Formelsammlung Tensoralgebra

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Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Tensoralgebra für Tensoren zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen. Es wird der reelle dreidimensionale Raum zugrunde gelegt.

Allgemeines[Bearbeiten]

Um das Transfervolumen trotz erheblicher Erweiterung von vormals über 15 MB auf unter 1 MB zu senken und damit die Übertragung zu beschleunigen und gleichzeitig Energie zu sparen, werden Formeln, wenn möglich, in Textform geschrieben. Der Schrifttypensatz hat keinen Einfluss auf den dargestellten Inhalt. Beispielsweise bedeuten (Datei:Vec u.svg, A) und <math>(\mathsf{\vec u},\mathbf A)</math> dasselbe. Das ermöglicht außerdem die Suche nach Zeichenfolgen wie „sin“, „∠“ oder „A^D“.

Notation[Bearbeiten]

Buchstaben die als Indizes benutzt werden:
- i, j, k, l, m, n ∈ {1, 2, 3}
- p, q, r, s ∈ {1, 2, …, 9}
- u, v ∈ {1, 2, …, 6}
Nicht tief oder hoch gestellte Buchstaben stehen für reelle Zahlen oder komplexe Zahlen.
Vektoren:
- Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum 𝕍.
- Vektoren werden mit Kleinbuchstaben wie Datei:Vec a.svg, â bezeichnet.
  Ausnahme: #Dualer axialer Vektor A_×
- Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Anker“ ist nicht vorhanden.Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie ê mit einem Hut versehen. Die Standardbasis von 𝕍 ist ê_1,2,3.
- Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie Datei:Vec a.svg mit einem Pfeil versehen. Der Name ohne Pfeil gibt den Betrag an:
  Datei:Vec a.svg ＝ a â.
- Dreiergruppen von Vektoren wie Datei:Vec h.svg₁, Datei:Vec h.svg₂, Datei:Vec h.svg₃ oder Datei:Vec g.svg¹, Datei:Vec g.svg², Datei:Vec g.svg³ bezeichnen Basen von 𝕍.
- Gleichnamige Basisvektoren mit unterem und oberem Index sind dual zueinander, z. B. ist Datei:Vec g.svg₁, Datei:Vec g.svg₂, Datei:Vec g.svg₃ dual zu Datei:Vec g.svg¹, Datei:Vec g.svg², Datei:Vec g.svg³.
- Als #Orthonormalbasisvektoren werden â, ĉ, ê, ĝ, ĥ und û_1,2,3 benutzt.
Tensoren zweiter Stufe sind Element des Vektorraums 𝓛 und bilden Vektoren aus 𝕍 nach 𝕍 ab. Sie werden wie A mit fetten Großbuchstaben notiert. Ausnahme: #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix [Datei:Vec v.svg]_×. Tensoren vierter Stufe werden doppelt gestrichen geschrieben wie beispielsweise 𝔸 und bilden Tensoren aus 𝓛 nach 𝓛 ab. Analoges zu den Vektoren oben gilt bei Tensoren zweiter Stufe:
- Neunergruppen von Tensoren wie in H₁, …, H₉ oder G¹, …, G⁹ bezeichnen eine Basis von 𝓛.
- Gleichnamige „Basistensoren“ mit unterem und oberem Index sind dual zueinander, z. B. ist G₁, …, G₉ dual zu G¹, …, G⁹.
Es gilt die Einstein’sche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
- Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in c ＝ a_i bⁱ wird über diesen Index summiert:
  c ＝ a_i bⁱ ＝ Datei:Sum over i from 1 to 3.svg a_i bⁱ.
- Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in c ＝ A_pq B^pq wird über diese summiert:
  c ＝ A_pq B^pq ＝ <math>\sum_{\mathsf p=1}^9\sum_{\mathsf q=1}^9</math> A_pq B^pq.
- Ein Index, der nur einfach vorkommt wie u in a_u ＝ A_uv b_v, ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
  a_u ＝ A_uv b_v bedeutet a_u ＝ <math>\sum_{\mathsf v=1}^6</math> A_uv b_v für alle u ∈ {1, …, 6}.
- Wird die Summation mit Datei:Sum over i from 1 to 3.svg explizit gefordert, ist die Summenkonvention außer Kraft gesetzt.

Glossar[Bearbeiten]

Reservierte und besondere Symbole[Bearbeiten]

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
1	#Einheitstensor zweiter Stufe	Einheitstensor
𝟙, 𝕀	#Einheitstensor vierter Stufe	Einheitstensor
Q, R	#Orthogonale Tensoren	Orthogonaler Tensor
λ	#Eigenwerte, im Abschnitt #Tensoren vierter Stufe erste Lamé-Konstante	Eigenwertproblem, Lamé-Konstante
δ_ij	#Kronecker-Delta	Kronecker-Delta
ϵ_ijk	#Permutationssymbol	Permutationssymbol
𝞊	#Fundamentaltensor 3. Stufe	Epsilon-Tensor
i		Imaginäre Einheit: i² ＝ −1
Datei:Vec 0.svg, O, 𝕆	Nullvektor, Nulltensor zweiter und vierter Stufe

Zeichen für Operatoren[Bearbeiten]

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
∠(·, ·)	#Skalarprodukt von Vektoren, #Kreuzprodukt von Vektoren	Winkel zwischen zwei Vektoren
(·) · (·)	#Skalarprodukt von Vektoren, #Vektortransformation, #Tensorprodukt	Skalarprodukt
(·) × (·)	#Kreuzprodukt von Vektoren, #Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor, #Kreuzprodukt von Tensoren	Kreuzprodukt
(·) : (·)	#Skalarprodukt von Tensoren	Frobenius-Skalarprodukt
(·) ⊗ (·)	#Dyadisches Produkt, #Dyade	Dyadisches Produkt
(·) ·× (·)	#Skalarkreuzprodukt von Tensoren
(·) ×× (·)	#Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren
(·) # (·)	#Äußeres Tensorprodukt	Äußeres Tensorprodukt
∥(·)∥	#Betrag eines Tensors zweiter Stufe	Frobeniusnorm
\|x\|, \|Datei:Vec v.svg\|, \|A\|	Betrag der Zahl x oder des Vektors Datei:Vec v.svg, #Determinante des Tensors A	Betragsfunktion, Vektor#Länge/Betrag eines Vektors, Determinante
(·) ∥ (·)		Kollinearität
(·) ∦ (·)		Lineare Unabhängigkeit
(·) ⊥ (·)		Orthogonalität
sin, cos, tan		Winkelfunktionen
sgn(x)		Vorzeichen der reellen Zahl x
x, <math>\mathsf{\bar{\vec v}}</math>, A		Komplexe Konjugation

Operatoren für komplexe Argumente werden nicht speziell definiert, komplexe Konjugationen immer angezeigt, z. B.

|Datei:Vec v.svg|² ＝ <math>\mathsf{\vec v\cdot\bar{\vec v}}</math>

bei komplexen Vektoren. Dies ist insbesondere bei der #Vektortransformation zu beachten. Komplexe Zahlen werden nur in den Abschnitten #Eigensystem und #Spektralzerlegung benutzt.

Tensorfunktionen[Bearbeiten]

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
Sp, I₁	#Spur	Spur (Mathematik), Hauptinvariante
I₂	#Zweite Hauptinvariante	Hauptinvariante
det, I₃, \|A\|	#Determinante	Determinante, Hauptinvariante
[Datei:Vec v.svg]_×	#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix	Kreuzprodukt
[A], [𝔸]	#Voigtsche Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe, #Voigtsche Notation von Tensoren vierter Stufe und nur in diesen Abschnitten	Voigtsche Notation
A_×	#Dualer axialer Vektor	Kreuzprodukt
Datei:Vec i.svg(A)	#Vektorinvariante	Vektorinvariante
adj(A)	#Adjunkte	Adjunkte
cof(A)	#Kofaktor	Minor (Mathematik)#Kofaktormatrix
dev(A)	#Deviator	Deviator, Spannungsdeviator
skw(A)	#Schiefsymmetrischer Anteil	Schiefsymmetrische Matrix
sph(A)	#Kugelanteil	Kugeltensor
sym(A)	#Symmetrischer Anteil	Symmetrische Matrix

Indizes[Bearbeiten]

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
A_ij, A^ij, Aⁱ_j	#Tensorkomponenten von A, siehe auch #Basis und duale Basis
A^⊤	#Transposition	Transponierte Matrix
𝔸<math>{}^{\stackrel{\mathsf{kn}}{\top}}</math>	#Transpositionen von Tensoren vierter Stufe
A⁻¹	#Inverse	Inverse Matrix
A^⊤−1, A^−⊤	#Transposition der #Inversen
A^S	#Symmetrischer Anteil	Symmetrische Matrix
A^A	#Schiefsymmetrischer Anteil	Schiefsymmetrische Matrix
A^D	#Deviator	Deviator, Spannungsdeviator
A^K	#Kugelanteil	Kugeltensor
A_×	#Dualer axialer Vektor	Kreuzprodukt
x⁻¹		Kehrwert
(·)^½, √(·)		Wurzel (Mathematik)

Mengen[Bearbeiten]

Formelzeichen	Elemente
ℝ	Reelle Zahlen
𝕍	Vektoren
𝓛 ＝ Lin(𝕍,𝕍)	Tensoren zweiter Stufe
Lin(𝓛,𝓛)	#Tensoren vierter Stufe
𝓢 ＝ Sym(𝕍,𝕍)	#Symmetrische Tensoren zweiter Stufe
𝔏(𝓢,𝓢)	Spezielle lineare Abbildungen von symmetrischen Tensoren auf symmetrische Tensoren, siehe #Voigtsche Notation von Tensoren vierter Stufe
O(3)	Orthogonale Gruppe, #Orthogonale Tensoren (mit det(Q) ＝ ±1)
SO(3)	Drehgruppe, eigentlich #Orthogonale Tensoren (mit det(Q) ＝ +1)

Kronecker-Delta[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

Definition:

δ_ij ＝	Datei:Caseopen2.svg	1 falls i ＝ j
		0 sonst

Für Summen gilt dann z. B.

v_i δ_ij ＝ v_j

A_ij δ_ij ＝ A_ii

Permutationssymbol[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

ϵ_ijk ＝	Datei:Caseopen3.svg	1	falls (i, j, k) ∈ { (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) }
		−1	falls (i, j, k) ∈ { (1, 3, 2), (2, 1, 3), (3, 2, 1) }
		0	sonst, d. h. bei doppeltem Index

Verhalten bei vertauschten Indizes:

ϵ_ijk ＝ ϵ_jki ＝ ϵ_kij

ϵ_ijk ＝ −ϵ_ikj ＝ −ϵ_jik ＝ −ϵ_kji

Produkte und deren Summen:

ϵ_ijk ϵ_lmn ＝	δ_il	δ_jl	δ_kl
	δ_im	δ_jm	δ_km
	δ_in	δ_jn	δ_kn

ϵ_ijk ϵ_klm ＝ δ_il δ_jm − δ_im δ_jl

ϵ_ijk ϵ_jkl ＝ 2 δ_il

ϵ_ijk ϵ_ijk ＝ 6

#Kreuzprodukt von Vektoren:

ϵ_ijk ê_k ＝ ê_i × ê_j

ϵ_ijk ê_j × ê_k ＝ 2 ê_i

ϵ_ijk ê_i × (ê_j × ê_k) ＝ Datei:Vec 0.svg

#Spatprodukt:

ϵ_ijk ＝ ê_i · (ê_j × ê_k)

Spaltenvektoren und Matrizen[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Die hier verwendeten Vektoren sind Spaltenvektoren

Datei:Vec a.svg ＝ a_i ê_i ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	a₁	Datei:Rightpmatrix3.svg
	a₂
	a₃

Drei Vektoren Datei:Vec a.svg, Datei:Vec b.svg und Datei:Vec c.svg können spaltenweise in einer 3×3-Matrix M arrangiert werden:

M ＝ M_ij ê_i ⊗ ê_j ＝ (Datei:Vec a.svg Datei:Vec b.svg Datei:Vec c.svg) ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	a₁ b₁ c₁	Datei:Rightpmatrix3.svg
	a₂ b₂ c₂
	a₃ b₃ c₃

Die #Determinante der Matrix

|M| ＝ |Datei:Vec a.svg Datei:Vec b.svg Datei:Vec c.svg|

ist

ungleich null, wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind und
größer null, wenn die Spaltenvektoren zusätzlich ein Rechtssystem bilden.

Also gewährleistet |Datei:Vec a.svg Datei:Vec b.svg Datei:Vec c.svg| > 0, dass die Vektoren Datei:Vec a.svg, Datei:Vec b.svg und Datei:Vec c.svg eine rechtshändige Basis bilden.

Die Spaltenvektoren bilden eine #Orthonormalbasis, wenn

M^⊤ M ＝ E

worin M^⊤ die transponierte Matrix und E die Einheitsmatrix ist. Bei einer rechtshändigen Orthonormalbasis ist

|M| ＝ +1.

Vektoralgebra[Bearbeiten]

Skalarprodukt von Vektoren[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

Abbildung 𝕍 × 𝕍 ↦ ℝ

Datei:Vec a.svg · Datei:Vec b.svg ＝ |Datei:Vec a.svg| |Datei:Vec b.svg| cos(∠(Datei:Vec a.svg, Datei:Vec b.svg))

Betragsquadrat eines Vektors (einzige irreduzible Invariante):

│Datei:Vec a.svg│² ＝ Datei:Vec a.svg · Datei:Vec a.svg

Bezüglich einer #Orthonormalbasis ĉ_1,2,3:

(a_i ĉ_i) · (b_j ĉ_j) ＝ a_j b_j ＝ a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃

Kreuzprodukt von Vektoren[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

Abbildung 𝕍 × 𝕍 ↦ 𝕍

Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg ＝ Datei:Vec c.svg ∈ 𝕍

Eigenschaften:

Datei:Vec a.svg × Datei:Vec a.svg ＝ Datei:Vec 0.svg

Datei:Vec b.svg × Datei:Vec a.svg ＝ −Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg

Datei:Vec a.svg · (Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg) ＝ Datei:Vec b.svg · (Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg) ＝ 0

det(Datei:Vec a.svg Datei:Vec b.svg Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg) ≥ 0

Graßmann-Identität:

Datei:Vec a.svg × (Datei:Vec b.svg × Datei:Vec c.svg) ＝ (Datei:Vec a.svg · Datei:Vec c.svg) Datei:Vec b.svg − (Datei:Vec a.svg · Datei:Vec b.svg) Datei:Vec c.svg „BAC−CAB-Formel“

(Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg) × Datei:Vec c.svg ＝ (Datei:Vec a.svg · Datei:Vec c.svg) Datei:Vec b.svg − (Datei:Vec b.svg · Datei:Vec c.svg) Datei:Vec a.svg

Kreuzprodukt aus zwei Kreuzprodukten mit #Spatprodukten:

(Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg) × (Datei:Vec c.svg × Datei:Vec d.svg)	＝ [Datei:Vec d.svg · (Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg)] Datei:Vec c.svg − [Datei:Vec c.svg · (Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg)] Datei:Vec d.svg
	＝ [Datei:Vec a.svg · (Datei:Vec c.svg × Datei:Vec d.svg)] Datei:Vec b.svg − [Datei:Vec b.svg · (Datei:Vec c.svg × Datei:Vec d.svg)] Datei:Vec a.svg

Bezüglich der Standardbasis:

(a_i ê_i) × (b_j ê_j)	＝ ϵ_ijk a_i b_j ê_k
	＝	ê₁	ê₂	ê₃	＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	a₂ b₃ − a₃ b₂	Datei:Rightpmatrix3.svg
		a₁	a₂	a₃		a₃ b₁ − a₁ b₃
		b₁	b₂	b₃		a₁ b₂ − a₂ b₁

Spatprodukt[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

Abbildung 𝕍 × 𝕍 × 𝕍 ↦ ℝ

Datei:Vec a.svg · (Datei:Vec b.svg × Datei:Vec c.svg) ＝ det(Datei:Vec a.svg Datei:Vec b.svg Datei:Vec c.svg)

Datei:Vec a.svg · (Datei:Vec b.svg × Datei:Vec c.svg) ＝ Datei:Vec b.svg · (Datei:Vec c.svg × Datei:Vec a.svg) ＝ Datei:Vec c.svg · (Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg)

(a_i ê_i) · [(b_j ê_j) × (c_k ê_k)] ＝ ϵ_ijk a_i b_j c_k

Lagrange-Identität:

(Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg) · (Datei:Vec c.svg × Datei:Vec d.svg) ＝ (Datei:Vec a.svg · Datei:Vec c.svg) (Datei:Vec b.svg · Datei:Vec d.svg) − (Datei:Vec b.svg · Datei:Vec c.svg) (Datei:Vec a.svg · Datei:Vec d.svg)

Basis und duale Basis[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Basisvektoren Datei:Vec u.svg₁, Datei:Vec u.svg₂, Datei:Vec u.svg₃

Duale Basisvektoren Datei:Vec u.svg¹, Datei:Vec u.svg², Datei:Vec u.svg³

Beziehungen zwischen den Basisvektoren

Datei:Vec u.svg_i · Datei:Vec u.svg^j ＝ δ_ij

Mit dem #Kreuzprodukt von Vektoren „×“ und dem #Spatprodukt:

Datei:Vec u.svg¹ ＝	Datei:Vec u.svg₂ × Datei:Vec u.svg₃	, Datei:Vec u.svg² ＝	Datei:Vec u.svg₃ × Datei:Vec u.svg₁	, Datei:Vec u.svg³ ＝	Datei:Vec u.svg₁ × Datei:Vec u.svg₂
	Datei:Vec u.svg₁ · (Datei:Vec u.svg₂ × Datei:Vec u.svg₃)		Datei:Vec u.svg₂ · (Datei:Vec u.svg₃ × Datei:Vec u.svg₁)		Datei:Vec u.svg₃ · (Datei:Vec u.svg₁ × Datei:Vec u.svg₂)

Datei:Vec u.svg₁ ＝	Datei:Vec u.svg² × Datei:Vec u.svg³	, Datei:Vec u.svg₂ ＝	Datei:Vec u.svg³ × Datei:Vec u.svg¹	, Datei:Vec u.svg₃ ＝	Datei:Vec u.svg¹ × Datei:Vec u.svg²
	Datei:Vec u.svg¹ · (Datei:Vec u.svg² × Datei:Vec u.svg³)		Datei:Vec u.svg² · (Datei:Vec u.svg³ × Datei:Vec u.svg¹)		Datei:Vec u.svg³ · (Datei:Vec u.svg¹ × Datei:Vec u.svg²)

