Laplace-Operator

Der Laplace-Operator ist ein mathematischer Operator, der zuerst von Pierre-Simon Laplace eingeführt wurde. Es handelt sich um einen linearen Differentialoperator innerhalb der mehrdimensionalen Analysis. Er wird meist durch das Zeichen <math>\Delta</math>, den Großbuchstaben Delta des griechischen Alphabets, notiert. Im anschaulichen Fall der xy-Ebene bildet er, wenn möglich, die Summe der zweiten Ableitungen einer Funktion <math>f(x,y)</math> in <math>x</math> und <math>y</math>-Richtung:

<math>

\Delta f=\frac{\mathrm d^2f}{\mathrm dx^2}+\frac{\mathrm d^2f}{\mathrm dy^2} </math>

und analoges in höheren Dimensionen. Der Laplace-Operator kommt in vielen Differentialgleichungen vor, die das Verhalten physikalischer Felder beschreiben. Beispiele sind die Poisson-Gleichung der Elektrostatik, die Helmholtzgleichung, die Navier-Stokes-Gleichungen für Strömungen von Flüssigkeiten oder Gasen und die Diffusionsgleichung für die Wärmeleitung.

Definition

Der Laplace-Operator ordnet einem zweimal differenzierbaren Skalarfeld <math>f</math> die Divergenz seines Gradienten zu,

<math>\Delta f =\operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\,f\right),</math>

oder mit dem Nabla-Operator notiert

<math>\Delta f =\nabla\cdot (\nabla f) = (\nabla\cdot\nabla)f =\nabla^2 f.</math>

Das formale „Skalarprodukt“ des Nabla-Operators mit sich selbst ergibt also den Laplace-Operator. Vor allem im englischsprachigen Raum ist für den Laplace-Operator oft die Schreibweise <math>\nabla^2</math> zu finden.

Da der Divergenz-Operator <math>\operatorname{div}</math> und der Gradient-Operator <math>\operatorname{grad}</math> unabhängig vom gewählten Koordinatensystem sind, ist auch der Laplace-Operator unabhängig vom gewählten Koordinatensystem. Die Darstellung des Laplace-Operators in anderen Koordinatensystemen ergibt sich mit der Kettenregel aus der Koordinatentransformation, siehe #Anwendung in verschiedenen Koordinatensystemen.

Im <math>n</math>-dimensionalen euklidischen Raum ergibt sich in kartesischen Koordinaten

<math>

\Delta f =\sum_{k=1}^n {\partial^2 f\over\partial x_k^2}. </math> In einer Dimension reduziert sich der Laplace-Operator somit auf die zweite Ableitung:

<math>

\Delta f = f </math>

Der Laplace-Operator kann auch auf Vektorfelder angewendet werden. Mit dem dyadischen Produkt „⊗“ ist

<math>\Delta\vec v:=\nabla\cdot(\nabla\otimes\vec v)

=\operatorname{div\big(grad}(\vec v)\big) </math>

definiert.<ref name="Greve"/><ref name="Altenbach"/><ref name="Haupt"/> Darin ist

<math>\operatorname{grad}(\vec v)=(\nabla\otimes\vec v)^\top</math>	der Rechts­gradient des Vektorfeldes,
<math>\operatorname{div}(\mathbf T)=\nabla\cdot(\mathbf T^\top)</math>	die Divergenz des Tensorfeldes T und
(·)⊤	der transponierte Tensor (·).

Speziell in drei Dimensionen existiert eine alternative Formulierung mit dem Rotationsoperator <math>\operatorname{rot}</math>

<math>\Delta\vec v

=\nabla(\nabla\cdot\vec{v}) -\nabla\times (\nabla\times\vec{v}) =\operatorname{grad(div}(\vec v))-\operatorname{rot(rot}(\vec v)) ,</math>

was mit der Graßmann-Identität begründet werden kann. Letztere Formel definiert den sogenannten vektoriellen Laplace-Operator.<ref name="W. Werner" details="S. 371"/><ref name="MathWorld"/>

