdot \rangle</math> die natürliche Paarung zwischen Homologie und Kohomologie.<ref name=Lawson230>H. B. Lawson, M. Michelson: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0691085425, S. 230.</ref>

Besondere multiplikative Geschlechter

In diesem Abschnitt werden spezielle, zentrale multiplikative Geschlechter angeführt.

Todd-Geschlecht

→ Hauptartikel: Todd-Klasse

Die durch die (formale) Potenzreihe

<math>\frac{z}{1-\exp(-z)} = 1 + \frac{1}{2}z+ \sum_{i=1}^\infty (-1)^{i+1}\frac{B_{2i}}{(2i)!}z^{2i} </math>,

wobei <math>B_{2i}</math> die Bernoulli-Zahlen sind, definierte multiplikative Folge <math>(\operatorname{Td}_i)</math>, heißt Todd-Folge. Die ersten Terme der Folge mit Koeffizienten in den Chern-Klassen lauten:

<math> \begin{align}

\operatorname{Td}_0 &= 1\\ \operatorname{Td}_1(c_1) &= c_1/2\\ \operatorname{Td}_2(c_1,c_2) &= (c_2 + c_1^2)/12\\ \operatorname{Td}_3(c_1,c_2,c_3) &= (c_1c_2)/24\,. \end{align}</math>

Die totale Todd-Klasse <math>\mathbf{Td}_\Complex</math> ist dann gegeben durch

<math>\mathbf{Td}_\Complex(E) = \sum_{i} \operatorname{Td}_i(c_1, \cdots, c_i)</math>.

Für eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit <math>X</math> der (reellen) Dimension <math>2n</math> ist das Todd-Geschlecht definiert durch<ref name=Lawson230 />

<math>\operatorname{Td}(X) := \langle \operatorname{Td}_n(TX),[X] \rangle</math>.

Â-Geschlecht

Die durch die (formale) Potenzreihe

<math> \hat{a}(x) = \frac{\frac{\sqrt{x}}{2}}{\sinh\left(\frac{\sqrt{x}}{2} \right)} = 1 - \frac{1}{24} x + \frac{7}{2^7 \cdot 3^2 \cdot 5} x^2 + \cdots</math>

definierte multiplikative Folge <math>(\hat{A}_i)</math>, heißt Â-Folge (gesprochen: A-Dach-Folge). Die ersten Terme der Folge mit Koeffizienten in den Pontrjagin-Klassen sind:

<math> \begin{align}

\hat{A}_0 &= 1\\ \hat{A}_1(p_1) &= - \frac{p_1}{24}\\ \hat{A}_2(p_1,p_2) &= \frac{1}{2^7 \cdot 3^2 \cdot 5} (-4 p_2 + 7p_1^2)\\ \hat{A}_3(p_1,p_2,p_3) &= \frac{1}{2^{10} \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7}(16p_3 - 44p_2p_1 + 31p_1^3)\,. \end{align}</math>

Die Â-Klasse <math>\mathbf{\hat{A}}</math> ist dann definiert durch

<math>\mathbf{\hat{A}}(E) = \sum_{i} \hat{A}_i(p_1, \cdots, p_i)</math>.

Die Â-Klasse ist das reelle Analogon der Todd-Klasse. Für jedes orientierte reelle Vektorbündel <math>E</math> gilt nämlich <math>\mathbf{Td}_\Complex(E) = \mathbf{\hat{A}}(E)^2</math>. Das Â-Geschlecht <math>\hat{A}</math> ist genauso wie zuvor das Todd-Geschlecht definiert als die Â-Klasse gepaart mit der Fundamentalklasse.<ref>H. B. Lawson, M. Michelson: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0691085425, S. 231–232.</ref>

L-Geschlecht

Die durch die (formale) Potenzreihe

<math> L(x) = \frac{\sqrt{x}}{\tanh\left(\sqrt{x}\right)} = \sum_{k\ge 0} {2^{2k}B_{2k}x^k\over (2k)!}

= 1 + {x \over 3} - {x^2 \over 45} +\cdots </math>,

wobei <math>B_{2i}</math> die Bernoulli-Zahlen sind, definierte multiplikative Folge <math>(L_i)</math>, heißt Folge der L-Polynome. Die ersten Terme der Folge mit Koeffizienten in den Pontrjagin-Klassen sind:

<math> \begin{align}

L_0 &= 1\\ L_1(p_1) &= \frac{p_1}{3}\\ L_2(p_1,p_2) &= \frac{1}{45}(7p_2 - p_1^2)\\ L_3(p_1,p_2,p_3) &= \frac{1}{945}(62 p_3-13 p_1 p_2+2 p_1^3)\\ L_4(p_1,p_2,p_3,p_4) &= \frac{1}{14175} (381 p_4-71 p_1 p_3-19 p_2^2+22 p_1^2 p_2-3 p_1^4)\,. \end{align}</math>

Für eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit <math>X</math> der Dimension <math>4 n</math> ist das L-Geschlecht ebenfalls gegeben durch

<math>L(X) := \langle L_n(TX),[X] \rangle</math>.

Hirzebruch bewies mit dem Signatursatz, dass das L-Geschlecht mit der Signatur der Mannigfaltigkeit übereinstimmt.<ref>John W. Milnor, James D. Stasheff: Characteristic classes. Princeton, N.J., Princeton University Press, ISBN 0691081220, 224.</ref>

Elliptisches Geschlecht

Ein multiplikatives Geschlecht wird elliptisches Geschlecht genannt, falls die formale Potenzreihe <math>Q(z) = \tfrac{z}{f(z)}</math> die Differentialgleichung

<math>{f'}^2 = 1 - 2\delta f^2 + \epsilon f^4</math>

mit Konstanten <math>\delta</math> und <math>\epsilon</math> erfüllt.

Eine explizite Darstellung von <math>f</math> ist

<math>f(z) =\frac{{\rm sn} \left( az,{\frac {\sqrt {\epsilon}} {{a}^{2}}} \right)} {a}</math>,

wobei

<math>a=\sqrt{\delta+\sqrt {{\delta}^{2}-\epsilon}}</math>

und <math>\operatorname{sn}</math> die Jacobische elliptische Funktion ist. Also ist der Logarithmus des multiplikativen Geschlechts das elliptische Integral erster Art

<math>\log(\phi)(z) = \int_0^z \frac{\mathrm{d} t}{\sqrt{1 - 2\delta f^2 + \epsilon f^4}}</math>.

Dieses wurde in der ersten Definition des elliptischen Geschlechtes genutzt wurde und daher heute auch das Attribut elliptisch im Namen trägt.<ref>S. Ochanine, "Sur les genres multiplicatifs définis par des intégrales elliptiques" Topology , 26 (1987) pp. 143–151 MR0895567 Zbl 0626.57014</ref> Gilt <math>\delta^2 = \epsilon</math> oder <math>\epsilon = 0</math>, dann nennt man das entsprechende elliptische Geschlecht degeneriert.

Setzt man beispielsweise <math>\delta = \epsilon = 1</math> und <math>f(z) = \tanh(z)</math>, so erhält man das L-Geschlecht. Das Â-Geschlecht erhält man, wenn man <math>\delta = -1/8,\ \epsilon = 0</math> und <math>f(z) = 2\sinh(z/2)</math> setzt.<ref>Serge Ochanine, What is… an elliptic genus?, Notices of the AMS, volume 56, number 6 (2009) (Online)</ref>

Weblinks

• The manifold atlas project: Formal group laws and genera
• Vorlage:EoM/id

Einzelnachweise

<references />