Trägt man die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix ein, dann finden sich die dualen Basisvektoren in den Spalten der #transponiert #Inversen:

(Datei:Vec u.svg¹ Datei:Vec u.svg² Datei:Vec u.svg³) ＝ (Datei:Vec u.svg₁ Datei:Vec u.svg₂ Datei:Vec u.svg₃)^⊤−1

Beziehung zwischen den Skalarprodukten der Basisvektoren:

(Datei:Vec u.svg_i · Datei:Vec u.svg_k) (Datei:Vec u.svg^k · Datei:Vec u.svg^j) ＝ δ_ij

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Anker“ ist nicht vorhanden.In der Standardbasis wie in jeder Orthonormalbasis sind die Basisvektoren ĉ_1,2,3 zu sich selbst dual:

ĉ_i ＝ ĉⁱ, ĉ_i · ĉ_j ＝ δ_ij

In einer rechtshändigen Orthonormalbasis ĉ_1,2,3 ist

ĉ₁ ＝ ĉ₂ × ĉ₃, ĉ₂ ＝ ĉ₃ × ĉ₁, ĉ₃ ＝ ĉ₁ × ĉ₂

Berechnung der Vektorkomponenten[Bearbeiten]

Datei:Vec v.svg ＝ v_i ê_i ↔ v_i ＝ Datei:Vec v.svg · ê_i

Datei:Vec v.svg ＝ vⁱ Datei:Vec u.svg_i ↔ vⁱ ＝ Datei:Vec v.svg · Datei:Vec u.svgⁱ

Datei:Vec v.svg ＝ v_i Datei:Vec u.svgⁱ ↔ v_i ＝ Datei:Vec v.svg · Datei:Vec u.svg_i

Wechsel der Basis bei Vektoren[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

Datei:Vec v.svg ＝ v^j Datei:Vec a.svg_j ＝ ṽⁱ Datei:Vec u.svg_i

#Berechnung der Vektorkomponenten liefert:

Datei:Vec v.svg ＝ ṽⁱ Datei:Vec u.svg_i ↔ ṽⁱ ＝ Datei:Vec v.svg · Datei:Vec u.svgⁱ ＝ (v^j Datei:Vec a.svg_j) · Datei:Vec u.svgⁱ ＝ (Datei:Vec u.svgⁱ · Datei:Vec a.svg_j) v^j

Als Matrizengleichung:

Datei:Leftpmatrix3.svg	ṽ¹	Datei:Rightpmatrix3.svg ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	Datei:Vec u.svg¹ · Datei:Vec a.svg₁	Datei:Vec u.svg¹ · Datei:Vec a.svg₂	Datei:Vec u.svg¹ · Datei:Vec a.svg₃	Datei:Rightpmatrix3.svg Datei:Leftpmatrix3.svg	v¹	Datei:Rightpmatrix3.svg
	ṽ²		Datei:Vec u.svg² · Datei:Vec a.svg₁	Datei:Vec u.svg² · Datei:Vec a.svg₂	Datei:Vec u.svg² · Datei:Vec a.svg₃		v²
	ṽ³		Datei:Vec u.svg³ · Datei:Vec a.svg₁	Datei:Vec u.svg³ · Datei:Vec a.svg₂	Datei:Vec u.svg³ · Datei:Vec a.svg₃		v³

Dyadisches Produkt[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Die grundlegenden Eigenschaften des dyadischen Produkts „⊗“ sind:

Abbildung 𝕍 × 𝕍 ↦ 𝓛

Datei:Vec a.svg, Datei:Vec u.svg ∈ 𝕍: Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec u.svg ＝ T ∈ 𝓛

Bezüglich der Standardbasis:

Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec u.svg ＝ (a_i ê_i) ⊗ (u_j ê_j) ＝ a_i u_j ê_i ⊗ ê_j ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	a₁ u₁	a₁ u₂	a₁ u₃	Datei:Rightpmatrix3.svg
	a₂ u₁	a₂ u₂	a₂ u₃
	a₃ u₁	a₃ u₂	a₃ u₃

(a_i ê_i) ⊗ (b_j ê_j) + (c_i ê_i) ⊗ (d_j ê_j) ＝ (a_i b_j + c_i d_j) ê_i ⊗ ê_j

Bezüglich beliebiger Basen:

(aⁱ Datei:Vec a.svg_i) ⊗ (u^j Datei:Vec u.svg_j) ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	a¹ u¹	a¹ u²	a¹ u³	Datei:Rightpmatrix3.svg	_{Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec u.svg_j}
	a² u¹	a² u²	a² u³
	a³ u¹	a³ u²	a³ u³

Multiplikation mit einem Skalar x:

x (Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec u.svg) ＝ (x Datei:Vec a.svg) ⊗ Datei:Vec u.svg ＝ Datei:Vec a.svg ⊗ (x Datei:Vec u.svg) ＝ x Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec u.svg

Distributivität:

(x + y) Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec u.svg ＝ x Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec u.svg + y Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec u.svg

(Datei:Vec a.svg + Datei:Vec b.svg) ⊗ Datei:Vec u.svg ＝ Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec u.svg + Datei:Vec b.svg ⊗ Datei:Vec u.svg

Datei:Vec a.svg ⊗ (Datei:Vec u.svg + Datei:Vec v.svg) ＝ Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec u.svg + Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec v.svg

#Spur:

Sp(Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec u.svg) :＝ Datei:Vec a.svg · Datei:Vec u.svg

#Skalarprodukt von Tensoren:

(Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec u.svg) : (Datei:Vec b.svg ⊗ Datei:Vec v.svg) ＝ (Datei:Vec a.svg · Datei:Vec b.svg) (Datei:Vec u.svg · Datei:Vec v.svg)

Weitere Eigenschaften von Dyaden siehe #Dyade und den folgenden Abschnitt.

Tensoren als Elemente eines Vektorraumes[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

Durch die Eigenschaften des dyadischen Produktes wird 𝓛 ＝ Lin(𝕍,𝕍) zu einem euklidischen Vektorraum und entsprechend kann jeder Tensor komponentenweise bezüglich einer Basis von 𝓛 dargestellt werden:

A ∈ 𝓛 ↔ A ＝ A_ij ê_i ⊗ ê_j ＝ A^ij Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec g.svg_j mit Komponenten A_ij, A^ij ∈ ℝ.

Die Dyaden {ê_i ⊗ ê_j | i, j ＝ 1, 2, 3} und {Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec g.svg_j | i, j ＝ 1, 2, 3} bilden Basissysteme von 𝓛.

Operatoren[Bearbeiten]

Transposition[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Abbildung 𝓛 ↦ 𝓛

(Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg)^⊤ ＝ Datei:Vec g.svg ⊗ Datei:Vec a.svg

(A^ij Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec g.svg_j)^⊤ ＝ A^ij Datei:Vec g.svg_j ⊗ Datei:Vec a.svg_i ＝ A^ji Datei:Vec g.svg_i ⊗ Datei:Vec a.svg_j

(A_ij ê_i ⊗ ê_j)^⊤ ＝ A_ij ê_j ⊗ ê_i ＝ A_ji ê_i ⊗ ê_j

(A^⊤)^⊤= A

(A + B)^⊤= A^⊤+ B^⊤

(A · B)^⊤= B^⊤· A^⊤

Vektortransformation[Bearbeiten]

Abbildung 𝓛 × 𝕍 ↦ 𝕍 oder 𝕍 × 𝓛 ↦ 𝕍

Dyaden:

(Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg) · Datei:Vec h.svg :＝ (Datei:Vec g.svg · Datei:Vec h.svg) Datei:Vec a.svg

Datei:Vec b.svg · (Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg) :＝ (Datei:Vec a.svg · Datei:Vec b.svg) Datei:Vec g.svg

(Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg) · Datei:Vec h.svg ＝ Datei:Vec h.svg · (Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg)^⊤

Datei:Vec b.svg · (Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg) ＝ (Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg)^⊤ · Datei:Vec b.svg

Allgemeine Tensoren:

A_ij (ê_i ⊗ ê_j) · (v_k ê_k) ＝ A_ij v_j ê_i

(v_k ê_k) · A_ij (ê_i ⊗ ê_j) ＝ A_ij v_i ê_j

A^ij (Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec g.svg_j) · (v^k Datei:Vec h.svg_k) ＝ A^ij (Datei:Vec g.svg_j · Datei:Vec h.svg_k) v^k Datei:Vec a.svg_i

(v^k Datei:Vec b.svg_k) · A^ij (Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec g.svg_j) ＝ A^ij (Datei:Vec a.svg_i · Datei:Vec b.svg_k) v^k Datei:Vec g.svg_j

Symbolisch:

A · Datei:Vec v.svg ＝ Datei:Vec v.svg · A^⊤

Datei:Vec v.svg · A ＝ A^⊤ · Datei:Vec v.svg

Tensorprodukt[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Abbildung 𝓛 × 𝓛 ↦ 𝓛

(Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg) · (Datei:Vec h.svg ⊗ Datei:Vec u.svg) :＝ (Datei:Vec g.svg · Datei:Vec h.svg) Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec u.svg

(Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg) · A ＝ Datei:Vec a.svg ⊗ (Datei:Vec g.svg · A) ＝ Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg · A

(Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg) · A ＝ Datei:Vec a.svg ⊗ (A^⊤ · Datei:Vec g.svg)

A · (Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg) ＝ (A · Datei:Vec a.svg) ⊗ Datei:Vec g.svg ＝ A · Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg

(A_ik ê_i ⊗ ê_k) · (B_lj ê_l ⊗ ê_j) ＝ A_ik B_kj ê_i ⊗ ê_j

(A^ij Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec g.svg_j) · (B^kl Datei:Vec h.svg_k ⊗ Datei:Vec u.svg_l) ＝ A^ij (Datei:Vec g.svg_j · Datei:Vec h.svg_k) B^kl Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec u.svg_l

Skalarprodukt von Tensoren[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Abbildung 𝓛 × 𝓛 ↦ ℝ

(Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg) : (Datei:Vec b.svg ⊗ Datei:Vec h.svg) :＝ Sp((Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg)^⊤ · (Datei:Vec b.svg ⊗ Datei:Vec h.svg)) ＝ (Datei:Vec a.svg · Datei:Vec b.svg) (Datei:Vec g.svg · Datei:Vec h.svg)

A : B :＝ Sp(A^⊤· B) ＝ Sp(A · B^⊤)

(A_ij ê_i ⊗ ê_j) : (B_kl ê_k ⊗ ê_l) ＝ A_ij B_ij

(A^ij Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec g.svg_j) : (B^kl Datei:Vec b.svg_k ⊗ Datei:Vec h.svg_l) ＝ A^ij B^kl (Datei:Vec a.svg_i · Datei:Vec b.svg_k) (Datei:Vec g.svg_j · Datei:Vec h.svg_l)

Eigenschaften:

A : B ＝ B : A ＝ A^⊤: B^⊤= B^⊤: A^⊤

A^⊤: B ＝ A : B^⊤

A : (B · C) ＝ (B^⊤· A) : C ＝ (A · C^⊤) : B

(A · B) : C ＝ B : (A^⊤· C) ＝ A : (C · B^⊤)

A : (Datei:Vec u.svg ⊗ Datei:Vec v.svg) ＝ Datei:Vec u.svg · A · Datei:Vec v.svg

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor[Bearbeiten]

Abbildung 𝕍 × 𝓛 ↦ 𝓛 oder 𝓛 × 𝕍 ↦ 𝓛

Dyaden:

Datei:Vec a.svg × (Datei:Vec b.svg ⊗ Datei:Vec g.svg) ＝ (Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg) ⊗ Datei:Vec g.svg ＝ Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg ⊗ Datei:Vec g.svg

(Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg) × Datei:Vec h.svg ＝ Datei:Vec a.svg ⊗ (Datei:Vec g.svg × Datei:Vec h.svg) ＝ Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg × Datei:Vec h.svg

Bezüglich der Standardbasis

a_i ê_i × (A_jl ê_j ⊗ ê_l) ＝ a_i A_jl (ê_i × ê_j) ⊗ ê_l ＝ ϵ_ijk a_i A_jl ê_k ⊗ ê_l

(A_ij ê_i ⊗ ê_j) × a_k ê_k ＝ A_ij a_k ê_i ⊗ (ê_j × ê_k) ＝ ϵ_jkl A_ij a_k ê_i ⊗ ê_l

Vektortransformation:

(A × Datei:Vec g.svg) · Datei:Vec h.svg ＝ A · (Datei:Vec g.svg × Datei:Vec h.svg)

Datei:Vec b.svg · (Datei:Vec a.svg × A) ＝ (Datei:Vec b.svg × Datei:Vec a.svg) · A

(Datei:Vec a.svg × A) · Datei:Vec g.svg ＝ Datei:Vec a.svg × (A · Datei:Vec g.svg) ＝ Datei:Vec a.svg × A · Datei:Vec g.svg

Datei:Vec b.svg · (A × Datei:Vec g.svg) ＝ (Datei:Vec b.svg · A) × Datei:Vec g.svg ＝ Datei:Vec b.svg · A × Datei:Vec g.svg

Kreuzprodukt mit dem Einheitstensor ergibt den axialen Tensor:

Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg	＝	(Datei:Vec a.svg × 1) · Datei:Vec b.svg ＝ Datei:Vec a.svg · (Datei:Vec b.svg × 1)
	＝	−Datei:Vec b.svg · (Datei:Vec a.svg × 1) ＝ −(Datei:Vec b.svg × 1) · Datei:Vec a.svg ＝ −Datei:Vec b.svg × Datei:Vec a.svg

Mehr dazu, siehe #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix.

Mehrfach:

Datei:Vec a.svg × (Datei:Vec b.svg × A) ＝ Datei:Vec b.svg ⊗ Datei:Vec a.svg · A − (Datei:Vec a.svg · Datei:Vec b.svg) A

[Datei:Vec a.svg × (Datei:Vec b.svg × A)] · Datei:Vec g.svg ＝ Datei:Vec a.svg × [Datei:Vec b.svg × (A · Datei:Vec g.svg)] ＝ (Datei:Vec a.svg · A · Datei:Vec g.svg) Datei:Vec b.svg − (Datei:Vec a.svg · Datei:Vec b.svg) A · Datei:Vec g.svg

Datei:Vec a.svg × (Datei:Vec b.svg × 1) ＝ Datei:Vec b.svg ⊗ Datei:Vec a.svg − (Datei:Vec a.svg · Datei:Vec b.svg) 1

[Datei:Vec a.svg × (Datei:Vec b.svg × 1)] · Datei:Vec c.svg ＝ Datei:Vec a.svg × (Datei:Vec b.svg × Datei:Vec c.svg) ＝ (Datei:Vec a.svg · Datei:Vec c.svg) Datei:Vec b.svg − (Datei:Vec a.svg · Datei:Vec b.svg) Datei:Vec c.svg

Datei:Vec a.svg × (A × Datei:Vec b.svg) ＝ −(Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec b.svg) # A

Meistens ist aber:

(A · Datei:Vec a.svg) × Datei:Vec g.svg ≠ A · (Datei:Vec a.svg × Datei:Vec g.svg) ＝ (A × Datei:Vec a.svg) · Datei:Vec g.svg

Datei:Vec a.svg × (Datei:Vec g.svg · A) ≠ (Datei:Vec a.svg × Datei:Vec g.svg) · A ＝ Datei:Vec a.svg · (Datei:Vec g.svg × A)

Kreuzprodukt von Tensoren[Bearbeiten]

Abbildung 𝓛 × 𝓛 ↦ 𝕍

(Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg) × (Datei:Vec b.svg ⊗ Datei:Vec h.svg) ＝ (Datei:Vec g.svg · Datei:Vec h.svg) Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg

(A_ik ê_i ⊗ ê_k) × (B_jl ê_j ⊗ ê_l) :＝ A_ik B_jk ê_i × ê_j ＝ ϵ_ijl A_ik B_jk ê_l ＝ …
… ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	A₂₁ B₃₁ − A₃₁ B₂₁ + A₂₂ B₃₂ − A₃₂ B₂₂ + A₂₃ B₃₃ − A₃₃ B₂₃	Datei:Rightpmatrix3.svg
	A₃₁ B₁₁ − A₁₁ B₃₁ + A₃₂ B₁₂ − A₁₂ B₃₂ + A₃₃ B₁₃ − A₁₃ B₃₃
	A₁₁ B₂₁ − A₂₁ B₁₁ + A₁₂ B₂₂ − A₂₂ B₁₂ + A₁₃ B₂₃ − A₂₃ B₁₃

Eigenschaften:

A × A ＝ Datei:Vec 0.svg

B × A ＝ −A × B

A × (B · C) ＝ (A · C^⊤) × B

(A · B) × C ＝ A × (C · B^⊤)

Zusammenhang mit der #Vektorinvariante:

A × B ＝ Datei:Vec i.svg(A · B^⊤)

A × 1 ＝ Datei:Vec i.svg(A)

(Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec b.svg) × 1 ＝ Datei:Vec i.svg(Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec b.svg) ＝ Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg

Zusammenhang mit dem #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

A × B ＝ A ·× (B^⊤)

Skalarkreuzprodukt von Tensoren[Bearbeiten]

Abbildung 𝓛 × 𝓛 ↦ 𝕍

(Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg) ·× (Datei:Vec h.svg ⊗ Datei:Vec u.svg) :＝ (Datei:Vec g.svg · Datei:Vec h.svg) Datei:Vec a.svg × Datei:Vec u.svg

Zusammenhang mit dem #Kreuzprodukt von Tensoren:

A ·× B ＝ A × (B^⊤)

Zusammenhang mit der #Vektorinvariante:

A ·× B ＝ Datei:Vec i.svg(A · B)

A ·× 1 ＝ 1 ·× A ＝ Datei:Vec i.svg(A)

Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren[Bearbeiten]

Siehe auch #Äußeres Tensorprodukt #

Abbildung 𝓛 × 𝓛 ↦ 𝓛

(Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg) ×× (Datei:Vec h.svg ⊗ Datei:Vec b.svg) :＝ (Datei:Vec g.svg × Datei:Vec h.svg) ⊗ (Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg) ＝ (Datei:Vec g.svg ⊗ Datei:Vec a.svg) # (Datei:Vec h.svg ⊗ Datei:Vec b.svg)