Mit den klassischen Definitionen für die Anwendung des Operators auf Tensoren zweiter Stufe T und deren Rotation mittels konstanter Vektoren <math>\vec c</math><ref name="hbphys"/>

<math>

\forall\vec c\in\R^3\colon\quad \Delta(\mathbf T)\cdot\vec c=\Delta(\mathbf T\cdot\vec c),\quad \operatorname{rot}(\mathbf T)\cdot\vec c =\operatorname{rot}(\mathbf T^\top\cdot\vec c) </math>

zeigt sich in ähnlicher Weise:

<math>\begin{align}

\Delta\mathbf T=&\operatorname{grad\big(div}(\mathbf T^\top)\big)^\top -\operatorname{rot\big(rot}(\mathbf T^\top)^\top\big) \\=& \nabla\otimes(\nabla\cdot\mathbf T)-\nabla\times(\nabla\times\mathbf T) \end{align}</math>

wo das formale Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor benutzt wird.

Anwendung in verschiedenen Koordinatensystemen

Orthogonale Koordinaten­systeme haben für die angewandten Wissenschaften eine überragende Bedeutung, da viele konkrete Probleme in solchen Systemen formuliert und mit Trennung der Veränderlichen gelöst werden können.<ref name="W. Werner" details="S. 388"/> Nur der Abschnitt #Allgemein krummlinige Koordinatensysteme befasst sich mit der Anwendung des Laplace-Operators auf Skalarfelder in krummlinigen Koordinatensystemen.

Skalarfelder

Die Anwendung des Laplace-Operators wird hier in einigen üblichen orthogonalen Koordinatensystemen ausformuliert. Die gegebenen Formeln gelten dabei nur für den skalaren Laplace-Operator. Für den Laplace-Operator, der auf vektorwertige Funktionen wirkt, müssen noch weitere Terme berücksichtigt werden, siehe den Abschnitt #Vektorfelder unten.

Kartesische Koordinaten

Für eine Funktion <math>f(x,y)</math> in der xy-Ebene ergibt die Anwendung des Laplace-Operators wie in der Einleitung angegeben

<math>\Delta f(x,y) =

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}.</math>

In kartesischen Koordinaten in drei Dimensionen addiert sich zu obigem noch die zweite Ableitung nach der dritten <math>z</math>-Koordinate:

<math>\Delta f(x,y,z) =

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.</math>

Polarkoordinaten in der Ebene

In Polarkoordinaten mit Abstand r vom Ursprung und Azimut φ schreibt sich

<math>\Delta f =

\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} +\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} +\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial\varphi^2} </math>

oder

<math>\Delta f =

\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left( r\,\frac{\partial f}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial\varphi^2}.</math>

Zylinderkoordinaten

In Zylinderkoordinaten mit radialer Koordinate ρ, Azimut φ und Höhe z über der ρφ-Ebene addiert sich zu obigem noch die zweite Ableitung nach der Höhenkoordinate:

<math>\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial\rho^2}

+\frac1{\rho}\frac{\partial f}{\partial \rho} +\frac1{\rho^2}\frac{\partial^2 f}{\partial\varphi^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>

Kugelkoordinaten

In Kugelkoordinaten mit Abstand r vom Ursprung, Zenitwinkel θ und Azimut φ berechnet sich mit dem Sinus und Cosinus, sin bzw. cos:

<math>\Delta f =\frac{1}{r^2}

\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2\,\frac{\partial f}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin\theta\,\frac{\partial f}{\partial\theta}\right) +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial\varphi^2}. </math>

Die Ableitungen der Produkte in dieser Darstellung können noch entwickelt werden, wobei sich der erste und zweite Term ändern. Der erste (radiale) Term kann in eine dazu äquivalente Form geschrieben werden:

<math>

\frac1{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\,\frac{\partial f}{\partial r}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2}+\frac2r\frac{\partial f}{\partial r} </math>

Entsprechend gilt für den zweiten Term:

<math>

\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin\theta\,\frac{\partial f}{\partial\theta}\right) =\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial\theta^2} +\frac{\cos\theta}{r^2\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial\theta} </math>

