Lagerreaktion

Vorlage:Hinweisbaustein Die Lagerreaktion ist in der Technischen Mechanik eine Reaktionskraft oder ein Reaktionsmoment in den Auflagern von Bauteilen oder Bauwerken. Dagegen umfasst die Schnittreaktion die in einer Schnittfläche auftretenden Schnittkräfte und -momente.

Wenn ein Körper sich in Ruhe befindet, so befindet er sich auch im Kräftegleichgewicht. Alle auf ihn einwirkenden Kräfte heben sich dann in ihrer Wirkung gegenseitig auf.

Auf eine Brücke wirkt z. B. die Gewichtskraft. Da sich Brücken im Allgemeinen nicht bewegen, muss es eine oder mehrere Kräfte geben, die der Gewichtskraft entgegenwirken. Diese Kräfte befinden sich in den Auflagern der Bauwerke, im Falle der Brücke in den Pfeilern. Diese Kräfte sind die Lagerkräfte.

Manche Lagerungen können auch Momente erzeugen. Die in den Lagern wirkenden Kräfte und Momente sind den äußeren Lasten (z. B. der Gewichtskraft) immer entgegengerichtet. Wenn beispielsweise die Kräfte, die auf die Brücke wirken, erhöht werden, etwa durch darüberfahrende Fahrzeuge, so erhöhen sich auch die in den Lagern wirkenden Kräfte, sie „reagieren“ auf die äußeren Lasten.

Der gedankliche Vorgang, bei dem von einem Körper die Lager entfernt und stattdessen die Lagerkräfte und -momente angetragen werden, wird als Freischneiden oder Freimachen bezeichnet. Gemeinsam mit den Gleichgewichtsbedingungen lassen sich dann die Lagerreaktionen berechnen, falls der Körper statisch bestimmt gelagert ist. Ansonsten werden weitere Rahmenbedingungen benötigt wie der Elastizitätsmodul des Werkstoffes.

Berechnung[Bearbeiten]

Bei einem statisch bestimmten Tragwerk lassen sich Lagerkräfte mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen berechnen:

<math>\Sigma F_{ix} = 0,\quad

\Sigma F_{iy} = 0,\quad \Sigma M_{i}^{(P)} = 0</math>

Die Gleichungen drücken aus, dass die Summen aller horizontalen Kräfte, vertikalen Kräfte und Momente (inklusive Lagerkräfte) bei einem ruhenden Körper jeweils gleich Null sein müssen. Die einzelnen Lagerkräfte errechnen sich durch die Auflösung dieses Gleichungssystems.<ref>Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang A. Wall: Technische Mechanik 1. 2019, doi:10.1007/978-3-662-59157-4 (springer.com [abgerufen am 12. Oktober 2020]). </ref>

Beispiel[Bearbeiten]

Der abgebildete gewichtslose Balken wird von einem Festlager A auf der linken und einem Loslager B auf der rechten Seite getragen. Auf der der rechten Seite greift eine Kraft F an. Da es sich bei A um ein Festlager handelt, kann Auflager A sowohl horizontale wie auch vertikale Kräfte aufnehmen. Lager B, das Loslager, kann hingegen nur vertikale Kräfte aufnehmen.

Datei:Simple beam load.png

Zunächst wird das Tragwerk „freigeschnitten“. Dafür ersetzt man die Lager durch die Kräfte, die sie aufnehmen können, und teilt jede angreifende Kraft in ihre jeweiligen Komponenten in Bezug auf das Lager. In diesem Fall ergibt sich also <math>F_y = F \sin(\alpha)</math> und <math>F_x = F \cos(\alpha)</math>.

Datei:Force cut free beam.png

Damit können nun die folgenden Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt werden.

Die Summe aller horizontalen Kräfte ist:

<math>\Sigma F_{ix} = 0 = A_x + F_x</math>

<math>A_x</math> ist also <math>-F_x</math>. Da hier <math>A_x</math> einen negativen Wert ergibt, ist die im Bild angenommene Kraftrichtung grafisch falsch gewählt, die tatsächliche Auflagerkraft zeigt in die entgegengesetzte Richtung.

Die Summe aller vertikalen Kräfte ist:

<math>\Sigma F_{iy} = 0 = A_y + B_y - F_y</math>

Diese Gleichung mit zwei Unbekannten lässt sich erst durch zusätzliches Aufstellen des Momentengleichgewichts lösen. Dies kann prinzipiell an jedem Punkt erfolgen. In der folgenden Gleichung wird das Momentengleichgewicht um Auflager B gewählt:

<math>\Sigma M_{i}^B = 0 = A_y \cdot l + F_y \cdot a </math>

Man beachte, dass beide Kräfte positiv aufgeführt sind, obwohl sie in unterschiedliche Richtungen zeigen, da beide Kräfte im Balken ein Drehmoment im Uhrzeigersinn auslösen (bei Aufstellung des Momentengleichgewichts um Auflager A würden die Kräfte entgegengesetzt gerichtete Drehmomente bewirken). Durch Auflösen der Gleichung erhält man für <math>A_y</math>:

Auch hier ist die Kraft <math>A_y</math> im Lager A negativ. Das Lager hält also den Balken mit der Auflagerkraft nach unten. Ist das Lager nicht dazu fähig, würde der Balken nach oben kippen und sich um Punkt B drehen. Bei der Untersuchung muss darauf geachtet werden, dass das statische Modell die Wirklichkeit intuitiv abbildet, bzw. man sollte sich der Modellfehler bewusst sein.

Mit dem Ergebnis für <math>A_y</math> lässt sich nun zum Schluss <math>B_y</math> durch Einsetzen berechnen:

<math>B_y = F_y \ \left(\frac{a}{l} + 1\right)</math>

Einzelnachweise[Bearbeiten]