A_ij (ê_i ⊗ ê_j) ×× (B_kl (ê_k ⊗ ê_l)) :＝ A_ij B_kl (ê_j × ê_k) ⊗ (ê_i × ê_l)

A ×× B ＝ A^⊤# B

Äußeres Tensorprodukt[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Abbildung 𝓛 × 𝓛 ↦ 𝓛

(Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg) # (Datei:Vec b.svg ⊗ Datei:Vec h.svg) :＝ (Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg) ⊗ (Datei:Vec g.svg × Datei:Vec h.svg)

A # B	＝	[Sp(A) Sp(B) − Sp(A · B)] 1 + [A · B + B · A − Sp(A) B − Sp(B) A]^⊤
	＝	cof(A + B) − cof(A) − cof(B)

Bezüglich der Standardbasis:

(A_ij ê_i ⊗ ê_j) # (B_kl ê_k ⊗ ê_l)	=	A_ij B_kl (ê_i × ê_k) ⊗ (ê_j × ê_l)
	=	ϵ_ikm ϵ_jln A_ij B_kl ê_m ⊗ ê_n

Grundlegende Eigenschaften:

(x A) # B ＝ A # (x B) ＝ x A # B

A # B ＝ B # A ＝ (A^⊤# B^⊤)^⊤

(A + B) # C ＝ A # C + B # C

A # (B + C) ＝ A # B + A # C

Das Assoziativgesetz ist nicht erfüllt, denn meistens ist

(A # B) # C ≠ A # (B # C)

#Kreuzprodukt von Vektoren und #Kofaktor:

(A # B) · (Datei:Vec u.svg × Datei:Vec v.svg) ＝ (A · Datei:Vec u.svg) × (B · Datei:Vec v.svg) − (A · Datei:Vec v.svg) × (B · Datei:Vec u.svg)

Datei:OneHalf.svg (A # A) · (Datei:Vec u.svg × Datei:Vec v.svg) ＝ cof(A) · (Datei:Vec u.svg × Datei:Vec v.svg) ＝ (A · Datei:Vec u.svg) × (A · Datei:Vec v.svg)

#Hauptinvarianten:

Datei:OneHalf.svg (A # 1) : 1 ＝ I₁(A)

Datei:OneHalf.svg (A # A) : 1 ＝ I₂(A)

Datei:OneSixth.svg (A # A) : A ＝ I₃(A)

Weitere Eigenschaften:

1 # 1 ＝ 2 1

A # 1 ＝ Sp(A) 1 − A^⊤

(A # B) · (C # D) ＝ (A · C) # (B · D) + (A · D) # (B · C)

(A # B) : C ＝ (B # C) : A ＝ (C # A) : B ＝ ϵ_ikm ϵ_jln A_ij B_kl C_mn

Datei:Vec a.svg × (A × Datei:Vec b.svg) ＝ −(Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec b.svg) # A

mit Komponenten A_ij, B_kl und C_mn von A, B bzw. C bezüglich der Standardbasis.

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

Tensorkomponenten[Bearbeiten]

A ＝ A_ij ê_i ⊗ ê_j ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	A₁₁	A₁₂	A₁₃	Datei:Rightpmatrix3.svg ↔ A_ij ＝ ê_i · A · ê_j
	A₂₁	A₂₂	A₂₃
	A₃₁	A₃₂	A₃₃

A ＝ A^ij Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec g.svg_j ↔ A^ij ＝ Datei:Vec a.svgⁱ · A · Datei:Vec g.svg^j ＝ A : (Datei:Vec a.svgⁱ ⊗ Datei:Vec g.svg^j)

A ＝ A_ij Datei:Vec a.svgⁱ ⊗ Datei:Vec g.svg^j ↔ A_ij ＝ Datei:Vec a.svg_i · A · Datei:Vec g.svg_j

A ＝ Aⁱ_j Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec g.svg^j ↔ Aⁱ_j ＝ Datei:Vec a.svgⁱ · A · Datei:Vec g.svg_j

A ＝ A_i^j Datei:Vec a.svgⁱ ⊗ Datei:Vec g.svg_j ↔ A_i^j ＝ Datei:Vec a.svg_i · A · Datei:Vec g.svg^j

Wechsel der Basis[Bearbeiten]

A ＝ A_ij Datei:Vec a.svgⁱ ⊗ Datei:Vec a.svg^j ＝ Ã_ij Datei:Vec b.svgⁱ ⊗ Datei:Vec b.svg^j

Mit den Formeln für #Tensorkomponenten:

Ã_ij ＝ Datei:Vec b.svg_i · A · Datei:Vec b.svg_j ＝ Datei:Vec b.svg_i · (A_kl Datei:Vec a.svg^k ⊗ Datei:Vec a.svg^l) · Datei:Vec b.svg_j ＝ (Datei:Vec b.svg_i · Datei:Vec a.svg^k) A_kl (Datei:Vec a.svg^l · Datei:Vec b.svg_j)

Mit dem #Einheitstensor 1 = Datei:Vec b.svgⁱ ⊗ Datei:Vec b.svg_i:

A ＝ 1 · A · 1^⊤	＝	(Datei:Vec b.svgⁱ ⊗ Datei:Vec b.svg_i) · (A_kl Datei:Vec a.svg^k ⊗ Datei:Vec a.svg^l) · (Datei:Vec b.svg_j ⊗ Datei:Vec b.svg^j)
	＝	(Datei:Vec b.svg_i · Datei:Vec a.svg^k) A_kl (Datei:Vec a.svg^l · Datei:Vec b.svg_j) Datei:Vec b.svgⁱ ⊗ Datei:Vec b.svg^j
	＝	Ã_ij Datei:Vec b.svgⁱ ⊗ Datei:Vec b.svg^j

Allgemein:

A ＝ A_ij Datei:Vec a.svgⁱ ⊗ Datei:Vec g.svg^j ＝ Ã_ij Datei:Vec b.svgⁱ ⊗ Datei:Vec h.svg^j

↔ Ã_ij ＝ Datei:Vec b.svg_i · A · Datei:Vec h.svg_j ＝ Datei:Vec b.svg_i · (A_kl Datei:Vec a.svg^k ⊗ Datei:Vec g.svg^l) · Datei:Vec h.svg_j ＝ (Datei:Vec b.svg_i · Datei:Vec a.svg^k) A_kl (Datei:Vec g.svg^l · Datei:Vec h.svg_j)

Oder mit 1 ＝ (Datei:Vec b.svg_i · Datei:Vec a.svg^k) Datei:Vec b.svgⁱ ⊗ Datei:Vec a.svg_k ＝ (Datei:Vec h.svg_j · Datei:Vec g.svg^l) Datei:Vec h.svg^j ⊗ Datei:Vec g.svg_l:

A ＝ 1 · A · 1^⊤	＝	(Datei:Vec b.svg_i · Datei:Vec a.svg^k) (Datei:Vec b.svgⁱ ⊗ Datei:Vec a.svg_k) · A_mn (Datei:Vec a.svg^m ⊗ Datei:Vec g.svgⁿ) · (Datei:Vec h.svg_j · Datei:Vec g.svg^l) (Datei:Vec g.svg_l ⊗ Datei:Vec h.svg^j)
	＝	(Datei:Vec b.svg_i · Datei:Vec a.svg^k) A_kl (Datei:Vec h.svg_j · Datei:Vec g.svg^l) (Datei:Vec b.svgⁱ ⊗ Datei:Vec h.svg^j)
	＝	Ã_ij Datei:Vec b.svgⁱ ⊗ Datei:Vec h.svg^j

Bilinearform und Identität von Tensoren[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Abbildung 𝕍 × 𝕍 ↦ ℝ

Definition für einen Tensor A ∈ 𝓛:

⟨Datei:Vec u.svg, Datei:Vec v.svg⟩ :＝ Datei:Vec u.svg · A · Datei:Vec v.svg ＝ A : (Datei:Vec u.svg ⊗ Datei:Vec v.svg)

Zwei Tensoren A und B sind identisch, wenn

Datei:Vec u.svg · A · Datei:Vec v.svg ＝ Datei:Vec u.svg · B · Datei:Vec v.svg für alle Datei:Vec u.svg, Datei:Vec v.svg ∈ 𝕍

Kofaktor[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Definition:

cof(A) ＝ A^⊤· A^⊤− I₁(A) A^⊤+ I₂(A) 1 ＝ adj(A)^⊤

#Hauptinvarianten:

I₁(cof(A)) ＝ I₂(A)

I₂(cof(A)) ＝ I₁(A) det(A)

det(cof(A)) ＝ det(A)²

#Betragsquadrat:

∥cof(A)∥² ＝ I₂(A^⊤ · A) ＝ Datei:OneHalf.svg (∥A∥⁴ − ∥A^⊤ · A∥²)

#Vektorinvariante

Datei:Vec i.svg(cof(A)) ＝ A · Datei:Vec i.svg(A)

#Eigensystem:

Wenn λ_1,2,3 die #Eigenwerte des Tensors A sind, dann hat cof(A) die Eigenwerte λ₂ λ₃, λ₃ λ₁, λ₁ λ₂, und hat dieselben Eigenvektoren wie A^⊤.

Transponierter Tensor und Kofaktor kommutieren:

cof(A) · A^⊤= A^⊤· cof(A) ＝ det(A) 1

C ＝ cof(A · B) → C · B^⊤ · A^⊤ ＝ B^⊤ · A^⊤ · C ＝ A^⊤ · C · B^⊤ ＝ det(A · B) 1

Weitere Eigenschaften:

cof(x A) ＝ x² cof(A)

det(A) ≠ 0 → cof(A) ＝ det(A) A^⊤−1

cof(A · B) ＝ cof(A) · cof(B)

cof(A^⊤) ＝ cof(A)^⊤

cof(cof(A)) ＝ det(A) A

Werden die Spalten von A mit Vektoren bezeichnet,

also A ＝ (Datei:Vec a.svg₁ Datei:Vec a.svg₂ Datei:Vec a.svg₃), dann gilt:

cof(A) ＝ (Datei:Vec a.svg₂ × Datei:Vec a.svg₃ Datei:Vec a.svg₃ × Datei:Vec a.svg₁ Datei:Vec a.svg₁ × Datei:Vec a.svg₂)

cof(A_ij ê_i ⊗ ê_j) ＝ ϵ_ijk ê_k ⊗ (A_i2 A_j3 ê₁ + A_i3 A_j1 ê₂ + A_i1 A_j2 ê₃) ＝ …
… ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	A₂₂ A₃₃ − A₃₂ A₂₃	A₂₃ A₃₁ − A₃₃ A₂₁	A₂₁ A₃₂ − A₃₁ A₂₂	Datei:Rightpmatrix3.svg
	A₃₂ A₁₃ − A₁₂ A₃₃	A₃₃ A₁₁ − A₁₃ A₃₁	A₃₁ A₁₂ − A₁₁ A₃₂
	A₁₂ A₂₃ − A₂₂ A₁₃	A₁₃ A₂₁ − A₂₃ A₁₁	A₁₁ A₂₂ − A₂₁ A₁₂

Kofaktor und #Äußeres Tensorprodukt:

cof(A) ＝ Datei:OneHalf.svg A # A

cof(A + B) ＝ cof(A) + cof(B) + A # B

#Kreuzprodukt von Vektoren und Kofaktor:

(A · Datei:Vec a.svg) × (A · Datei:Vec b.svg) ＝ cof(A) · (Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg)

Adjunkte[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Definition:

adj(A) ＝ A · A − I₁(A) A + I₂(A) 1 ＝ cof(A)^⊤

#Hauptinvarianten:

I₁(adj(A)) ＝ I₂(A)

I₂(adj(A)) ＝ I₁(A) det(A)

det(adj(A)) ＝ det(A)²

#Betragsquadrat:

∥adj(A)∥² ＝ I₂(A^⊤ · A) ＝ Datei:OneHalf.svg (∥A∥⁴ − ∥A^⊤ · A∥²)

#Eigensystem:

Wenn λ_1,2,3 die #Eigenwerte des Tensors A sind, dann hat adj(A) die Eigenwerte λ₂ λ₃, λ₃ λ₁, λ₁ λ₂, und hat dieselben Eigenvektoren wie A.

Tensor und Adjunkte kommutieren:

adj(A) · A ＝ A · adj(A) ＝ det(A) 1

C ＝ adj(A · B) → A · B · C ＝ B · C · A ＝ C · A · B ＝ det(A · B) 1

Weitere Eigenschaften:

adj(x A) ＝ x² adj(A)

det(A) ≠ 0 → adj(A) ＝ det(A) A⁻¹

adj(A · B) ＝ adj(B) · adj(A)

adj(A^⊤) ＝ adj(A)^⊤

adj(adj(A)) ＝ det(A) A

Werden die Spalten von A mit Vektoren bezeichnet,

also A ＝ (Datei:Vec a.svg₁ Datei:Vec a.svg₂ Datei:Vec a.svg₃), dann ist:

adj(A) ＝ (Datei:Vec a.svg₂ × Datei:Vec a.svg₃ Datei:Vec a.svg₃ × Datei:Vec a.svg₁ Datei:Vec a.svg₁ × Datei:Vec a.svg₂)^⊤

adj(A_ij ê_i ⊗ ê_j) ＝ ϵ_ijk (A_i2 A_j3 ê₁ + A_i3 A_j1 ê₂ + A_i1 A_j2 ê₃) ⊗ ê_k ＝ …
… ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	A₂₂ A₃₃ − A₃₂ A₂₃	A₃₂ A₁₃ − A₁₂ A₃₃	A₁₂ A₂₃ − A₂₂ A₁₃	Datei:Rightpmatrix3.svg
	A₂₃ A₃₁ − A₃₃ A₂₁	A₃₃ A₁₁ − A₁₃ A₃₁	A₁₃ A₂₁ − A₂₃ A₁₁
	A₂₁ A₃₂ − A₃₁ A₂₂	A₃₁ A₁₂ − A₁₁ A₃₂	A₁₁ A₂₂ − A₂₁ A₁₂

Inverse[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Definition für A ∈ 𝓛 , |A| ＝ det(A) ＝ I₃(A) ≠ 0:

A⁻¹: A · A⁻¹ ＝ 1

Tensor und Inverse kommutieren:

A⁻¹ · A ＝ A · A⁻¹ ＝ 1

A · B · C ＝ 1 → A · B · C ＝ B · C · A ＝ C · A · B ＝ 1

#Hauptinvarianten

I₁(A⁻¹) ＝ Datei:OneOverDetA.svg I₂(A)

I₂(A⁻¹) ＝ Datei:OneOverDetA.svg I₁(A)

I₃(A⁻¹) ＝ Datei:OneOverDetA.svg

#Betrag:

<math>\|\mathbf A^{-1}\|

=\left|\frac{\sqrt{\mathsf{I}_2(\mathbf{A^\top\cdot A})}} {\det(\mathbf A)}\right| =\left|\frac{\sqrt{\|\mathbf A\|^4-\|\mathbf{A^\top\cdot A}\|^2}} {\sqrt2\det(\mathbf A)}\right| </math>

#Vektorinvariante

Datei:Vec i.svg(A⁻¹) ＝ −Datei:OneOverDetA.svg A · Datei:Vec i.svg(A)

Weitere Eigenschaften:

(A⁻¹)⁻¹ ＝ A

(A^⊤)⁻¹ ＝ (A⁻¹)^⊤= A^⊤−1 ＝ A^−⊤

(x A)⁻¹ ＝ Datei:OneOverX.svg A⁻¹

(A · B)⁻¹ ＝ B⁻¹ · A⁻¹

(A · B)^⊤−1 ＝ A^⊤−1 · B^⊤−1

#Eigensystem: Die Inverse von A hat dieselben Eigenvektoren wie A aber die reziproken Eigenwerte.

Zusammenhang mit der #Adjunkten adj(A) und #Kofaktor cof(A):

A⁻¹ ＝ Datei:OneOverDetA.svg adj(A) ＝ Datei:OneOverDetA.svg cof(A)^⊤

(A_ij ê_i ⊗ ê_j) ⁻¹ ＝ Datei:OneOverDetA.svg ϵ_ijk (A_i2 A_j3 ê₁ + A_i3 A_j1 ê₂ + A_i1 A_j2 ê₃) ⊗ ê_k ＝ …
… ＝ Datei:OneOverDetA.svg Datei:Leftpmatrix3.svg	A₂₂ A₃₃ − A₃₂ A₂₃	A₃₂ A₁₃ − A₁₂ A₃₃	A₁₂ A₂₃ − A₂₂ A₁₃	Datei:Rightpmatrix3.svg
	A₂₃ A₃₁ − A₃₃ A₂₁	A₃₃ A₁₁ − A₁₃ A₃₁	A₁₃ A₂₁ − A₂₃ A₁₁
	A₂₁ A₃₂ − A₃₁ A₂₂	A₃₁ A₁₂ − A₁₁ A₃₂	A₁₁ A₂₂ − A₂₁ A₁₂

Werden die Spalten von A mit Vektoren bezeichnet,

also A ＝ (Datei:Vec a.svg₁ Datei:Vec a.svg₂ Datei:Vec a.svg₃), dann ist:

A⁻¹ ＝ (Datei:Vec a.svg¹ Datei:Vec a.svg² Datei:Vec a.svg³)^⊤ ＝ Datei:OneOverDetA.svg (Datei:Vec a.svg₂ × Datei:Vec a.svg₃ Datei:Vec a.svg₃ × Datei:Vec a.svg₁ Datei:Vec a.svg₁ × Datei:Vec a.svg₂)^⊤

Satz von Cayley-Hamilton:

A⁻¹ ＝ Datei:OneOverDetA.svg [A² − I₁(A) A + I₂(A) 1]

#Äußeres Tensorprodukt und Inverse einer Summe:

(A + B)⁻¹ ＝ det(A + B)⁻¹ [adj(A) + adj(B) + (A # B)^⊤]

Invertierungsformeln für Tensoren zweiter Stufe[Bearbeiten]

• (a 1 + Datei:Vec b.svg ⊗ Datei:Vec c.svg)⁻¹ ＝	1	(g 1 − Datei:Vec b.svg ⊗ Datei:Vec c.svg), mit g ＝ a + Datei:Vec b.svg · Datei:Vec c.svg
	a g

• (a 1 + Datei:Vec b.svg ⊗ Datei:Vec c.svg + Datei:Vec d.svg ⊗ Datei:Vec e.svg)⁻¹ ＝	1	[z 1 + Datei:Vec b.svg ⊗ (f Datei:Vec c.svg + x Datei:Vec e.svg) + Datei:Vec d.svg ⊗ (y Datei:Vec c.svg + g Datei:Vec e.svg)]
	a z

mit f ＝ a + Datei:Vec d.svg · Datei:Vec e.svg, g ＝ a + Datei:Vec b.svg · Datei:Vec c.svg, x ＝ −Datei:Vec c.svg · Datei:Vec d.svg, y ＝ −Datei:Vec b.svg · Datei:Vec e.svg, z ＝ x y − f g

• (Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec g.svg_i)⁻¹ ＝ Datei:Vec g.svgⁱ ⊗ Datei:Vec a.svgⁱ

Abhängigkeiten der Mehrfachprodukte[Bearbeiten]

Satz von Cayley-Hamilton:

A³ ＝ I₁(A) A² − I₂(A) A + I₃(A) 1

worin I_1,2,3 die drei #Hauptinvarianten sind.