Allgemeine Orthogonalkoordinaten

In beliebigen krummlinigen orthogonalen Koordinaten u_1,2,3, zum Beispiel in obigen #Kugelkoordinaten oder in elliptischen Koordinaten, gilt für den Laplace-Operator die kanonische Form<ref name="W. Werner" details="S. 406"/>

<math>\Delta f =\frac1{h}\sum_{i=1}^3

\frac{\partial}{\partial u_i}\left( \frac h{h_i^2}\frac{\partial f}{\partial u_i}\right) </math>

wo <math>h_i:=\left|\tfrac{\partial\vec r}{\partial u_i}\right|</math> metrische Faktoren sind, die sich aus den Ableitungen des Ortsvektors <math>\vec r</math> berechnen, und <math>h:=h_1h_2h_3</math> ist das Produkt dieser metrischen Faktoren.

Entwickelt schreibt sich die kanonische Form:

<math>\begin{align}

\Delta f =& \;\;\,\frac1{h_1^2}\left[\frac{\partial^2 f}{\partial u_1^2} +\frac{\partial f}{\partial u_1}\left(

   \frac1{h_2}\frac{\partial h_2}{\partial u_1}
   +\frac1{h_3}\frac{\partial h_3}{\partial u_1}
   -\frac1{h_1}\frac{\partial h_1}{\partial u_1}

\right)\right] \\& +\frac1{h_2^2}\left[\frac{\partial^2 f}{\partial u_2^2} +\frac{\partial f}{\partial u_2}\left(

   \frac1{h_3}\frac{\partial h_3}{\partial u_2}
   +\frac1{h_1}\frac{\partial h_1}{\partial u_2}
   -\frac1{h_2}\frac{\partial h_2}{\partial u_2}

\right)\right] \\& +\frac1{h_3^2}\left[\frac{\partial^2 f}{\partial u_3^2} +\frac{\partial f}{\partial u_3}\left(

   \frac1{h_1}\frac{\partial h_1}{\partial u_3}
   +\frac1{h_2}\frac{\partial h_2}{\partial u_3}
   -\frac1{h_3}\frac{\partial h_3}{\partial u_3}

\right)\right] \end{align}</math>

Allgemein krummlinige Koordinatensysteme

Die Anwendung des Laplace-Operators in beliebigen krummlinigen Koordinaten <math>u_i</math> berechnet sich mit den kovarianten Ableitungen der Vektorkomponenten der kontravarianten Darstellung des Gradienten:

<math>\operatorname{grad}f:=\sum_if_{,i}\vec g^i=:\sum_iv^i\vec g_i</math>

Damit schreibt sich:<ref name="W. Werner" details="S. 370,361"/>

<math>

\Delta f=\sum_iv^i|_i =\frac1{\sqrt{|G|}}\sum_i \frac{\partial}{\partial u_i} \left(\sqrt{|G|}\,v^i\right) </math>

Es sind

<math>(\cdot)_{,i}</math>	Ableitungen nach den Koordinaten <math>u_i</math>,
_i</math>	kovariante Ableitungen nach den Koordinaten <math>u_i</math>,
<math>\vec g^i:=\operatorname{grad}(u_i)</math>	kontravariante Basisvektoren und
<math>\vec g_i:=\vec r_{,i}</math>	kovariante Basisvektoren, die aus Ableitungen des Ortsvektors <math>\vec r</math> entstehen, und
<math>|G|</math>	das Quadrat des mit den kovarianten Basisvektoren gebildeten Spatprodukts <math>|G|=\left(\vec g_1\cdot(\vec g_2\times\vec g_3)\right)^2</math>.

Die Metrikmatrix <math>G</math> enthält die Skalarprodukte der Basisvektoren, <math>G_{ij}=\vec g_i\cdot\vec g_j</math>,<ref name="W. Werner" details="S. 283"/> und deren Determinante entspricht dem Quadrat des Spatprodukts.

Obiger Operator kann in Form des Laplace-Beltrami-Operators auf riemannsche Mannigfaltigkeiten übertragen werden.

