Lax-Paar

Ein Lax-Paar bezeichnet in der Mathematik zwei Matrizen oder Operatoren <math>L(t)</math> und <math>M(t)</math>, die von einem Zeitparameter abhängen <math>t</math> und die Lax-Gleichung

erfüllen, wobei <math>L_t=\frac{\partial L}{\partial t}</math> die partielle Ableitung nach <math>t</math> und <math>[M, L] = ML - LM</math> den Kommutator bezeichnet. Sie sind nach Peter Lax benannt, der sie 1968 im Studium der Korteweg-de-Vries-Gleichung formalisierte.<ref name="Lax">Peter Lax: Integrals of nonlinear equations of evolutions. In: Comm. Pure Appl. Math. Band 21, 1968, S. 467–490. </ref>

Lax-Paare sind ein nützliches Werkzeug zum Ermitteln der Erhaltungsgrößen einiger dynamischer Systeme. Die Lax-Gleichung stellt sicher, dass die Eigenwerte (Spektrum) des Operator <math>L</math> unabhängig von der Zeit sind. Diese Eigenschaft wird als Isospektralität bezeichnet.

Lax-Paare spielen eine zentrale Rolle in der Theorie der integrablen Systeme und werden für die Inverse Streutransformation benötigt. Die Sacharow-Schabat-Konstruktion ist eine Methode um Lax-Paare zu konstruieren.

Die Lax-Methode[Bearbeiten]

1968 führte Peter Lax eine Methode ein, die eine integrierbare nichtlineare partielle Differentialgleichung zu einer gegebenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung liefert. Die Grundidee ist wie folgt:<ref name="Lax" />

Gegeben sei ein linearer Differentialoperator <math>L</math>, der im Spektralproblem

<math>L\psi = \lambda \psi</math>

auftaucht. Man sucht einen Operator <math>M</math>, so dass gilt

(i) Der Spektralparameter <math>\lambda</math> ändert sich nicht mit der Zeit, d. h. <math>\frac{\partial \lambda}{\partial t} = 0</math>.

(ii) <math>\psi_t - M\psi</math> bleibt eine Lösung desselben linearen Problems <math>L\psi = \lambda \psi</math>.

(iii) <math>L_t + LM - ML</math> ist ein Multiplikationsoperator, d. h. kein Differentialoperator.

Aus Bedingung (ii) folgt:

<math>L (\psi_t - M\psi) = \lambda (\psi_t - M\psi),</math>

und mithilfe von <math>L\psi = \lambda \psi</math> und <math>\lambda_t = 0</math> erhält man

<math> L \psi_t - L M \psi = \lambda \psi_t - M (\lambda \psi) = \partial_t (\lambda \psi) - ML\psi = \partial_t (L\psi) - ML\psi = L_t \psi + L \psi_t - ML \psi, </math>

wobei <math>\partial_t</math> den partiellen Differentialoperator nach <math>t</math> bezeichnet. Nach Kürzen des Terms <math>L\psi_t</math> auf beiden Seiten erhält man:

Da <math>L_t + LM - ML</math> ein Multiplikationsoperator ist, folgt

also die klassische Lax-Gleichung <math>L_t = [M, L]</math>.

Literatur[Bearbeiten]

Goriely, Alain. Integrability and Nonintegrability of Dynamical Systems. Singapur, World Scientific, 2001.

Einzelnachweise[Bearbeiten]