Rivlins Theorem:

A · (B · C + C · B) + B · (C · A + A · C) + C · (A · B + B · A)

＝

Sp(A) (B · C + C · B) + Sp(B) (C · A + A · C) + Sp(C) (A · B + B · A)

+ [Sp(B · C) − Sp(B) Sp(C)] A + [Sp(C · A) − Sp(C) Sp(A)] B

+ [Sp(A · B) − Sp(A) Sp(B)] C

+ [Sp(A) Sp(B) Sp(C) + Sp(A · B · C) + Sp(C · B · A)

− Sp(A) Sp(B · C) − Sp(B) Sp(C · A) − Sp(C) Sp(A · B)] 1

Eigensystem[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Es werden nur diagonalisierbare Tensoren betrachtet.

Eigenwertproblem[Bearbeiten]

Gegeben:

A ∈ 𝓛

Eigenwertproblem:

A · Datei:Vec u.svg ＝ λ Datei:Vec u.svg, Datei:Vec v.svg · A ＝ A^⊤ · Datei:Vec v.svg ＝ λ Datei:Vec v.svg, Datei:Vec u.svg, Datei:Vec v.svg ∈ 𝕍 \ {Datei:Vec 0.svg}

mit Eigenwert λ, Rechtseigenvektor Datei:Vec u.svg und Linkseigenvektor Datei:Vec v.svg.

Eigenwerte[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Charakteristische Gleichung

det(A − λ 1) ＝ −λ³ + I₁(A) λ² − I₂(A) λ + I₃(A) ＝ 0

Lösung siehe Cardanische Formeln. Die Koeffizienten sind die #Hauptinvarianten:

I₁(A) :＝ Sp(A) ＝ λ₁ + λ₂ + λ₃

I₂(A) :＝ Datei:OneHalf.svg [I₁(A)² − I₁(A²)] ＝ λ₁ λ₂ + λ₂ λ₃ + λ₃ λ₁

I₃(A) :＝ det(A) ＝ λ₁ λ₂ λ₃

Spezialfälle:

det(Datei:Vec b.svg ⊗ Datei:Vec c.svg − λ 1) ＝ λ² (Datei:Vec b.svg · Datei:Vec c.svg − λ) ＝ −λ³ + (Datei:Vec b.svg · Datei:Vec c.svg) λ²

det(Datei:Vec b.svg ⊗ Datei:Vec c.svg + Datei:Vec d.svg ⊗ Datei:Vec e.svg − λ 1) ＝ …

＝ λ [(Datei:Vec c.svg · Datei:Vec d.svg) (Datei:Vec b.svg · Datei:Vec e.svg) − (Datei:Vec b.svg · Datei:Vec c.svg − λ) (Datei:Vec d.svg · Datei:Vec e.svg − λ)]

＝ −λ³ + [Datei:Vec b.svg · Datei:Vec c.svg + Datei:Vec d.svg · Datei:Vec e.svg] λ² + [(Datei:Vec b.svg · Datei:Vec e.svg) (Datei:Vec c.svg · Datei:Vec d.svg) − (Datei:Vec b.svg · Datei:Vec c.svg) (Datei:Vec d.svg · Datei:Vec e.svg)] λ

Eigenvektoren[Bearbeiten]

Rechts- und Linkseigenvektoren Datei:Vec u.svg bzw. Datei:Vec v.svg sind nur bis auf einen Faktor ≠ 0 bestimmt. Der Nullvektor ist kein Eigenvektor. Die Rechts- und Linkseigenvektoren werden dual zueinander normiert: Datei:Vec u.svg · Datei:Vec v.svg ＝ 1.

Zu verschiedenen Eigenwerten gehörende Eigenvektoren sind bezüglich A und 1 orthogonal zueinander:

λ_i ≠ λ_j → Datei:Vec v.svg_i · A · Datei:Vec u.svg_j ＝ Datei:Vec v.svg_j · A · Datei:Vec u.svg_i ＝ Datei:Vec v.svg_i · Datei:Vec u.svg_j ＝ Datei:Vec v.svg_j · Datei:Vec u.svg_i ＝ 0

Bestimmungsgleichung: (A − λ 1) · Datei:Vec u.svg ＝ Datei:Vec 0.svg, (A^⊤ − λ 1) · Datei:Vec v.svg ＝ Datei:Vec 0.svg

Tensor A ＝ A_ij ê_i ⊗ ê_j:

Datei:Leftpmatrix3.svg	A₁₁ − λ	A₁₂	A₁₃	Datei:Rightpmatrix3.svg · Datei:Leftpmatrix3.svg	u₁	Datei:Rightpmatrix3.svg ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	Datei:Rightpmatrix3.svg
	A₂₁	A₂₂ − λ	A₂₃		u₂
	A₃₁	A₃₂	A₃₃ − λ		u₂

Bestimmung mit gegebenem/angenommenem u₁:

Datei:Leftpmatrix3.svg	A₁₂	A₁₃	Datei:Rightpmatrix3.svg · Datei:BiggBracketLeft.svg	u₂ u₃	Datei:BiggBracketRight.svg ＝ u₁ Datei:Leftpmatrix3.svg	λ − A₁₁	Datei:Rightpmatrix3.svg
	A₂₂ − λ	A₂₃				−A₂₁
	A₃₂	A₃₃ − λ				−A₃₁

Geometrische Vielfachheit 1:

u₂ ＝ u₁	(λ − A₃₃) A₂₁ + A₂₃ A₃₁
	(A₂₂ − λ) (A₃₃ − λ) − A₂₃ A₃₂

u₃ ＝ u₁	(λ − A₂₂) A₃₁ + A₃₂ A₂₁
	(A₂₂ − λ) (A₃₃ − λ) − A₂₃ A₃₂

Geometrische Vielfachheit 2 mit gegebenen/angenommenen u_1,2:

Datei:Leftpmatrix3.svg	A₁₃	Datei:Rightpmatrix3.svg u₃ ＝ −u₁ Datei:Leftpmatrix3.svg	A₁₁ − λ	Datei:Rightpmatrix3.svg − u₂ Datei:Leftpmatrix3.svg	A₁₂	Datei:Rightpmatrix3.svg
	A₂₃		A₂₁		A₂₂ − λ
	A₃₃ − λ		A₃₁		A₃₂

Die Formeln bleiben richtig, wenn die Indizes {1, 2, 3} zyklisch vertauscht werden. Für die Linkseigenvektoren werden alle Indizes vertauscht: A_ik ↔ A_ki.

Symmetrische Tensoren

Für das Betragsquadrat der Komponenten <math>u_{ij}</math> der auf Betrag 1 normierten Eigenvektoren <math>\mathbf u_i</math> des (komplexen) Tensors A ∈ ℂ^n×n gilt mit dessen Eigenwerten <math>\lambda_i</math> und den Eigenwerten <math>\mu_{jk}</math> der Hauptuntermatrizen von A:<ref name="Denton"/>

<math>

|u_{ij}|^2\prod_{k=1;k\ne i}^n\big(\lambda_i-\lambda_k\big) =\prod_{k=1}^{n-1}\big(\lambda_i-\mu_{jk}\big) </math>

Eigensystem symmetrischer Tensoren[Bearbeiten]

Gegeben A ∈ 𝓛 mit A ＝ A^⊤

#Symmetrische Tensoren haben reelle Eigenwerte und paarweise zueinander senkrechte oder orthogonalisierbare Eigenvektoren. Die Rechts- und Linkseigenvektoren stimmen überein.

#Spektralzerlegung mit Eigenwerten λ_i und Eigenvektoren â_i des symmetrischen Tensors A:

A	＝ Datei:Sum over i from 1 to 3.svg λ_i â_i ⊗ â_i ＝ (â_j ⊗ ê_j) · Datei:BiggBracketLeft.svg Datei:Sum over i from 1 to 3.svg λ_i ê_i ⊗ ê_iDatei:BiggBracketRight.svg · (ê_k ⊗ â_k)
	＝ (â₁ â₂ â₃) · Datei:SpectralMatrix.svg · (â₁ â₂ â₃)^⊤
1	＝ â_j ⊗ â_j ＝ (â_j ⊗ ê_j) · (ê_k ⊗ â_k) ＝ (â₁ â₂ â₃) · (â₁ â₂ â₃)^⊤

bzw.

(â₁ â₂ â₃)^⊤ · A · (â₁ â₂ â₃) ＝ Datei:SpectralMatrix.svg

Eigensystem schiefsymmetrischer Tensoren[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Gegeben A ∈ 𝓛 mit A^⊤ ＝ −A

#Schiefsymmetrische Tensoren haben einen reellen und zwei konjugiert komplexe Eigenwerte ohne Realteil.

Spektralzerlegung:

A = i a (û₂ ⊗ û₃ − û₃ ⊗ û₂)

1 ＝ â ⊗ â + û₂ ⊗ û₃ + û₃ ⊗ û₂

mit:

#Dualer axialer Vektor:	A_× ＝: a â, a :＝ │A_×│
Eigenwerte:	λ₁ ＝ 0, λ_2,3 ＝ ±i a
Rechtseigenvektoren:	û₁ ＝ â, û_2,3 ＝ Datei:OneOverSqrt2.svg (ŵ ± i ŵ × â)
	ŵ ∈ 𝕍 \ Datei:Vec 0.svg beliebig, solange ŵ · A_× ＝ 0
Linkseigenvektoren:	<math>\hat{\mathbf v}</math>_1,2,3 ＝ û_1,2,3

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

Eigensystem allgemeiner auch unsymmetrischer Tensoren[Bearbeiten]

Gegeben a, b, c ∈ ℝ, eine Basis Datei:Vec a.svg_1,2,3 von 𝕍 und die dazu duale Basis Datei:Vec a.svg^1,2,3, siehe #Basis und duale Basis.

Drei reelle Eigenwerte[Bearbeiten]

Gegeben A ＝ a Datei:Vec a.svg₁ ⊗ Datei:Vec a.svg¹ + b Datei:Vec a.svg₂ ⊗ Datei:Vec a.svg² + c Datei:Vec a.svg₃ ⊗ Datei:Vec a.svg³ ∈ 𝓛

Eigenwerte:	λ₁ ＝ a, λ₂ ＝ b, λ₃ ＝ c
Rechtseigenvektoren:	Datei:Vec u.svg₁ ＝ Datei:Vec a.svg₁, Datei:Vec u.svg₂ ＝ Datei:Vec a.svg₂, Datei:Vec u.svg₃ ＝ Datei:Vec a.svg₃
Linkseigenvektoren:	Datei:Vec v.svg₁ ＝ Datei:Vec a.svg¹, Datei:Vec v.svg₂ ＝ Datei:Vec a.svg², Datei:Vec v.svg₃ ＝ Datei:Vec a.svg³

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

Ein reeller und zwei konjugiert komplexe Eigenwerte[Bearbeiten]

Gegeben A ＝ c Datei:Vec a.svg₁ ⊗ Datei:Vec a.svg¹ + a (Datei:Vec a.svg₂ ⊗ Datei:Vec a.svg² + Datei:Vec a.svg₃ ⊗ Datei:Vec a.svg³) + b (Datei:Vec a.svg₂ ⊗ Datei:Vec a.svg³ − Datei:Vec a.svg₃ ⊗ Datei:Vec a.svg²) ∈ 𝓛

Eigenwerte:	λ₁ ＝ c, λ_2,3 ＝ a ± i b
Rechtseigenvektoren:	Datei:Vec u.svg₁ ＝ Datei:Vec a.svg₁, Datei:Vec u.svg_2,3 ＝ Datei:OneOverSqrt2.svg (Datei:Vec a.svg₂ ± i Datei:Vec a.svg₃)
Linkseigenvektoren:	Datei:Vec v.svg₁ ＝ Datei:Vec a.svg¹, Datei:Vec v.svg_2,3 ＝ Datei:OneOverSqrt2.svg (Datei:Vec a.svg² ∓ i Datei:Vec a.svg³)

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

Verallgemeinertes Eigenwertproblem[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

Gegeben K, M ∈ 𝓛, M regulär.

Verallgemeinertes Eigenwertproblem:

(K − λ M) · Datei:Vec u.svg ＝ Datei:Vec 0.svg und Datei:Vec v.svg · (K − λ M) ＝ Datei:Vec 0.svg, Datei:Vec u.svg, Datei:Vec v.svg ∈ 𝕍 \ {Datei:Vec 0.svg}

Alternativ : K · Datei:Vec u.svg ＝ λ M · Datei:Vec u.svg und K^⊤ · Datei:Vec v.svg ＝ λ M^⊤ · Datei:Vec v.svg

Charakteristisches Polynom:

p(λ) ＝ |K − λ M|

Eigenwerte λ sind Lösungen von p(λ) ＝ 0.

Zu verschiedenen Eigenwerten gehörende Eigenvektoren sind bezüglich K und M orthogonal zueinander:

λ_i ≠ λ_j → Datei:Vec v.svg_i · K · Datei:Vec u.svg_j ＝ Datei:Vec v.svg_i · M · Datei:Vec u.svg_j ＝ Datei:Vec v.svg_j · K · Datei:Vec u.svg_i ＝ Datei:Vec v.svg_j · M · Datei:Vec u.svg_i ＝ 0

Weiteres siehe #Spektralzerlegung.

Invarianten[Bearbeiten]

Eigenwerte des Tensors[Bearbeiten]

Die #Eigenwerte λ₁, λ₂, λ₃ sind Invarianten.

Hauptinvarianten[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

#Spur:	I₁(A), Sp(A)
#Zweite Hauptinvariante:	I₂(A)
#Determinante:	I₃(A), det(A), \|A\|

Die Hauptinvarianten des Tensors A sind die Koeffizienten seines charakteristischen Polynoms, siehe #Eigenwerte.

Spur[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

Abbildung 𝓛 ↦ ℝ

Sp(Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg) :＝ Datei:Vec a.svg · Datei:Vec g.svg

Linearität: x, y ∈ ℝ → Sp(x A + y B) ＝ x Sp(A) + y Sp(B)

Sp(A) ＝ Sp(A^⊤)

Sp(A · B) ＝ Sp(B · A)

Sp(A^⊤· B) ＝ Sp(A · B^⊤) ＝: A : B

Sp(A · B · C) ＝ Sp(B · C · A) ＝ Sp(C · A · B)

Sp(A) ＝ A : 1 ＝ Datei:OneHalf.svg (A # 1) : 1 ＝ λ₁ + λ₂ + λ₃

mit #Eigenwerten λ_1,2,3 von A.

In Komponenten:

Sp(A_ij ê_i ⊗ ê_j) ＝ A_ii ＝ A₁₁ + A₂₂ + A₃₃

Sp(A^ij Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec b.svg_j) ＝ A^ij Datei:Vec a.svg_i · Datei:Vec b.svg_j

Sp(Aⁱ_j Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec a.svg^j) ＝ Aⁱ_i

Sp(A_i^j Datei:Vec a.svgⁱ ⊗ Datei:Vec a.svg_j) ＝ A_iⁱ

Zweite Hauptinvariante[Bearbeiten]

Abbildung 𝓛 ↦ ℝ

I₂(A) :＝ Datei:OneHalf.svg [Sp(A)² − Sp(A²)]

I₂(A) ＝ Sp(cof(A)) ＝ Sp(adj(A))

I₂(x A) ＝ x² I₂(A)

I₂(A^⊤) ＝ I₂(A)

I₂(A · B) ＝ I₂(B · A)

I₂(A · B · C) ＝ I₂(B · C · A) ＝ I₂(C · A · B)

I₂(A + B) ＝ I₂(A) + I₂(B) + Sp(A) Sp(B) − Sp(A · B)

I₂(Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg + Datei:Vec b.svg ⊗ Datei:Vec h.svg) ＝ (Datei:Vec a.svg · Datei:Vec g.svg) (Datei:Vec b.svg · Datei:Vec h.svg) − (Datei:Vec a.svg · Datei:Vec h.svg) (Datei:Vec b.svg · Datei:Vec g.svg)

I₂(A) ＝ Datei:OneHalf.svg (A # A) : 1 ＝ λ₁ λ₂ + λ₂ λ₃ + λ₃ λ₁

mit #Eigenwerten λ_1,2,3 von A.

In Komponenten:

I₂(A_ij ê_i ⊗ ê_j)	＝	Datei:OneHalf.svg (A_ii A_jj − A_ij A_ji)
	＝	A₁₁ A₂₂ + A₁₁ A₃₃ + A₂₂ A₃₃ − A₁₂ A₂₁ − A₁₃ A₃₁ − A₂₃ A₃₂

I₂(A^ij Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec b.svg_j) ＝ Datei:OneHalf.svg A^ij A^kl [(Datei:Vec a.svg_i · Datei:Vec b.svg_j) (Datei:Vec a.svg_k · Datei:Vec b.svg_l) − (Datei:Vec a.svg_i · Datei:Vec b.svg_l) (Datei:Vec a.svg_k · Datei:Vec b.svg_j)]

I₂(Aⁱ_j Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec a.svg^j) ＝ Datei:OneHalf.svg (Aⁱ_i A^j_j − Aⁱ_j A^j_i)

Determinante[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Abbildung 𝓛 ↦ ℝ

I₃(A) ＝ det(A) ＝ \|A\|	＝	(A · ê₁) · [(A · ê₂) × (A · ê₃)]
	＝	(A · Datei:Vec a.svg) · [(A · Datei:Vec b.svg) × (A · Datei:Vec c.svg)]
		[Datei:Vec a.svg · (Datei:Vec b.svg × Datei:Vec c.svg)]

für alle linear unabhängigen Datei:Vec a.svg, Datei:Vec b.svg, Datei:Vec c.svg ∈ 𝕍

det(A^⊤) ＝ det(A)

det(x A) ＝ x³ det(A)

det(A · B) ＝ det(B · A) ＝ det(A) det(B)

det(A · B · C) ＝ det(B · C · A) ＝ det(C · A · B)

det(A) ≠ 0 → det(A⁻¹) ＝ det(A)⁻¹

det(A) ＝ Datei:OneSixth.svg (A # A) : A ＝ Datei:Onethird.svg cof(A) : A ＝ λ₁ λ₂ λ₃

mit #Eigenwerten λ_1,2,3 von A.