In Orthogonalkoordinaten ist der Betrag des Spatprodukts gleich dem Produkt der Metrikfaktoren und <math>v^i=f_{,i}/h_i^2</math>, womit aus der letzten Formel die kanonische Form des Laplace-Operators in orthogonalen Koordinaten entsteht.

Vektorfelder

In einem kartesischen Koordinatensystem mit <math>x</math>-, <math>y</math>- und <math>z</math>-Koordinaten sowie Basisvektoren <math>\hat{e}_{x, y, z}</math> gilt:

<math>\Delta\vec v

=\frac{\partial^2}{\partial x^2}\vec v+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\vec v+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\vec v =\Delta v_x\hat{e}_x+\Delta v_y\hat{e}_y+\Delta v_z\hat{e}_z =\begin{pmatrix}

\Delta v_x\\
\Delta v_y\\
\Delta v_z

\end{pmatrix} </math>

Bei Verwendung von Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten ist die Differentiation der Basisvektoren zu beachten. Es ergibt sich in Zylinderkoordinaten mit radialer Koordinate ρ, Azimut φ und Höhe z über der ρφ-Ebene<ref name="Bestehorn"/>

<math>

\Delta\vec v = \left(\Delta v_\rho -\frac{1}{\rho^2}v_\rho -\frac{2}{\rho^2}\frac{\partial v_\varphi}{\partial\varphi} \right)\hat{e}_\rho +\left(\Delta v_\varphi -\frac{1}{\rho^2}v_\varphi +\frac{2}{\rho^2}\frac{\partial v_\rho}{\partial\varphi} \right)\hat{e}_\varphi +\Delta v_z\hat{e}_z </math>

Die Laplace-Operatoren auf der rechten Seite stehen für den skalaren Laplace-Operator in #Zylinderkoordinaten.

In Kugelkoordinaten mit Abstand r vom Ursprung, Zenitwinkel θ und Azimut φ berechnet sich mit dem Sinus und Cosinus, sin bzw. cos:

<math>\begin{align}

\Delta\vec v =& \left( \Delta v_r -\frac{2}{r^2}v_r -\frac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial v_\varphi}{\partial\varphi} -\frac{2}{r^2}\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta} -\frac{2\cos\theta}{r^2\sin\theta}v_\theta \right)\hat{e}_r \\& +\left( \Delta v_\theta +\frac{2}{r^2}\frac{\partial v_r}{\partial\theta} -\frac{2\cos\theta}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial v_\varphi}{\partial\varphi} -\frac{1}{r^2\sin^2\theta}v_\theta \right)\hat{e}_\theta \\& +\left( \Delta v_\varphi +\frac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial v_r}{\partial\varphi} -\frac{1}{r^2\sin^2\theta}v_\varphi +\frac{2\cos\theta}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial v_\theta}{\partial\varphi} \right)\hat{e}_\varphi \,,\end{align}</math>

wo die Laplace-Operatoren auf der rechten Seite wiederum den skalaren Laplace-Operator in #Kugelkoordinaten darstellen.

Rechenregeln

Produktregel

Wie für andere lineare Differentialoperatoren auch, gilt für den Laplace-Operator eine verallgemeinerte Produktregel. Diese lautet für Skalarfelder

<math>\Delta(fg)=f\,\Delta g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)+g\,\Delta f,</math>

wobei <math>f,g\colon U\to\R</math> zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen mit <math>U\subset\R^n</math> sind und „·“ das euklidische Standardskalarprodukt ist.<ref name="Forster"/>

Für entsprechend differenzierbare Vektor- und Tensorfelder gilt:<ref name="W. Werner" details="S. 372"/>

<math>\begin{align}

\Delta (f\,\vec v)=&(\Delta f)\,\vec v+f\,\Delta\vec v +2\operatorname{grad}(\vec v)\cdot\operatorname{grad}(f) \\ \Delta (f\,\mathbf T)=&(\Delta f)\,\mathbf T+f\,\Delta\mathbf T +2\operatorname{grad}(\mathbf T)\cdot\operatorname{grad}(f) \end{align}</math>

wo der „Rechtstensorgradient“

<math>\operatorname{grad}(\mathbf T)

=\sum_{i=1}^3\frac{\partial\mathbf T}{\partial u_i}\otimes\vec g^i </math> und <math> \operatorname{grad}(\mathbf T)\cdot\operatorname{grad}(f) =\sum_{i=1}^3\left(\vec g^i\cdot\operatorname{grad}(f)\right) \frac{\partial\mathbf T}{\partial u_i} </math>

mit <math>\vec g^i=\operatorname{grad}u_i</math> in krummlinigen Koordinaten u_1,2,3 auftaucht.