In Komponenten:

det(A_ij ê_i ⊗ ê_j)	＝	ϵ_ijk A_i1 A_j2 A_k3 ＝	A₁₁	A₁₂	A₁₃
			A₂₁	A₂₂	A₂₃
			A₃₁	A₃₂	A₃₃

	＝	A₁₁ (A₂₂ A₃₃ − A₂₃ A₃₂) + A₁₂ (A₂₃ A₃₁ − A₂₁ A₃₃)
		+ A₁₃ (A₂₁ A₃₂ − A₂₂ A₃₁)

det(A^ij Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec g.svg_j) ＝ ϵ_ijk Aⁱ¹ A^j2 A^k3 |Datei:Vec a.svg₁ Datei:Vec a.svg₂ Datei:Vec a.svg₃| |Datei:Vec g.svg₁ Datei:Vec g.svg₂ Datei:Vec g.svg₃|

det(Aⁱ_j Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec a.svg^j) ＝ ϵ_ijk Aⁱ₁ A^j₂ A^k₃

det(A)	＝		Datei:OneSixth.svg [Sp(A)³ − 3 Sp(A) Sp(A²) + 2 Sp(A³)]
	＝		Datei:Onethird.svg [Sp(A³) + 3 Sp(A) I₂(A) − Sp(A)³]

det(A + B)	＝	det(A) + det(B) + Sp(A) I₂(B) + I₂(A) Sp(B)
		+ Sp(A · B · (A + B)) − Sp(A · B) Sp(A + B)
	＝	det(A) + cof(A) : B + A : cof(B) + det(B)

Spezialfälle:

│a 1 + Datei:Vec b.svg ⊗ Datei:Vec c.svg│ ＝ a² (a + Datei:Vec b.svg · Datei:Vec c.svg)

│a 1 + Datei:Vec b.svg ⊗ Datei:Vec c.svg + Datei:Vec d.svg ⊗ Datei:Vec e.svg│ ＝ a [(a + Datei:Vec b.svg · Datei:Vec c.svg) (a + Datei:Vec d.svg · Datei:Vec e.svg) − (Datei:Vec b.svg · Datei:Vec e.svg) (Datei:Vec c.svg · Datei:Vec d.svg)]

Betrag[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Abbildung 𝓛 ↦ ℝ

∥Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg∥ ＝ │Datei:Vec a.svg│ │Datei:Vec g.svg│

∥A∥² :＝ A : A ＝ Sp(A^⊤ · A) ＝ Sp(A · A^⊤)

∥A_ij ê_i ⊗ ê_j∥² ＝ A_ij A_ij

∥ A^ij Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec g.svg_j∥² ＝ A^ijA^kl (Datei:Vec a.svg_i · Datei:Vec a.svg_k) (Datei:Vec g.svg_j · Datei:Vec g.svg_l)

∥Aⁱ_j Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec a.svg^j∥² ＝ Aⁱ_j A^k_l (Datei:Vec a.svg_i · Datei:Vec a.svg_k) (Datei:Vec a.svg^j · Datei:Vec a.svg^l)

Falls A ＝ A^⊤ symmetrisch mit #Eigenwerten λ_1,2,3:

∥A∥² ＝ Sp(A)² − 2 I₂(A) ＝ Sp(A²) ＝ λ₁² + λ₂² + λ₃²

Falls A ＝ −A^⊤ schiefsymmetrisch mit #Eigenwerten (0, i ζ, −i ζ):

∥A∥² ＝ 2 I₂(A) ＝ −Sp(A²) ＝ 2 ζ²

Dualer axialer Vektor[Bearbeiten]

Abbildung 𝓛 ↦ 𝕍

Gegeben #Schiefsymmetrische Tensoren A ＝ −A^⊤. Dann gibt es einen dualen axialen Vektor A_× für den gilt:

A · Datei:Vec v.svg ＝ A_× × Datei:Vec v.svg für alle Datei:Vec v.svg ∈ 𝕍

A_× :＝ −Datei:OneHalf.svg Datei:Vec i.svg(A) ＝ −Datei:OneHalf.svg A × 1 ＝ −Datei:OneHalf.svg A ·× 1 ＝ −Datei:OneHalf.svg ϵ : A

(A_ij ê_i ⊗ ê_j)_× ＝ − Datei:OneHalf.svg A_ij ê_i × ê_j ＝ −Datei:OneHalf.svg ϵ_ijk A_ij ê_k ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	A₃₂	Datei:Rightpmatrix3.svg
	A₁₃
	A₂₁

Mit x ∈ ℝ, Datei:Vec v.svg ∈ 𝕍, F ∈ 𝓛 und einem anderen
schiefsymmetrischen Tensor B ∈ 𝓛 gilt:

(A^⊤)_× ＝ −A_×

(A + B)_× ＝ A_× + B_×

(x A)_× ＝ x A_×

A · A_× = A^⊤ · A_× ＝ A_× · A ＝ Datei:Vec 0.svg

(Datei:Vec v.svg × 1)_× ＝ Datei:Vec v.svg

(F · A · F^⊤)_× ＝ cof(F) · A_×

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

Vektorinvariante[Bearbeiten]

Abbildung 𝓛 ↦ 𝕍

Datei:Vec i.svg(Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec b.svg) :＝ Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg

Datei:Vec i.svg(A) ＝ A ·× 1 ＝ A × 1 ＝ ϵ : A

Datei:Vec i.svg(A_ij ê_i ⊗ ê_j) ＝ A_ij ê_i × ê_j ＝ ϵ_ijk A_ij ê_k ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	A₂₃ − A₃₂	Datei:Rightpmatrix3.svg
	A₃₁ − A₁₃
	A₁₂ − A₂₁

Datei:Vec i.svg(A^ij (Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec b.svg_j)) ＝ A^ij Datei:Vec a.svg_i × Datei:Vec b.svg_j

Datei:Vec i.svg(A · B) ＝ A ·× B ＝ A × (B^⊤)

#Symmetrische Tensoren haben keine Vektorinvariante: Datei:Vec i.svg(A^S) ＝ Datei:Vec 0.svg

Mit einer beliebigen Zahl x, beliebigen Vektoren Datei:Vec u.svg sowie Datei:Vec v.svg und
beliebigen Tensoren A, B ∈ 𝓛 gilt:

Datei:Vec i.svg(Datei:Vec u.svg ⊗ Datei:Vec v.svg) ＝ Datei:Vec u.svg × Datei:Vec v.svg

Datei:Vec i.svg(A^⊤) ＝ −Datei:Vec i.svg(A)

Datei:Vec i.svg(A + B) ＝ Datei:Vec i.svg(A) + Datei:Vec i.svg(B)

Datei:Vec i.svg(x A) ＝ x Datei:Vec i.svg(A)

Datei:Vec i.svg(A) × Datei:Vec v.svg ＝ (A^⊤ − A) · Datei:Vec v.svg

Datei:Vec i.svg(A # B) ＝ A · Datei:Vec i.svg(B) + B · Datei:Vec i.svg(A)

A · Datei:Vec i.svg(A) ＝ A^⊤ · Datei:Vec i.svg(A) ＝ A^S · Datei:Vec i.svg(A)

Datei:Vec i.svg(A) · A · Datei:Vec i.svg(A) ＝ 4 [det(A) − det(A^S)]

Datei:Vec i.svg(Datei:Vec v.svg × A) ＝ [A − Sp(A) 1] · Datei:Vec v.svg ＝ −(A^⊤ # 1) · Datei:Vec v.svg

Datei:Vec i.svg(Datei:Vec v.svg × 1) ＝ −2 Datei:Vec v.svg

Datei:Vec i.svg([Datei:Vec u.svg × Datei:Vec v.svg] × A) ＝ Datei:Vec v.svg · A × Datei:Vec u.svg − Datei:Vec u.svg · A × Datei:Vec v.svg

Datei:Vec i.svg(B · A · B^⊤) ＝ cof(B) · Datei:Vec i.svg(A)

Spezielle Tensoren[Bearbeiten]

Einheitstensor[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

1 ＝ ê_i ⊗ ê_i ＝ δ_ij ê_i ⊗ ê_j ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	1	0	0	Datei:Rightpmatrix3.svg
	0	1	0
	0	0	1

1 ＝ Datei:Vec g.svg_i ⊗ Datei:Vec g.svgⁱ ＝ Datei:Vec g.svgⁱ ⊗ Datei:Vec g.svg_i ＝ g^ij Datei:Vec g.svg_i ⊗ Datei:Vec g.svg_j ＝ g_ij Datei:Vec g.svgⁱ ⊗ Datei:Vec g.svg^j

mit g_ij ＝ Datei:Vec g.svg_i · Datei:Vec g.svg_j, g^ij ＝ Datei:Vec g.svgⁱ · Datei:Vec g.svg^j

Eine #Basis und duale Basis liefern die allgemeine Darstellung:

1 ＝ (Datei:Vec a.svgⁱ · Datei:Vec g.svg^j) Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec g.svg_j

Mit #Permutationssymbol:

1 ＝ Datei:OneHalf.svg ϵ_ijk ê_i ⊗ ê_j × ê_k ＝ Datei:OneHalf.svg ϵ_ijk ê_i × ê_j ⊗ ê_k

#Kofaktor: cof(1) ＝ 1

#Transposition und #Inverse:

1 ＝ 1^⊤= 1⁻¹ ＝ 1^⊤−1

Vektortransformation

1 · Datei:Vec v.svg ＝ Datei:Vec v.svg · 1 ＝ Datei:Vec v.svg

Tensorprodukt

A · 1 ＝ 1 · A ＝ A

Skalarprodukt

A : 1 ＝ Sp(A)

1 : 1 ＝ Sp(1) ＝ 3

#Hauptinvarianten:

Sp(1) ＝ 3

I₂(1) ＝ 3

det(1) ＝ 1

#Betrag: ∥1∥ ＝ Datei:Sqrt3.svg

#Eigenwerte:

λ_1,2,3 ＝ 1

Alle Vektoren Datei:Vec v.svg ∈ 𝕍 \ {Datei:Vec 0.svg} sind #Eigenvektoren.

Dyade[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Definition:

Datei:Vec a.svg, Datei:Vec g.svg ∈ 𝕍: A ＝ Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg ∈ 𝓛

#Kofaktor: cof(A) ＝ O

#Hauptinvarianten:

Sp(A) ＝ Datei:Vec a.svg · Datei:Vec g.svg

I₂(A) ＝ 0

det(A) ＝ 0

#Betrag: ∥A∥ ＝ |Datei:Vec a.svg| |Datei:Vec g.svg|

#Vektorinvariante: Datei:Vec i.svg(A) ＝ Datei:Vec a.svg × Datei:Vec g.svg

#Eigensystem:

Mit zwei nicht kollinearen aber zu Datei:Vec g.svg senkrechten Vektoren Datei:Vec b.svg und Datei:Vec c.svg:

Eigenwerte:	λ₁ ＝ Datei:Vec a.svg · Datei:Vec g.svg, λ₂ ＝ λ₃ ＝ 0
Rechtseigenvektoren:	Datei:Vec u.svg₁ ＝ Datei:Vec a.svg, Datei:Vec u.svg₂ ＝ Datei:Vec b.svg, Datei:Vec u.svg₃ ＝ Datei:Vec c.svg
Linkseigenvektoren:	(Datei:Vec v.svg₁ Datei:Vec v.svg₂ Datei:Vec v.svg₃) ＝ (Datei:Vec u.svg¹ Datei:Vec u.svg² Datei:Vec u.svg³) ＝ (Datei:Vec a.svg Datei:Vec b.svg Datei:Vec c.svg)^⊤−1
#Spektralzerlegung:	Datei:Caseopen3.svg	1 ＝ Datei:Vec u.svg_i ⊗ Datei:Vec v.svg_i
		A ＝ (Datei:Vec a.svg · Datei:Vec g.svg) Datei:Vec u.svg₁ ⊗ Datei:Vec v.svg₁ ＝	Datei:Vec a.svg · Datei:Vec g.svg	Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec b.svg × Datei:Vec c.svg
			Datei:Vec a.svg · (Datei:Vec b.svg × Datei:Vec c.svg)

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Anker“ ist nicht vorhanden. #Polarzerlegung:

Gegeben ein beliebiger #Orthogonaler Tensor Q, sodass

Q · ĝ ＝ â

wobei Datei:Vec a.svg ＝ a â und Datei:Vec g.svg ＝ g ĝ.

Dann ist

Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg ＝ Q · U ＝ V · Q mit U ＝ a g ĝ ⊗ ĝ, V ＝ a g â ⊗ â

#Singulärwertzerlegung:

Mit Datei:Vec c.svg ＝ c ĉ sind W :＝ (ĝ ĉ ĝ × ĉ) und Q · W orthogonal.

Mit Singulärwert s ＝ a g sowie S ＝ s ê₁ ⊗ ê₁ ist U ＝ W · S · W^⊤ und

Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec g.svg ＝ (Q · W) · S · W^⊤

Dyadentripel[Bearbeiten]

Jeder Tensor in 𝓛 kann als Summe dreier Dyaden dargestellt werden.

#Einheitstensor: 1 ＝ ê_k ⊗ ê_k ＝ ĉ_k ⊗ ĉ_k ＝ Datei:Vec a.svg_k ⊗ Datei:Vec a.svg^k

Allgemein:

A	＝ A · 1	＝ (A · ê_k) ⊗ ê_k	＝ (A · ĉ_k) ⊗ ĉ_k	＝ (A · Datei:Vec a.svg_k) ⊗ Datei:Vec a.svg^k
	＝ 1 · A	＝ ê_k ⊗ (A^⊤ · ê_k)	＝ ĉ_k ⊗ (A^⊤ · ĉ_k)	＝ Datei:Vec a.svg_k ⊗ (A^⊤ · Datei:Vec a.svg^k)

#Orthogonale Tensoren und #Orthonormalbasis:

ĉ_j · ĉ_k ＝ ĝ_j · ĝ_k ＝ δ_jk ↔ ĉ_k ⊗ ĝ_k, ĝ_k ⊗ ĉ_k ∈ O(3)

Unimodulare Tensoren[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Definition:

H ∈ 𝓛: det(H) ＝ 1

#Kofaktor: cof(H) ＝ H^⊤−1

Determinantenproduktsatz:

det(A · H) ＝ det(H · A) ＝ det(A)

Orthogonale Tensoren[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Anker“ ist nicht vorhanden. Repräsentieren Drehungen und Drehspiegelungen.

Definition:

Q ∈ 𝓛: Q⁻¹ ＝ Q^⊤ oder Q · Q^⊤= Q^⊤· Q ＝ 1

#Kofaktor: cof(Q) ＝ det(Q) Q ＝ ±Q

#Hauptinvarianten (α ist der Drehwinkel):

Sp(Q) ＝ det(Q) + 2 cos(α)

I₂(Q) ＝ 1 + 2 det(Q) cos(α)

det(Q) ＝	Datei:Caseopen2.svg	+1: eigentlich orthogonaler Tensor,	Q ∈ SO(3)
		−1: uneigentlich orthogonaler Tensor,	Q ∈ O(3)

#Betrag : ∥Q∥ ＝ Datei:Sqrt3.svg

#Vektorinvariante ist proportional zur Dreh(spiegel)achse ĉ:

Datei:Vec i.svg(Q) ＝ −2 sin(α) ĉ

Q · ĉ ＝ det(Q) ĉ ＝ ±ĉ

#Spatprodukt von Vektoren:

(Q · Datei:Vec a.svg) · [(Q · Datei:Vec b.svg) × (Q · Datei:Vec c.svg)] ＝ det(Q) Datei:Vec a.svg · (Datei:Vec b.svg × Datei:Vec c.svg)

#Kreuzprodukt von Vektoren und #Kofaktor:

(Q · Datei:Vec a.svg) × (Q · Datei:Vec b.svg) ＝ det(Q) Q · (Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg)

Drehung von Vektorraumbasis Datei:Vec a.svg_1,2,3 nach Datei:Vec b.svg_1,2,3:

Q ＝ Datei:Vec b.svg_i ⊗ Datei:Vec a.svgⁱ ＝ Datei:Vec b.svgⁱ ⊗ Datei:Vec a.svg_i ↔ Q · Datei:Vec a.svg_i ＝ Datei:Vec b.svg_i , Q · Datei:Vec a.svgⁱ ＝ Datei:Vec b.svgⁱ

Datei:Vec i.svg(Q) ＝ Datei:Vec b.svg_i × Datei:Vec a.svgⁱ ＝ Datei:Vec b.svgⁱ × Datei:Vec a.svg_i

Formulierung mit einem Drehvektor: Drehvektor Datei:Vec om.svg :＝ a ĉ

Q	＝ σ 1 + p (Datei:Vec om.svg × 1) + q (Datei:Vec om.svg × 1)²
	＝ σ 1 + p (Datei:Vec om.svg × 1) + q [Datei:Vec om.svg ⊗ Datei:Vec om.svg − (Datei:Vec om.svg · Datei:Vec om.svg) 1]

Sp(Q)	＝ 3 σ − 2 a² q	＝ σ + 2 cos(α)
I₂(Q)	＝ 3 − 2 σ a² q	＝ 1 + 2 σ cos(α)
det(Q)	＝ σ	＝ ±1
Datei:Vec i.svg(Q)	＝ −2 a p ĉ	＝ −2 sin(α) ĉ

mit Parametern a, p sowie q aus der Tabelle bei gegebenem σ und Drehwinkel α.

a	p	q für σ ＝ +1	q für σ ＝ −1	Bezug/Kommentar
1	sin(α)	1 − cos(α)	−1 − cos(α)	Rodrigues-Formel
sin(α)	1	1 / [cos(α) + 1]	1 / [cos(α) − 1]	Kreuzprodukt s. u.
sin(α/2)	2 cos(α/2)	2	−2 / tan(α/2)²	Quaternionen
cos(α)	tan(α)	(1 − a) / a²	−(1 + a) / a²
cos(α/2)	2 sin(α/2)	2 tan(α/2)²	−2
tan(α)	cos(α)	p² / (p + 1)	p² / (p − 1)
tan(α/2)	2 / (1 + a²)		−2 / [a² (1 + a²)]	a² ＝ Datei:Vec om.svg · Datei:Vec om.svg

Kreuzprodukt

Drehung eines Einheitsvektors â in den gleichlangen Vektor û mittels des Drehtensors gemäß der Tabelle zu den Parametern

a ＝ sin(α), Datei:Vec om.svg ＝ sin(α) ĉ ＝ â × û, cos(α) ＝ â · û

Mit a ＝ 1, Datei:Vec om.svg ＝ ĉ ＝ (c₁ c₂ c₃)^⊤ und σ ＝ +1 ergibt sich die Rodrigues-Formel:

Q	＝ 1 + s_α ĉ × 1 + d_α (ĉ × 1)² ＝ 1 + s_α ĉ × 1 + d_α (ĉ ⊗ ĉ − 1)
	＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	c_α + d_α c₁²	−s_α c₃ + d_α c₁ c₂	s_α c₂ + d_α c₁ c₃	Datei:Rightpmatrix3.svg
		s_α c₃ + d_α c₁ c₂	c_α + d_α c₂²	−s_α c₁ + d_α c₂ c₃
		−s_α c₂ + d_α c₁ c₃	s_α c₁ + d_α c₂ c₃	c_α + d_α c₃²

worin c_α ＝ cos(α), d_α ＝ 1 − cos(α), s_α ＝ sin(α).

Euler-Rodrigues-Formel mit a, b, c, d ∈ ℝ: a² + b² + c² + d² ＝ 1.

Q ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	a² + b² − c² − d²	2(bc − ad)	2(bd + ac)	Datei:Rightpmatrix3.svg
	2(bc + ad)	a² − b² + c² − d²	2(cd − ab)
	2(bd − ac)	2(cd + ab)	a² − b² − c² + d²

entspricht Rodrigues-Formel wenn

a ＝ cos(α/2), (b c d) ＝ sin(α/2) (c₁ c₂ c₃)

Gegeben eine rechtshändige #Orthonormalbasis ĉ_1,2,3 mit ĉ₁ ＝ ĉ. Dann besitzt Q die Darstellung

Q ＝ σ ĉ₁ ⊗ ĉ₁ + cos(α) (ĉ₂ ⊗ ĉ₂ + ĉ₃ ⊗ ĉ₃) + sin(α) (ĉ₃ ⊗ ĉ₂ − ĉ₂ ⊗ ĉ₃)

＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	σ	0	0	Datei:Rightpmatrix3.svg	_{ĉ_i ⊗ ĉ_j}
	0	cos(α)	−sin(α)
	0	sin(α)	cos(α)

#Eigensystem:

λ₁ ＝ σ,	Datei:Vec u.svg₁ ＝ ĉ ＝ ĉ₁
λ_2,3 ＝ e^{±i α},	Datei:Vec u.svg_2,3 ＝ Datei:OneOverSqrt2.svg (ĉ₂ ∓ i ĉ₃)

Drehwinkel:

cos(α) ＝ Datei:OneHalf.svg [Sp(Q) − σ]

#Dyadentripel mit Spaltenvektoren ŝ_i und Zeilenvektoren ẑ_i:

Q ＝ ŝ_i ⊗ ê_i ＝ ê_i ⊗ ẑ_i → ŝ_i × ê_i ＝ ê_i × ẑ_i ＝ −2 sin(α) ĉ

Q − Q^⊤ ＝ 2 sin(α) ĉ × 1 ＝ 2 sin(α) Datei:Leftpmatrix3.svg	0	−c₃	c₂	Datei:Rightpmatrix3.svg , \|ĉ\| ＝ 1
	c₃	0	−c₁
	−c₂	c₁	0

Mit einem beliebigen orthogonalen Tensor R ∈ O(3) lauten mögliche #Singulärwertzerlegungen

Q ＝ U · S · V^⊤

mit U ＝ Q · R, V ＝ R, S ＝ 1

Positiv definite Tensoren[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Definition:

A ∈ 𝓛: Datei:Vec v.svg · A · Datei:Vec v.svg > 0 für alle Datei:Vec v.svg ∈ 𝕍 \ {Datei:Vec 0.svg}

A ist genau dann positiv definit, wenn sein #Symmetrischer Anteil A^S es ist
(wegen Datei:Vec v.svg · A · Datei:Vec v.svg ＝ Datei:Vec v.svg · A^S · Datei:Vec v.svg.)

Notwendige Bedingungen für positive Definitheit:

det(A), det(A^S) > 0

A ＝ A_ij ê_i ⊗ ê_j → A₁₁, A₂₂, A₃₃ > 0

A ＝ Aⁱ_j Datei:Vec a.svg_i ⊗ Datei:Vec a.svg^j → A¹₁, A²₂, A³₃ > 0

Notwendige und hinreichende Bedingung für positive Definitheit: Alle #Eigenwerte von A^S sind größer als null.

Immer positiv definit falls det(A) ≠ 0: A · A^⊤ und A^⊤· A

Symmetrische Tensoren[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Definition:

A ∈ 𝓛: A ＝ A^⊤

Bezüglich der Standardbasis:

A_ij ê_i ⊗ ê_j ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	A₁₁	A₁₂	A₁₃	Datei:Rightpmatrix3.svg
	A₁₂	A₂₂	A₂₃
	A₁₃	A₂₃	A₃₃

#Kofaktor: cof(A) ＝ adj(A) ＝ A² − Sp(A) A + I₂(A) 1

#Hauptinvarianten:

Sp(A_ij ê_i ⊗ ê_j) ＝ A₁₁ + A₂₂ + A₃₃

I₂(A) ＝ Datei:OneHalf.svg [Sp(A)² − Sp(A²)] ＝ Datei:OneHalf.svg [Sp(A)² − ∥A∥²]

I₂(A_ij ê_i ⊗ ê_j) ＝ A₁₁ A₂₂ + A₁₁ A₃₃ + A₂₂ A₃₃ − A₁₂² − A₁₃² − A₂₃²

det(A_ij ê_i ⊗ ê_j) ＝ (A₁₁ A₂₂ − A₁₂²) A₃₃ − A₁₁ A₂₃² − A₁₃² A₂₂ + 2 A₁₂ A₁₃ A₂₃

#Betragsquadrat:

∥A∥² ＝ Sp(A)² − 2 I₂(A) ＝ Sp(A²) ＝ λ₁² + λ₂² + λ₃²

∥A_ij ê_i ⊗ ê_j∥² ＝ A₁₁² + A₂₂² + A₃₃² + 2 A₁₂² + 2 A₁₃² + 2 A₂₃²

#Vektorinvariante: Datei:Vec i.svg(A) ＝ Datei:Vec 0.svg

Alle #Eigenwerte λ_1,2,3 sind reell. Alle #Eigenvektoren sind reell und paarweise orthogonal zueinander oder orthogonalisierbar. Die Links- und Rechtseigenvektoren stimmen überein.

Bilinearform:

Datei:Vec u.svg · A · Datei:Vec v.svg ＝ Datei:Vec v.svg · A · Datei:Vec u.svg für alle Datei:Vec u.svg, Datei:Vec v.svg ∈ 𝕍

Funktionswert eines symmetrischen Tensors[Bearbeiten]

Mit den #Eigenvektoren â_1,2,3 und der #Spektralzerlegung eines symmetrischen Tensors

A ＝ Datei:Sum over i from 1 to 3.svg λ_i â_i ⊗ â_i

sowie einer reellwertigen Funktion eines reellen Arguments

f: ℝ ↦ ℝ

wird der Funktionswert von A definiert:

f(A) :＝ Datei:Sum over i from 1 to 3.svg f(λ_i) â_i ⊗ â_i

Ist f eine mehrdeutige Funktion, wie die Wurzel (Mathematik), mit n alternativen Werten, dann steht f(A) mehrdeutig für n³ alternative Tensoren.

Insbesondere mit dem Deformationsgradient F:

Rechter Strecktensor

U ＝ (F^⊤ · F)^½

Linker Strecktensor

V ＝ (F · F^⊤)^½

Henky-Dehnung

E_H ＝ ln(U) ＝ Datei:OneHalf.svg ln(F^⊤ · F)

Singulärwertzerlegung von symmetrischen Tensoren[Bearbeiten]

Symmetrische Tensoren A ∈ 𝓛 haben reelle #Eigenwerte λ_1,2,3 und dazugehörige #Eigenvektoren û_1,2,3, aus denen sich eine #Orthonormalbasis bilden lässt, was hier benutzt wird.

Singulärwerte:

s₁ ＝ |λ₁| ≥ s₂ ＝ |λ₂| ≥ s₃ ＝ |λ₃| ≥ 0 nach geeigneter Nummerierung der Eigenwerte

S ＝ diag(s₁, s₂, s₃)

Modalmatrizen:

U ＝ (û₁ û₂ û₃) mit den zu λ_1,2,3 gehörenden Eigenvektoren

V ＝ (sgn(λ₁) û₁ sgn(λ₂) û₂ sgn(λ₃) û₃)

#Singulärwertzerlegung: A ＝ U · S · V^⊤

Voigtsche Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. In diesem Abschnitt bedeutet […] die voigtsche Notation.

Die symmetrischen Tensoren

S₁ ＝ ê₁ ⊗ ê₁

S₂ ＝ ê₂ ⊗ ê₂

S₃ ＝ ê₃ ⊗ ê₃

S₄ ＝ ê₂ ⊗ ê₃ + ê₃ ⊗ ê₂

S₅ ＝ ê₁ ⊗ ê₃ + ê₃ ⊗ ê₁

S₆ ＝ ê₁ ⊗ ê₂ + ê₂ ⊗ ê₁

bilden eine Basis im Vektorraum Sym(𝕍,𝕍) der symmetrischen Tensoren zweiter Stufe. Bezüglich dieser Basis können alle symmetrischen Tensoren zweiter Stufe in voigtscher Notation dargestellt werden:

A ∈ Sym(𝕍,𝕍) ↔ A ＝ A_r S_r ↔ [A] :＝ Datei:Leftpmatrix6.svg	A₁	Datei:Rightpmatrix6.svg
	A₂
	A₃
	A₄
	A₅
	A₆

Diese Vektoren dürfen addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert werden:

[A + x B] ＝ [A] + x [B]

Beim Matrizenprodukt in voigtscher Notation muss eine Diagonalmatrix

L ＝ diag(1, 1, 1, 2, 2, 2)

mit den Einträgen L_uv ＝ S_u : S_v zwischengeschaltet werden:

A : B ＝ [A]^⊤L [B] ＝ A₁ B₁ + A₂ B₂ + A₃ B₃ + 2 A₄ B₄ + 2 A₅ B₅ + 2 A₆ B₆

Gegeben ein #symmetrischer Tensor T ∈ 𝓛 und
ein beliebiger Tensor F ＝ F_ij ê_i ⊗ ê_j ∈ 𝓛 . Dann gilt:

[F · T · F^⊤] ＝ R L [T]

mit

R ＝ Datei:Leftpmatrix6.svg	R₁₁₁₁	R₁₁₂₂	R₁₁₃₃	R₁₁₂₃	R₁₁₁₃	R₁₁₁₂	Datei:Rightpmatrix6.svg
	R₂₂₁₁	R₂₂₂₂	R₂₂₃₃	R₂₂₂₃	R₂₂₁₃	R₂₂₁₂
	R₃₃₁₁	R₃₃₂₂	R₃₃₃₃	R₃₃₂₃	R₃₃₁₃	R₃₃₁₂
	R₂₃₁₁	R₂₃₂₂	R₂₃₃₃	R₂₃₂₃	R₂₃₁₃	R₂₃₁₂
	R₁₃₁₁	R₁₃₂₂	R₁₃₃₃	R₁₃₂₃	R₁₃₁₃	R₁₃₁₂
	R₁₂₁₁	R₁₂₂₂	R₁₂₃₃	R₁₂₂₃	R₁₂₁₃	R₁₂₁₂

R_ijkl :＝ Datei:OneHalf.svg (F_ik F_jl + F_il F_jk)

Wenn F ein #Orthogonaler Tensor ist, dann ergibt sich zusätzlich:

R L R^⊤= R^⊤L R ＝ diag(1, 1, 1, ½, ½, ½)

Schiefsymmetrische Tensoren[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Definition:

A ∈ 𝓛: A ＝ −A^⊤

#Dualer axialer Vektor A_×:

A_× ＝ −Datei:OneHalf.svg Datei:Vec i.svg(A) ↔ A · Datei:Vec v.svg ＝ A_× × Datei:Vec v.svg für alle Datei:Vec v.svg ∈ 𝕍

A ＝ A_× × 1

#Kofaktor: cof(A) ＝ adj(A) ＝ A² − Datei:OneHalf.svg Sp(A²) 1 ＝ A_× ⊗ A_×

Bezüglich der Standardbasis:

A_ij ê_i ⊗ ê_j ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	0	A₁₂	A₁₃	Datei:Rightpmatrix3.svg
	−A₁₂	0	A₂₃
	−A₁₃	−A₂₃	0

(A_ij ê_i ⊗ ê_j)_× ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	A₃₂	Datei:Rightpmatrix3.svg ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	−A₂₃	Datei:Rightpmatrix3.svg
	A₁₃		A₁₃
	A₂₁		−A₁₂

#Hauptinvarianten:

Sp(A) ＝ 0

I₂(A) ＝ A_× · A_× ＝ −Datei:OneHalf.svg Sp(A²) ＝ Datei:OneHalf.svg ∥A∥²

I₂(A_ij ê_i ⊗ ê_j) ＝ A₁₂² + A₁₃² + A₂₃²

det(A) ＝ 0

#Betragsquadrat:

∥A∥² ＝ 2 I₂(A)

∥A_ij ê_i ⊗ ê_j∥² ＝ 2 (A₁₂² + A₁₃² + A₂₃²)

Bilinearform:

Datei:Vec u.svg · A · Datei:Vec v.svg ＝ −Datei:Vec v.svg · A · Datei:Vec u.svg für alle Datei:Vec u.svg, Datei:Vec v.svg ∈ 𝕍

Datei:Vec v.svg · A · Datei:Vec v.svg ＝ 0 für alle Datei:Vec v.svg ∈ 𝕍

Ein Eigenwert ist null, zwei imaginär konjugiert komplex, siehe #Eigensystem schiefsymmetrischer Tensoren.

Singulärwertzerlegung mit s ŝ :＝ A_×, s :＝ │A_×│,
ĝ senkrecht zu A_× und ĥ ＝ ŝ × ĝ:

U ＝ (ĝ ĥ ŝ), V ＝ (−ĥ ĝ ŝ), S ＝ diag(s, s, 0)

#Singulärwertzerlegung: A ＝ U · S · V^⊤ ＝ s (ĥ ⊗ ĝ − ĝ ⊗ ĥ)

Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

Kreuzproduktmatrix [Datei:Vec u.svg]_× ∈ 𝓛 eines Vektors Datei:Vec u.svg ＝ u_i ê_i ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	u₁	Datei:Rightpmatrix3.svg :
	u₂
	u₃

[Datei:Vec u.svg]_×	＝ Datei:Vec u.svg × 1 ＝ (u_i ê_i) × ê_k ⊗ ê_k ＝ −ϵ_ijk u_i ê_j ⊗ ê_k
	＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	0	−u₃	u₂	Datei:Rightpmatrix3.svg ∈ 𝓛
		u₃	0	−u₁
		−u₂	u₁	0

Eigenschaften:

Datei:Vec u.svg × Datei:Vec v.svg ＝ [Datei:Vec u.svg]_× · Datei:Vec v.svg ＝ Datei:Vec u.svg · [Datei:Vec v.svg]_×

([Datei:Vec u.svg]_×)^⊤ ＝ −[Datei:Vec u.svg]_×

Datei:Vec u.svg × [Datei:Vec v.svg]_× ＝ [Datei:Vec u.svg]_× · [Datei:Vec v.svg]_× ＝ Datei:Vec v.svg ⊗ Datei:Vec u.svg − (Datei:Vec u.svg · Datei:Vec v.svg) 1

Potenzen von [Datei:Vec u.svg]_×:

([Datei:Vec u.svg]_×)² ＝ [Datei:Vec u.svg]_× · [Datei:Vec u.svg]_× ＝ Datei:Vec u.svg ⊗ Datei:Vec u.svg − (Datei:Vec u.svg · Datei:Vec u.svg) 1

([Datei:Vec u.svg]_×)³ ＝ −(Datei:Vec u.svg · Datei:Vec u.svg) [Datei:Vec u.svg]_×

Weiteres siehe #Schiefsymmetrische Tensoren.