Mit den Produktregeln für Gradienten und Divergenzen, siehe Formelsammlung Tensoranalysis, lässt sich für zweimal differenzierbare Vektorfelder <math>\vec v, \vec w</math> und konstante Vektoren <math>\vec c</math> nachweisen:

<math>\begin{align}

\Delta(\vec v\cdot\vec w) =& (\Delta\vec v)\cdot\vec w +\vec v\cdot\Delta\vec w+2\,\mathrm{grad}(\vec v):\mathrm{grad}(\vec w) \\ \Delta(\vec v\cdot\vec c) =& (\Delta\vec v)\cdot\vec c \end{align}</math>

wo der Doppelpunkt gemäß A:B:=Sp(A^⊤·B) das Frobenius-Skalarprodukt von Tensoren zweiter Stufe A und B mittels der Spur Sp darstellt.

Nützliche Formeln

Mit dem Ortsvektor <math>\vec r</math>, dessen Betrag <math>r</math> und einer Funktion <math>f(r)</math> gilt bei <math>r>0</math>:<ref name="W. Werner" details="S. 385"/>

<math>\begin{align}

\Delta r =&\frac2r \\ \Delta(r^{-1}) =&0 \\ \Delta f =&\frac1r\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dr^2}\big(r\,f\big) =r\frac{\mathrm d^2f}{\mathrm dr^2}+\frac2r\frac{\mathrm df}{\mathrm dr} \end{align}</math>

Formeln für den vektoriellen Laplace-Operator:

<math>\begin{align}

\Delta\vec r=&\vec0 \\ \Delta\big(f\,\vec r\big)=&(\Delta f)\,\vec r+2\,\operatorname{grad} f \end{align}</math>

Eigenschaften

Der Laplace-Operator ist ein linearer Operator, das heißt: Sind <math>f</math> und <math>g</math> zweimal differenzierbare Funktionen und <math>a</math> und <math>b</math> Konstanten, so gilt

<math>\Delta (a\cdot f+b\cdot g) = a\cdot (\Delta f) + b\cdot (\Delta g).</math>

Der Laplace-Operator ist drehsymmetrisch, das heißt: Ist <math>f</math> eine zweimal differenzierbare Funktion und <math>R</math> eine Drehung, so gilt

<math>\left(\Delta f\right)\circ R=\Delta\left(f\circ R\right),</math>

wobei „<math>\circ</math>“ für die Verkettung von Abbildungen steht.

Der Laplace-Operator einer Funktion kann auch als Spur ihrer Hesse-Matrix dargestellt werden:

<math>

\Delta f =\mathrm{Spur}(H(f)) </math>

Divergenz- und rotationsfreie Vektorfelder sind harmonisch, was am vektoriellen Laplace-Operator ablesbar ist.

Das Hauptsymbol des Laplace-Operators ist <math>-\|\xi\|^2</math>. Er ist also ein elliptischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Daraus folgt, dass er ein Fredholm-Operator ist und mittels des Satzes von Atkinson folgt, dass er modulo eines kompakten Operators rechts- und linksinvertierbar ist.