Deviatorische Tensoren[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Definition:

A ∈ 𝓛: Sp(A) ＝ 0

#Kofaktor : cof(A) ＝ (A²)^⊤− Datei:OneHalf.svg Sp(A²) 1

Bezüglich der Standardbasis:

A_ij ê_i ⊗ ê_j ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	A₁₁	A₁₂	A₁₃	Datei:Rightpmatrix3.svg
	A₂₁	A₂₂	A₂₃
	A₃₁	A₃₂	−A₁₁ − A₂₂

#Hauptinvarianten:

Sp(A) :＝ 0
I₂(A) ＝ −Datei:OneHalf.svg Sp(A²)
I₂(A_ij ê_i ⊗ ê_j) ＝ −A₁₁² − A₂₂² − A₁₁ A₂₂ − A₁₂ A₂₁ − A₁₃ A₃₁ − A₂₃ A₃₂
det(A) ＝ Datei:Onethird.svg Sp(A³)
det(A_ij ê_i ⊗ ê_j) ＝	A₁₁ [A₁₂ A₂₁ − A₂₃ A₃₂ − (A₁₁ + A₂₂) A₂₂]
	+ (A₁₂ A₂₂ + A₁₃ A₃₂) A₂₁ + (A₁₂ A₂₃ − A₁₃ A₂₂) A₃₁

#Betragsquadrat:

∥A_ij ê_i ⊗ ê_j∥² ＝	2 (A₁₁² + A₂₂² + A₁₁ A₂₂)
	+ A₁₂² + A₂₁² + A₁₃² + A₃₁² + A₂₃² + A₃₂²

Kugeltensoren[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Definition:

A ∈ 𝓛: A ＝ a 1 ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg	a	0	0	Datei:Rightpmatrix3.svg
	0	a	0
	0	0	a

#Kofaktor: cof(A) ＝ adj(A) ＝ a² 1

#Hauptinvarianten:

Sp(A) ＝ 3 a

I₂(A) ＝ 3 a²

det(A) ＝ a³

#Betrag:

∥A∥ ＝ |a| Datei:Sqrt3.svg

Zerlegungen eines Tensors[Bearbeiten]

Gegeben ein beliebiger Tensor A ＝ A_ij ê_i ⊗ ê_j ∈ 𝓛

Symmetrischer Anteil[Bearbeiten]

A^S ＝ sym(A) :＝ Datei:OneHalf.svg (A + A^⊤)

A^S ＝ Datei:OneHalf.svg Datei:Leftpmatrix3.svg	2 A₁₁	A₁₂ + A₂₁	A₁₃ + A₃₁	Datei:Rightpmatrix3.svg
		2 A₂₂	A₂₃ + A₃₂
	sym		2 A₃₃

Sp(A^S) ＝ Sp(A) ＝ A₁₁ + A₂₂ + A₃₃

I₂(A^S)	＝	Datei:OneFourth.svg [2 I₂(A) + Sp(A)² − ║A║²]
	＝	A₁₁ A₂₂ + A₁₁ A₃₃ + A₂₂ A₃₃
		− Datei:OneFourth.svg [(A₁₂ + A₂₁)² + (A₁₃ + A₃₁)² + (A₂₃ + A₃₂)²]

det(A^S)	＝	Datei:OneFourth.svg [det(A) + A : adj(A)] ＝ det(A) − Datei:OneFourth.svg Datei:Vec i.svg(A) · A · Datei:Vec i.svg(A)
	＝	A₁₁ A₂₂ A₃₃ + Datei:OneFourth.svg (A₁₂ + A₂₁) (A₂₃ + A₃₂) (A₁₃ + A₃₁)
		− Datei:OneFourth.svg [A₁₁ (A₂₃ + A₃₂)² + A₂₂ (A₁₃ + A₃₁)² + A₃₃ (A₁₂ + A₂₁)²]

∥A^S∥²	＝	Datei:OneHalf.svg [Sp(A²) + ∥A∥²] ＝ A : A^S ＝ ∥A∥² − ∥A^A∥²
	＝	A₁₁² + A₂₂² + A₃₃² + Datei:OneHalf.svg [(A₁₂ + A₂₁)² + (A₁₃ + A₃₁)² + (A₂₃ + A₃₂)²]

Schiefsymmetrischer Anteil[Bearbeiten]

A^A ＝ skw(A) :＝ Datei:OneHalf.svg (A − A^⊤)

A^A ＝ Datei:OneHalf.svg Datei:Leftpmatrix3.svg	0	A₁₂ − A₂₁	A₁₃ − A₃₁	Datei:Rightpmatrix3.svg
	A₂₁ − A₁₂	0	A₂₃ − A₃₂
	A₃₁ − A₁₃	A₃₂ − A₂₃	0

Sp(A^A) ＝ 0

I₂(A^A)	＝ Datei:OneFourth.svg [║A║² − Sp(A²)] ＝ Datei:OneFourth.svg [2 I₂(A) + ║A║² − Sp(A)²]
	＝ Datei:OneFourth.svg [(A₁₂ − A₂₁)² + (A₁₃ − A₃₁)² + (A₂₃ − A₃₂)²]

det(A^A) ＝ 0

∥A^A∥²	＝	Datei:OneHalf.svg [∥A∥² − Sp(A²)] ＝ A : A^A ＝ ∥A∥² − ∥A^S∥²
	＝	Datei:OneHalf.svg [(A₁₂ − A₂₁)² + (A₁₃ − A₃₁)² + (A₂₃ − A₃₂)²]

Deviator[Bearbeiten]

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A^D ＝ dev(A) :＝ A − Datei:Onethird.svg Sp(A) 1

A^D ＝ <math>\begin{pmatrix}

\mathsf{\frac{2A_{11}-A_{22}-A_{33}}3}&\mathsf{A_{12}}&\mathsf{A_{13}}\\ \mathsf{A_{21}}&\mathsf{\frac{2A_{22}-A_{11}-A_{33}}3}&\mathsf{A_{23}}\\ \mathsf{A_{31}}&\mathsf{A_{32}}&\mathsf{\frac{2A_{33}-A_{11}-A_{22}}3} \end{pmatrix}</math>

Sp(A^D) ＝ 0

I₂(A^D)	＝	I₂(A) − Datei:Onethird.svg Sp(A)² ＝ Datei:OneSixth.svg [Sp(A)² − 3 Sp(A²)]
	＝	Datei:Onethird.svg (A₁₁ A₂₂ + A₁₁ A₃₃ + A₂₂ A₃₃ − A₁₁² − A₂₂² − A₃₃²)
		− A₁₂ A₂₁ − A₁₃ A₃₁ − A₂₃ A₃₂

det(A^D)	＝	det(A) + Datei:One27th.svg Sp(A) [2 Sp(A)² − 9 I₂(A)]
	＝	Datei:One27th.svg [12 A₁₁ A₂₂ A₃₃ + 2 (A₁₁³ + A₂₂³ + A₃₃³)]
		− Datei:OneNinth.svg [A₁₁² (A₂₂ + A₃₃) + A₂₂² (A₁₁ + A₃₃) + A₃₃² (A₁₁ + A₂₂)]
		− Datei:Onethird.svg [(2 A₁₁ − A₂₂ − A₃₃) A₂₃ A₃₂ + (2 A₂₂ − A₁₁ − A₃₃) A₁₃ A₃₁ …
		… + (2 A₃₃ − A₁₁ − A₂₂) A₁₂ A₂₁] + A₁₂ A₂₃ A₃₁ + A₁₃ A₃₂ A₂₁

∥A^D∥²	＝	∥A∥² − ∥A^K∥² ＝ ∥A∥² − Datei:Onethird.svg Sp(A)²
	＝	Datei:Twothird.svg (A₁₁² + A₂₂² + A₃₃² − A₁₁ A₂₂ − A₁₁ A₃₃ − A₂₂ A₃₃)
		+ A₁₂² + A₂₁² + A₁₃² + A₃₁² + A₂₃² + A₃₂²

Kugelanteil[Bearbeiten]

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A^K ＝ sph(A) :＝ Datei:Onethird.svg Sp(A) 1 ＝ Datei:Onethird.svg Sp(A) Datei:Leftpmatrix3.svg	1			Datei:Rightpmatrix3.svg
		1
			1

Sp(A^K) ＝ Sp(A) ＝ A₁₁ + A₂₂ + A₃₃

I₂(A^K) ＝ Datei:Onethird.svg Sp(A)²

det(A^K) ＝ Datei:One27th.svg Sp(A)³

∥A^K∥ ＝ Datei:OneOverSqrt3.svg |Sp(A)|

Beziehung zwischen den Anteilen des Tensors[Bearbeiten]

A ＝ A^S + A^A ＝ A^D + A^K

A^S : B^A ＝ A^K : B^A ＝ A^K : B^D ＝ 0

Folgerungen:

A^S : B ＝ A^S : B^S

A^A : B ＝ A^A : B^A ＝ A^A : B^D

A^D : B ＝ A^D : B^D

A^K : B ＝ A^K : B^K ＝ A^K : B^S

║A║² ＝ ║A^S║² + ║A^A║² ＝ ║A^D║² + ║A^K║²

Polarzerlegung[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

Für jeden Tensor F ∈ 𝓛 mit #Determinante ≠ 0 gibt es #Orthogonale Tensoren Q und positiv definite #Symmetrische Tensoren U, V in eindeutiger Weise, sodass<ref name="Ciarlet" details="S. 95ff"/>

F ＝ Q · U ＝ V · Q

Die Anteile U, V und Q berechnet sich aus

U ＝ (F^⊤ · F)^½, V ＝ (F · F^⊤)^½

Q ＝ F · U⁻¹ ＝ V⁻¹ · F ＝ F^⊤−1 · U ＝ V · F^⊤−1

Bei det(F) ＝ 0 existiert eine solche Zerlegung ebenfalls, ist jedoch nicht mehr eindeutig und U sowie V sind nur noch positiv semidefinit, siehe z. B. die #Polarzerlegung einer Dyade.

Singulärwertzerlegung[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

Singulärwertzerlegung von A ∈ 𝓛:<ref name="Ciarlet" details="S. 98"/>

A ＝ Datei:Sum over i from 1 to 3.svg s_i ĝ_i ⊗ ĥ_i

mit

s_i ＝ ĝ_i · A · ĥ_i ∈ ℝ (keine Summe über i),
s₁ ≥ s₂ ≥ s₃ ≥ 0 und
#Orthonormalbasisvektoren ĝ_1,2,3 sowie ĥ_1,2,3

Bestimmung der Vektoren z. B. mit dem #Eigensystem symmetrischer Tensoren

A · A^⊤ ＝ Datei:Sum over i from 1 to 3.svg λ_i ĝ_i ⊗ ĝ_i, A^⊤· A ＝ Datei:Sum over i from 1 to 3.svg λ_i ĥ_i ⊗ ĥ_i

Multiplikation einzelner #Eigenvektoren ĝ_k oder ĥ_k mit −1 sowie geeignete Nummerierung der Eigenwerte und -vektoren liefert

s₁ ≥ s₂ ≥ s₃ ≥ 0.

Darstellung mit Matrizen/Tensoren:

A	＝	(ĝ_j ⊗ ê_j) · Datei:BiggBracketLeft.svg Datei:Sum over i from 1 to 3.svg s_i ê_i ⊗ ê_iDatei:BiggBracketRight.svg · (ê_k ⊗ ĥ_k)
	＝	(ĝ₁ ĝ₂ ĝ₃)	·	Datei:Leftpmatrix3.svg	s₁	0	0	Datei:Rightpmatrix3.svg	·	(ĥ₁ ĥ₂ ĥ₃)^⊤
					0	s₂	0
					0	0	s₃
	＝	U	·	S					·	V^⊤

Die Faktoren U und V sind eigentlich oder uneigentlich #Orthogonale Tensoren. Spezialfälle siehe

#Dyade,
#Singulärwertzerlegung von symmetrischen Tensoren,
#Schiefsymmetrische Tensoren,
#Orthogonale Tensoren

Spektralzerlegung[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

Darstellung von Tensoren mit ihrem #Eigensystem.

Es gilt: Datei:Vec v.svg · A ＝ A^⊤ · Datei:Vec v.svg

Im Folgenden bedeuten

λ_1,2,3	die #Eigenwerte des betreffenden Tensors und
Λ	die SpektralmatrixSkriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Anker“ ist nicht vorhanden., Λ ＝ Datei:Sum over i from 1 to 3.svg λ_i ê_i ⊗ ê_i ＝ Datei:SpectralMatrix.svg

Spektralzerlegung des Paares (A, 1)

1	＝ Datei:Vec u.svg_i ⊗ Datei:Vec v.svg_i	＝ Datei:Sum over i from 1 to 3.svg D_i	＝ U · V^⊤
A	＝ Datei:Sum over i from 1 to 3.svg λ_i Datei:Vec u.svg_i ⊗ Datei:Vec v.svg_i	＝ λ_i D_i	＝ U · Λ · V^⊤

mit

Rechtseigenvektoren:	A · Datei:Vec u.svg_i ＝ λ_i Datei:Vec u.svg_i (keine Summe über i)
Rechtsmodalmatrix:	U ＝ Datei:Vec u.svg_i ⊗ ê_i ＝ (Datei:Vec u.svg₁ Datei:Vec u.svg₂ Datei:Vec u.svg₃)
Linkseigenvektoren:	Datei:Vec v.svg_i · A ＝ λ_i Datei:Vec v.svg_i (keine Summe über i)
Linksmodalmatrix:	V ＝ Datei:Vec v.svg_i ⊗ ê_i ＝ (Datei:Vec v.svg₁ Datei:Vec v.svg₂ Datei:Vec v.svg₃)
Normierung:	Datei:Vec v.svg_i · Datei:Vec u.svg_j ＝ δ_ij → V ＝ U^⊤−1, U · V^⊤ ＝ 1
Eigendyaden:	D_i ＝ Datei:Vec u.svg_i ⊗ Datei:Vec v.svg_i (keine Summe über i)
Kollinearität:	D_i · Datei:Vec u.svg_i ＝ Datei:Vec u.svg_i, Datei:Vec v.svg_i · D_i ＝ Datei:Vec v.svg_i, D_i · D_i ＝ D_i (keine Summen)
Orthogonalität:	i ≠ j → Datei:Vec v.svg_i · D_j ＝ D_j · Datei:Vec u.svg_i ＝ Datei:Vec 0.svg, D_i · D_j ＝ O

Spektralzerlegung des Paares (K, M), M regulär

M	＝	M · Datei:Vec u.svg_i ⊗ Datei:Vec v.svg_i · M	＝	Datei:Sum over i from 1 to 3.svg D_i	＝ M · U · V^⊤ · M
K	＝	Datei:Sum over i from 1 to 3.svg λ_i M · Datei:Vec u.svg_i ⊗ Datei:Vec v.svg_i · M	＝	λ_i D_i	＝ M · U · Λ· V^⊤ · M

mit

Rechtseigenvektoren:	K · Datei:Vec u.svg_i ＝ λ_i M · Datei:Vec u.svg_i (keine Summe über i)
Rechtsmodalmatrix:	U ＝ Datei:Vec u.svg_i ⊗ ê_i ＝ (Datei:Vec u.svg₁ Datei:Vec u.svg₂ Datei:Vec u.svg₃)
Linkseigenvektoren:	Datei:Vec v.svg_i · K ＝ λ_i Datei:Vec v.svg_i · M (keine Summe über i)
Linksmodalmatrix:	V ＝ Datei:Vec v.svg_i ⊗ ê_i ＝ (Datei:Vec v.svg₁ Datei:Vec v.svg₂ Datei:Vec v.svg₃)
Normierung:	Datei:Vec v.svg_i · M · Datei:Vec u.svg_j ＝ δ_ij → V ＝ (M · U)^⊤−1, V^⊤ · M ＝ U⁻¹
Eigendyaden:	D_i ＝ M · Datei:Vec u.svg_i ⊗ Datei:Vec v.svg_i · M (keine Summe über i)
Kollinearität:	D_i · Datei:Vec u.svg_i ＝ M · Datei:Vec u.svg_i, Datei:Vec v.svg_i · D_i ＝ Datei:Vec v.svg_i · M, D_i · M⁻¹ · D_i ＝ D_i (keine Summen)
Orthogonalität:	i ≠ j → Datei:Vec v.svg_i · D_j ＝ D_j · Datei:Vec u.svg_i ＝ Datei:Vec 0.svg, D_i · M⁻¹ · D_j ＝ O

Projektionen[Bearbeiten]

Punkt auf Gerade[Bearbeiten]

Gegeben eine Gerade 𝔊 durch einen Punkt Datei:Vec x.svg ∈ 𝔊 und der Einheitsvektor ê in Richtung der Geraden sowie ein beliebiger anderer Punkt Datei:Vec p.svg. Das definiert die Gerade als:

Datei:Vec p.svg ∈ 𝔊 ↔ (1 − ê ⊗ ê) · (Datei:Vec p.svg − Datei:Vec x.svg) ＝ Datei:Vec 0.svg

Fußpunkt von Datei:Vec p.svg:	Datei:Vec f.svg ＝ Datei:Vec x.svg + ê ⊗ ê · (Datei:Vec p.svg − Datei:Vec x.svg)	∈ 𝔊, d. h. Datei:Vec f.svg − Datei:Vec x.svg ∥ ê
Lotstrecke:	Datei:Vec n.svg ＝ (1 − ê ⊗ ê) · (Datei:Vec p.svg − Datei:Vec x.svg) ＝ Datei:Vec p.svg − Datei:Vec f.svg	⊥ 𝔊, d. h. Datei:Vec n.svg ⊥ ê

Punkt oder Gerade auf Ebene[Bearbeiten]

Gegeben eine Ebene 𝔈 durch einen Punkt Datei:Vec x.svg in der Ebene (∈ 𝔈) und zwei die Ebene aufspannende Vektoren Datei:Vec u.svg und Datei:Vec v.svg ∦ Datei:Vec u.svg sowie ein beliebiger anderer Punkt Datei:Vec p.svg. Dann verschwindet der Normaleneinheitsvektor

ĉ ＝	Datei:Vec u.svg × Datei:Vec v.svg	≠ Datei:Vec 0.svg
	\|Datei:Vec u.svg × Datei:Vec v.svg\|

nicht. Normalenform der Ebene:

Datei:Vec p.svg ∈ 𝔈 ↔ (Datei:Vec p.svg − Datei:Vec x.svg) · ĉ ＝ 0

Fußpunkt von Datei:Vec p.svg:	Datei:Vec f.svg ＝ Datei:Vec x.svg + (1 − ĉ ⊗ ĉ) · (Datei:Vec p.svg − Datei:Vec x.svg)	∈ 𝔈, d. h. Datei:Vec f.svg − Datei:Vec x.svg ⊥ ĉ
Lotstrecke:	Datei:Vec n.svg ＝ ĉ ⊗ ĉ · (Datei:Vec p.svg − Datei:Vec x.svg) ＝ Datei:Vec p.svg − Datei:Vec f.svg	⊥ 𝔈, d. h. ∥ ĉ

In höherdimensionalen Räumen extrahiert

P ＝	(Datei:Vec v.svg · Datei:Vec v.svg) Datei:Vec u.svg ⊗ Datei:Vec u.svg − (Datei:Vec u.svg · Datei:Vec v.svg) (Datei:Vec u.svg ⊗ Datei:Vec v.svg + Datei:Vec v.svg ⊗ Datei:Vec u.svg) + (Datei:Vec u.svg · Datei:Vec u.svg) Datei:Vec v.svg ⊗ Datei:Vec v.svg
	(Datei:Vec u.svg · Datei:Vec u.svg) (Datei:Vec v.svg · Datei:Vec v.svg) − (Datei:Vec u.svg · Datei:Vec v.svg)²

den Anteil eines Vektors parallel zur Ebene.<ref name="Hanson"/> Dann ist

Datei:Vec f.svg ＝ Datei:Vec x.svg + P · (Datei:Vec p.svg − Datei:Vec x.svg)	∈ 𝔈
Datei:Vec n.svg ＝ (1 − P) · (Datei:Vec p.svg − Datei:Vec x.svg) ＝ Datei:Vec p.svg − Datei:Vec f.svg	⊥ 𝔈

Fundamentaltensor 3. Stufe[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.

Definition:

ϵ	:＝	ϵ_ijk ê_i ⊗ ê_j ⊗ ê_k
	=	(ê_j × ê_k) ⊗ ê_j ⊗ ê_k
	=	ê_i ⊗ (ê_k × ê_i) ⊗ ê_k
	=	ê_i ⊗ ê_j ⊗ (ê_i × ê_j)

Tensortransformation 𝓛 ↦ 𝕍:

ϵ : (Datei:Vec u.svg ⊗ Datei:Vec v.svg) ＝ Datei:Vec u.svg × Datei:Vec v.svg ＝ Datei:Vec v.svg · ϵ · Datei:Vec u.svg ＝ −Datei:Vec u.svg · ϵ · Datei:Vec v.svg ＝ −ϵ : (Datei:Vec v.svg ⊗ Datei:Vec u.svg) ＝ −Datei:Vec v.svg × Datei:Vec u.svg

ϵ : (ê_i ⊗ ê_j) ＝ ϵ_ijk ê_k ＝ ê_i × ê_j

ϵ : A ＝ A : ϵ ＝ −ϵ : (A^⊤) ＝ −(A^⊤) : ϵ ＝ A × 1 ＝ 1 ·× A ＝ Datei:Vec i.svg(A)

ϵ : (A · B^⊤) ＝ A × B

ϵ : (A · B) ＝ A ·× B

Vektortransformation 𝕍 ↦ 𝓛:

ϵ · Datei:Vec u.svg ＝ Datei:Vec u.svg · ϵ ＝ −[Datei:Vec u.svg]_× ＝ −Datei:Vec u.svg × 1

Tensoren vierter Stufe[Bearbeiten]

Tensoren zweiter Stufe sind Elemente eines euklidischen Vektorraums 𝓛 wie im Abschnitt #Tensoren als Elemente eines Vektorraumes dargestellt. Daher kann man Tensoren vierter Stufe definieren, indem man in dem Kapitel formal die Tensoren zweiter Stufe durch Tensoren vierter Stufe und die Vektoren durch Tensoren zweiter Stufe ersetzt, z. B.:

𝔸 ＝ A_pq (A_p ⊗ G_q) ∈ Lin(𝓛,𝓛)

mit

𝔸	Tensor vierter Stufe
A_pq	Tensorkomponenten
A_p	Element der Tensorbasis A₁, A₂, …, A₉ von 𝓛
G_q	Element der Tensorbasis G₁, G₂, …, G₉ von 𝓛

Standardbasis in 𝓛:

E_1,2,3 ＝ ê₁ ⊗ ê_1,2,3, E_4,5,6 ＝ ê₂ ⊗ ê_1,2,3, E_7,8,9 ＝ ê₃ ⊗ ê_1,2,3

Tensortransformation:

𝔸 : H ＝ A_pq (A_p ⊗ G_q) : H :＝ A_pq (G_q : H) A_p

Tensorprodukt:

(A_pq A_p ⊗ G_q) : (B_rs H_r ⊗ U_s) :＝ A_pq (G_q : H_r) B_rs A_p ⊗ U_s

Übliche Schreibweisen für Tensoren vierter Stufe:

𝔸 ＝ <math>\stackrel4{\mathbf A}</math> ＝ A_ijkl ê_i ⊗ ê_j ⊗ ê_k ⊗ ê_l

Transpositionen[Bearbeiten]

Transposition:

(A ⊗ B)^⊤ ＝ B ⊗ A

(A_ijkl ê_i ⊗ ê_j ⊗ ê_k ⊗ ê_l)^⊤ :＝ A_ijkl ê_k ⊗ ê_l ⊗ ê_i ⊗ ê_j

Spezielle Transposition A<math>{}^{\stackrel{\mathsf{kn}}{\top}}</math> vertauscht k-tes mit n-tem Basissystem.

Beispielsweise:

𝔸^{Datei:Trans13.svg} :＝ A_ijkl ê_k ⊗ ê_j ⊗ ê_i ⊗ ê_l

𝔸^{Datei:Trans24.svg} :＝ A_ijkl ê_i ⊗ ê_l ⊗ ê_k ⊗ ê_j

𝔸^⊤ ＝ (𝔸^{Datei:Trans13.svg})^{Datei:Trans24.svg} ＝ A_ijkl ê_k ⊗ ê_l ⊗ ê_i ⊗ ê_j

Symmetrische Tensoren vierter Stufe[Bearbeiten]

Definition:

𝔸 ∈ Lin(𝓛,𝓛): 𝔸 ＝ 𝔸^⊤

Dann gilt: 𝔸 : B ＝ B : 𝔸

Einheitstensor vierter Stufe[Bearbeiten]

𝟙	＝ 𝟙^⊤ ＝ E_r ⊗ E_r ＝ ê_i ⊗ ê_j ⊗ ê_i ⊗ ê_j
	＝ (1 ⊗ 1)^{Datei:Trans23.svg} ＝ δ_ik δ_jl ê_i ⊗ ê_j ⊗ ê_k ⊗ ê_l
	＝ Datei:Vec g.svg_i ⊗ Datei:Vec g.svg_j ⊗ Datei:Vec g.svgⁱ ⊗ Datei:Vec g.svg^j

Dyaden vierter Stufe[Bearbeiten]

Gegeben A, B ∈ 𝓛

A ＝ A_ij ê_i ⊗ ê_j ＝ (A · ê_i) ⊗ ê_i

B ＝ B_ij ê_i ⊗ ê_j ＝ (B · ê_j) ⊗ ê_j ＝ ê_j ⊗ (B^⊤ · ê_j)

Dyadische Produkte:

A ⊗ B	＝ (A · ê_i) ⊗ ê_i ⊗ (B · ê_j) ⊗ ê_j ＝ (A · ê_i) ⊗ ê_i ⊗ ê_j ⊗ (B^⊤ · ê_j)
	＝ A_ij B_kl ê_i ⊗ ê_j ⊗ ê_k ⊗ ê_l
(A ⊗ B)^{Datei:Trans23.svg}	＝ (A · ê_i) ⊗ (B · ê_j) ⊗ ê_i ⊗ ê_j ＝ [A · (ê_i ⊗ ê_j) · B^⊤] ⊗ (ê_i ⊗ ê_j)
	＝ A_ik B_jl ê_i ⊗ ê_j ⊗ ê_k ⊗ ê_l
(A ⊗ B)^{Datei:Trans24.svg}	＝ (A · ê_i) ⊗ (B^⊤ · ê_j) ⊗ ê_j ⊗ ê_i ＝ [A · (ê_i ⊗ ê_j)^⊤ · B] ⊗ (ê_i ⊗ ê_j)
	＝ A_il B_kj ê_i ⊗ ê_j ⊗ ê_k ⊗ ê_l

Tensortransformation von G ∈ 𝓛:

(A ⊗ B) : G ＝ (B : G) A

(A ⊗ B)^{Datei:Trans23.svg} : G ＝ A · G · B^⊤

(A ⊗ B)^{Datei:Trans24.svg} : G ＝ A · G^⊤ · B

Orthogonale Tensoren vierter Stufe[Bearbeiten]

Gegeben ein #Orthogonaler Tensor Q ＝ Q_ij ê_i ⊗ ê_j und

ℚ	＝ (Q ⊗ Q)^{Datei:Trans23.svg} ＝ (Q · ê_i) ⊗ (Q · ê_j) ⊗ ê_i ⊗ ê_j
	＝ Q_ik Q_jl ê_i ⊗ ê_j ⊗ ê_k ⊗ ê_l

Dann ist speziell

ℚ : ℚ^⊤ ＝ ℚ^⊤ : ℚ ＝ 𝟙

ℚ : A ＝ Q · A · Q^⊤

ℚ : (A ⊗ B) : ℚ^⊤ ＝ (Q · A · Q^⊤) ⊗ (Q · B · Q^⊤)

ℚ : (Datei:Vec a.svg ⊗ Datei:Vec b.svg ⊗ Datei:Vec c.svg ⊗ Datei:Vec d.svg) : ℚ^⊤ ＝ (Q · Datei:Vec a.svg) ⊗ (Q · Datei:Vec b.svg) ⊗ (Q · Datei:Vec c.svg) ⊗ (Q · Datei:Vec d.svg)

bei Datei:Vec a.svg, Datei:Vec b.svg, Datei:Vec c.svg, Datei:Vec d.svg ∈ 𝕍 und A, B ∈ 𝓛. Die voigtsche Notation […] erlaubt ℚ : A für #Symmetrische Tensoren A als Matrizenprodukt M[A] darzustellen, siehe #Voigtsche Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe.

Spezielle Transformatoren[Bearbeiten]

Für beliebige Tensoren A ∈ 𝓛 gilt

𝕋	＝	E_p^⊤ ⊗ E_p	＝	δ_il δ_jk ê_i ⊗ ê_j ⊗ ê_k ⊗ ê_l	→	𝕋 : A ＝ A^⊤
𝕊	＝	Datei:OneHalf.svg (𝟙 + 𝕋)	＝	Datei:OneHalf.svg (δ_ik δ_jl + δ_il δ_jk) ê_i ⊗ ê_j ⊗ ê_k ⊗ ê_l	→	𝕊 : A ＝ A^S
𝔸	＝	Datei:OneHalf.svg (𝟙 − 𝕋)	＝	Datei:OneHalf.svg (δ_ik δ_jl − δ_il δ_jk) ê_i ⊗ ê_j ⊗ ê_k ⊗ ê_l	→	𝔸 : A ＝ A^A
𝕂	＝	Datei:Onethird.svg 1 ⊗ 1	＝	Datei:Onethird.svg δ_ij δ_kl ê_i ⊗ ê_j ⊗ ê_k ⊗ ê_l	→	𝕂 : A ＝ A^K
𝔻	＝	𝟙 − 𝕂	＝	Datei:BiggBracketLeft.svgδ_ik δ_jl − Datei:Onethird.svg δ_ij δ_klDatei:BiggBracketRight.svg ê_i ⊗ ê_j ⊗ ê_k ⊗ ê_l	→	𝔻 : A ＝ A^D

Diese fünf Tensoren sind symmetrisch mit den Eigenschaften:

ℂ ∈ {𝔸, 𝔻, 𝕂, 𝕊 } → ℂ : ℂ ＝ ℂ

𝔸 + 𝕊 ＝ 𝔻 + 𝕂 ＝ 𝕋 : 𝕋 ＝ 𝟙

𝔸 : 𝕊 ＝ 𝔻 : 𝕂 ＝ 𝕆 (Nulltensor vierter Stufe)

Invertierungsformeln für Tensoren vierter Stufe[Bearbeiten]

Mit a ∈ ℝ und B, C, D, E ∈ 𝓛 gilt:

• (a 𝟙 + B ⊗ C)⁻¹ ＝	1	(g 𝟙 − B ⊗ C), mit g ＝ a + B : C
	a g

• (a 𝟙 + B ⊗ C + D ⊗ E)⁻¹ ＝	1	[z 𝟙 + B ⊗ (f C + x E) + D ⊗ (y C + g E)]
	a z

mit f ＝ a + D : E, x ＝ −C : D, y ＝ −B : E, g ＝ a + B : C, z ＝ x y − f g

• (A_p ⊗ G_p)⁻¹ ＝ G^p ⊗ A^p

Mit 𝔸 und 𝕊 aus #Spezielle Transformatoren, a, b ∈ ℝ, #Symmetrische Tensoren B und C sowie #Schiefsymmetrische Tensoren D und E:

• (a 𝕊 + B ⊗ C + b 𝔸 + D ⊗ E)⁻¹ ＝	1	(g 𝕊 − B ⊗ C) +	1	(h 𝔸 − D ⊗ E)
	a g		b h

mit g ＝ a + B : C, h ＝ b + D : E

Analoges ergibt sich für 𝔻, 𝕂, #Deviatorische Tensoren und #Kugeltensoren.

Hookesches Gesetz[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Mit dem Spannungstensor σ und dem Verzerrungstensor ε schreibt sich das Hookesche Gesetz

ℂ :＝ 2μ 𝟙 + λ 1 ⊗ 1 → ℂ : ε ＝ σ

mit den Lamé-Konstanten λ und μ. Der Elastizitätstensor ℂ ist symmetrisch. Erste der #Invertierungsformeln für Tensoren vierter Stufe
mit a ＝ 2μ, B ＝ λ 1 und C ＝ 1:

𝔹 :＝ ℂ⁻¹ ＝ Datei:OneOver2My.svg 𝟙 − Datei:NyOverE.svg 1 ⊗ 1 → 𝔹 : σ ＝ ε

mit der Querdehnzahl ν und dem Elastizitätsmodul <math>E</math>.

Voigtsche Notation von Tensoren vierter Stufe[Bearbeiten]

Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden. Mit der Basis S₁, …, S₆ des Vektorraums 𝓢 ＝ Sym(𝕍,𝕍) der symmetrischen Tensoren zweiter Stufe, siehe #Voigtsche Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe, können einige (nicht alle) Tensoren vierter Stufe dargestellt werden, die symmetrische Tensoren auf symmetrische Tensoren abbilden. Der Vektorraum 𝔏(𝓢,𝓢) dieser Tensoren enthält nicht den #Einheitstensor vierter Stufe, jedoch den Symmetrisierer 𝕊 aus dem Abschnitt #Spezielle Transformatoren. Die 36 Komponenten der Tensoren vierter Stufe aus 𝔏(𝓢,𝓢) können in voigtscher Notation in eine 6×6-Matrix eingelagert werden:

𝔸 ＝ A_uv S_u ⊗ S_v ↔ [𝔸] ＝ Datei:Leftpmatrix6.svg	A₁₁	A₁₂	A₁₃	A₁₄	A₁₅	A₁₆	Datei:Rightpmatrix6.svg
	A₂₁	A₂₂	A₂₃	A₂₄	A₂₅	A₂₆
	A₃₁	A₃₂	A₃₃	A₃₄	A₃₅	A₃₆
	A₄₁	A₄₂	A₄₃	A₄₄	A₄₅	A₄₆
	A₅₁	A₅₂	A₅₃	A₅₄	A₅₅	A₅₆
	A₆₁	A₆₂	A₆₃	A₆₄	A₆₅	A₆₆

In diesem Abschnitt steht [(·)] für die voigtsche Notation von (·). Diese Tensoren vierter Stufe sind sämtlich singulär:

𝔸 : T^A ＝ 𝕊 : T^A ＝ O

Die Vektoren und Matrizen in voigtscher Notation können addiert, subtrahiert und mit einem Skalar x multipliziert werden:

[A + x B] ＝ [A] + x [B]

[𝔸 + x 𝔹] ＝ [𝔸] + x [𝔹]

Beim Matrizenprodukt in voigtscher Notation muss die Diagonalmatrix

L ＝ diag(1, 1, 1, 2, 2, 2)

mit den Einträgen L_uv ＝ S_u : S_v zwischengeschaltet werden:

A : B ＝ [A]^⊤ L [B] ＝ A₁ B₁ + A₂ B₂ + A₃ B₃ + 2 A₄ B₄ + 2 A₅ B₅ + 2 A₆ B₆

[𝔸 : T] ＝ [𝔸] L [T]

[𝔸 : 𝔹] ＝ [𝔸] L [𝔹]

Inverse Matrix bei Determinante ungleich null in voigtscher Notation:

[𝔹] ＝ S [𝔸]⁻¹ S ↔ [𝔸] ＝ S [𝔹]⁻¹ S

→ [𝔸] L [𝔹] ＝ [𝔹] L [𝔸] ＝ [𝕊] ↔ 𝔸 : 𝔹 ＝ 𝔹 : 𝔸 ＝ 𝕊

wobei S :＝ L⁻¹ ＝ diag(1, 1, 1, ½, ½, ½) ＝ [𝕊]

#Hookesches Gesetz in voigtscher Notation entspricht

ℂ	＝	2μ 𝕊 + λ 1 ⊗ 1
[ℂ]	＝	Datei:Leftpmatrix6.svg	2μ + λ	λ	λ	0	0	0	Datei:Rightpmatrix6.svg
			λ	2μ + λ	λ	0	0	0
			λ	λ	2μ + λ	0	0	0
			0	0	0	μ	0	0
			0	0	0	0	μ	0
			0	0	0	0	0	μ

𝔹	＝	Datei:OneOver2My.svg 𝕊 − Datei:NyOverE.svg 1 ⊗ 1
[𝔹]	＝	Datei:OneOverE.svgDatei:Leftpmatrix6.svg	1	−ν	−ν	0	0	0	Datei:Rightpmatrix6.svg
			−ν	1	−ν	0	0	0
			−ν	−ν	1	0	0	0
			0	0	0	2(1+ν)	0	0
			0	0	0	0	2(1+ν)	0
			0	0	0	0	0	2(1+ν)

ℂ : 𝔹 ＝ 𝔹 : ℂ ＝ 𝕊

Einzelnachweise[Bearbeiten]

<references> <ref name="Denton"> P. B. Denton, S. J. Parke, T. Tao, X. Zhang: Eigenvectors from Eigenvalues. (PDF) 10. August 2019, S. 1–3, abgerufen am 29. November 2019 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)). </ref> <ref name="Hanson"> J. Hanson: Rotations in three, four, and five dimensions. S. 4 f., arxiv:1103.5263. </ref> <ref name="Ciarlet"> Philippe Ciarlet: Mathematical Elasticity. Band 1: Three-Dimensional Elasticity. North-Holland, Amsterdam 1988, ISBN 0-444-70259-8. </ref> </references>

Literatur[Bearbeiten]

Holm Altenbach: Kontinuumsmechanik. Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. 2. Auflage. Springer Vieweg, Berlin u. a. 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
Philippe Ciarlet: Mathematical Elasticity. Band 1: Three-Dimensional Elasticity. North-Holland, Amsterdam 1988, ISBN 0-444-70259-8.
Wolfgang Ehlers: Ergänzung zu den Vorlesungen Technische Mechanik und Höhere Mechanik. Vektor- und Tensorrechnung, Eine Einführung. 2015 (uni-stuttgart.de [PDF; abgerufen am 3. September 2020]).
Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-00760-1.
A. Bertram: Elasticity and Plasticity of Large Deformations. Including Gradient Materials. 4. Auflage. Springer, 2021, ISBN 978-3-030-72327-9, doi:10.1007/978-3-030-72328-6.