Der Laplace-Operator

<math>-\Delta\colon\mathcal{S}(\R^n)\rightarrow L^2(\R^n)</math>

auf dem Schwartz-Raum ist wesentlich selbstadjungiert. Er hat daher einen Abschluss

<math>-\Delta\colon H^2(\R^n)\rightarrow L^2(\R^n)</math>

zu einem selbstadjungierten Operator auf dem Sobolev-Raum <math>H^2(\R^n)\subset L^2(\R^n)</math>.<ref name="D. Werner"/> Dieser Operator ist zudem nichtnegativ, sein Spektrum befindet sich also auf der nichtnegativen reellen Achse, das heißt:

<math>\sigma(-\Delta)\subset\R_0^+</math>

Die Eigenwertgleichung

<math>-\Delta f =\lambda f</math>

des Laplace-Operators wird Helmholtz-Gleichung genannt. Ist <math>\Omega\subset\R^n</math> ein beschränktes Gebiet und <math>H^2_0(\Omega)</math> der Sobolev-Raum mit den Randwerten <math>f=0</math> in <math>\partial\Omega</math>, dann bilden die Eigenfunktionen des Laplace-Operators <math>-\Delta\colon H^2_0(\Omega)\rightarrow L^2(\Omega)</math> ein vollständiges Orthonormalsystem von <math>L^2(\Omega)</math> und sein Spektrum besteht aus einem rein diskreten, reellen Punktspektrum, das nur in <math>\infty</math> einen Häufungspunkt haben kann. Dies folgt aus dem Spektralsatz für selbstadjungierte elliptische Differentialoperatoren.<ref name="Evans"/>

Anschaulich gibt <math>\Delta f(p)</math> für eine Funktion <math>f</math> an einem Punkt <math>p</math> an, wie sich der Mittelwert von <math>f</math> über konzentrische Kugelschalen um <math>p</math> mit wachsendem Kugelradius gegenüber <math>f(p)</math> verändert.

Poisson-, Helmholtz- und Laplace-Gleichung

→ Hauptartikel: Laplace-Gleichung, Helmholtz-Gleichung und Poisson-Gleichung

Definition der Gleichungen

Der Laplace-Operator tritt in einer Reihe wichtiger Differentialgleichungen der Physik auf. Die homogene Differentialgleichung

<math>\Delta\varphi = 0</math>

wird Laplace-Gleichung genannt und zweimal stetig differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen harmonische Funktionen. Die entsprechende inhomogene Gleichung

<math>\Delta\varphi = f</math>

heißt Poisson-Gleichung. Im Spezialfall <math>f=\lambda\varphi</math> entsteht die Helmholtz-Gleichung

<math>\Delta\varphi=\lambda\varphi</math>

Lösung mittels Trennung der Veränderlichen

Die Trennung der Veränderlichen gelingt in Laplace- und Helmholtz-Gleichungen immer in Koordinatensystemen, deren Koordinatenflächen konfokale Quadriken oder deren degenerierten Formen sind. Details dazu finden sich in den Hauptartikeln.

Fundamentallösung

Die Fundamentallösung <math>G(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})</math> des Laplace-Operators erfüllt die Poisson-Gleichung

<math>\Delta\, G(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=\delta(\vec{x}-\vec{x}^{\,\prime})</math>

mit der Delta-Distribution <math>\delta</math> auf der rechten Seite. Diese Funktion ist von der Anzahl der Raumdimensionen abhängig.

Im Dreidimensionalen lautet sie:

<math>G(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=-\frac{1}{4\pi\|\vec{x}-\vec{x}^{\,\prime}\|}+F(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})</math> mit <math>\Delta\, F(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=0</math>

Diese Fundamentallösung wird in der Elektrodynamik als Hilfsmittel zur Lösung von Randwertproblemen benötigt.

Im Zweidimensionalen lautet sie:

<math>G(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=\frac{\ln(\|\vec{x}-\vec{x}^{\,\prime}\|)}{2\pi}+F(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})</math> mit <math>\Delta\, F(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=0</math>

Verallgemeinerungen

D’Alembert-Operator

→ Hauptartikel: D’Alembert-Operator

Der Laplace-Operator ergibt zusammen mit der zweiten Zeitableitung den D’Alembert-Operator:

<math>\square =\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial t^2} -\Delta</math>

Dieser Operator kann als eine Verallgemeinerung des Laplace-Operators <math>\Delta</math> auf den Minkowski-Raum betrachtet werden.

Verallgemeinerter Laplace-Operator

→ Hauptartikel: Verallgemeinerter Laplace-Operator

Für den Laplace-Operator, der ursprünglich stets als Operator des euklidischen Raumes verstanden wurde, gab es mit der Formulierung der riemannschen Geometrie die Möglichkeit der Verallgemeinerung auf gekrümmte Flächen und riemannsche beziehungsweise pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten. Dieser allgemeinerte Operator wird als verallgemeinerter Laplace-Operator bezeichnet.

Diskreter Laplace-Operator

Auf eine diskrete Eingangsfunktion g_n bzw. g_nm wird der Laplace-Operator über eine Faltung angewendet. Dabei kann man folgende einfache Faltungsmasken verwenden:

1D-Filter <math>\quad\vec{D}^2_x\; =\begin{bmatrix}1 & -2 & 1\end{bmatrix}</math>

2D-Filter: <math>\quad\mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\1 & -4 & 1\\0 & 1 & 0\end{bmatrix}</math>

Für zwei Dimensionen gibt es noch alternative Varianten, die zusätzlich auch diagonale Kanten berücksichtigen, beispielsweise:

2D-Filter: <math>\quad\mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\1 & -8 & 1\\1 & 1 & 1\end{bmatrix}</math>

Diese Faltungsmasken erhält man durch die Diskretisierung der Differenzenquotienten. Dabei entspricht der Laplace-Operator einer gewichteten Summe über den Wert an benachbarten Punkten. Die Kantendetektion in der Bildverarbeitung (siehe Laplace-Filter) ist ein mögliches Anwendungsgebiet diskreter Laplace-Operatoren. Dort taucht eine Kante als Nulldurchgang der zweiten Ableitung des Signals auf. Auch bei der Diskretisierung von Differentialgleichungen oder in der Graphentheorie werden diskrete Laplace-Operatoren genutzt, siehe beispielsweise die Näherungsweise rechnerische Lösung von Potentialströmungen.

Siehe auch

• Biharmonische Gleichung
• Fraktionaler Laplace-Operator

Anwendungen

• Potentialströmung
• Airysche Spannungsfunktion
• Navier-Cauchy-Gleichungen

Weblinks

• Wie „krümme“ ich Nabla und Delta? Herleitung des Nablaoperators für orthonormal krummlinige Koordinaten. Auf: matheplanet.com.

Literatur

• Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, 1999, 4. Auflage, ISBN 3-8171-2004-4.
• Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rⁿ und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
• Russell Merris: Laplacian matrices of graphs: a survey. In: Linear Algebra and its Applications. S. 197–198, 143–176 (1994). ISSN 0024-3795

Einzelnachweise

<references> <ref name="W. Werner"> Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Tensoralgebra und Tensoranalysis. Band 1. Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25271-7, doi:10.1007/978-3-658-25272-4.  </ref> <ref name="MathWorld"> Eric W. Weisstein: Vector Laplacian. In: MathWorld (englisch). </ref> <ref name="Bestehorn"> M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6, S. 378.  </ref> <ref name="Forster"> Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im ℝⁿ. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. Auflage. Vieweg-Verlag, 2006, ISBN 3-528-47231-6, S. 61.  </ref> <ref name="D. Werner"> Dirk Werner: Funktionalanalysis. korrigierte Auflage. Band 6.. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 349.  </ref> <ref name="Evans"> Lawrence Craig Evans: partialial Differential Equations. Hrsg.: American Mathematical Society. Providence 2002, ISBN 0-8218-0772-2, S. 334–335.  </ref> <ref name="hbphys"> M. E. Gurtin: The Linear Theory of Elasticity. In: S. Flügge (Hrsg.): Handbuch der Physik. Band VIa/2, Bandherausgeber C. Truesdell. Springer, 1972, ISBN 3-540-05535-5, S. 10 ff.  </ref> <ref name="Greve"> Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 978-3-642-62463-6, S. 102, doi:10.1007/978-3-642-55485-8 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).  </ref> <ref name="Altenbach"> Holm Altenbach: Kontinuumsmechanik. Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-24118-5, S. 309, doi:10.1007/978-3-642-24119-2.  </ref> <ref name="Haupt"> P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2002, ISBN 978-3-642-07718-0, S. 184, doi:10.1007/978-3-662-04775-0.  </ref> </references>