Lippmann-Schwinger-Gleichung

Die Lippmann-Schwinger-Gleichung (nach Bernard Lippmann und Julian Schwinger) verwendet man in der quantenmechanischen Störungstheorie und speziell in der Streutheorie.<ref>Bernard Lippmann und Julian Schwinger: Variational principles for scattering processes. I. In: Physical Review. Band 79, Nr. 3, 1950, S. 469–480, doi:10.1103/PhysRev.79.469. Gleichung 1.84 auf S. 475.</ref> Sie hat die Form einer Integralgleichung für die gesuchte Wellenfunktion <math>\psi</math> und ist eine Alternative zur direkten Lösung der Schrödingergleichung, wobei die Randbedingungen in der Definition der verwendeten Greenschen Funktionen stecken.

In der quantenmechanischen Störungstheorie[Bearbeiten]

Allgemein wird in der Störungstheorie der Hamiltonoperator <math>H</math> zerlegt in den „freien Hamiltonoperator“ <math>H_0</math>, zu dem eine Lösung bekannt ist, und einen als kleine Störung behandelten Teil (Potential) <math>V</math>:

Eigenfunktionen <math>|\phi_0 \rangle</math> des freien Hamiltonoperators erfüllen die Gleichung

<math> \left( E - H_0 \right) |\phi_0 \rangle = 0</math>

wobei <math>E</math> der zugehörige Eigenwert ist.

Als „freie Greensche Funktion“ bezeichnet man einen Operator <math>G_0</math>, für den gilt:

<math> G_0 \left( E - H_0 \right) |\phi_0 \rangle = |\phi_0 \rangle</math>

Dieser Operator ist also gewissermaßen eine Umkehrfunktion zum freien Hamiltonoperator. Eine mathematisch korrekte Darstellung erfordert die Betrachtung von <math>G_0</math> als Distribution.

Nun werden in analoger Weise die unbekannten Eigenfunktionen <math>|\psi \rangle</math> des vollständigen Hamiltonoperators sowie seine Greensche Funktion <math>G</math> definiert.

Damit gilt die Lippmann-Schwinger-Gleichung:

<math style = "border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em">|\psi \rangle = |\phi _0\rangle + G_0 V |\psi \rangle</math>

Diese Gleichung wird üblicherweise iterativ gelöst, wobei die Beschränkung auf die erste nichttriviale Ordnung als Bornsche Näherung bezeichnet wird.

In der Streutheorie[Bearbeiten]

Die Lippmann-Schwinger-Gleichung findet entsprechend vor allem in der Streutheorie Anwendung. Hierbei wird berechnet, wie sich die Wellenfunktion eines Teilchens bei der Streuung an einem Potential V ändert, wobei als freier Hamiltonoperator der kinetische Anteil für ein freies Teilchen verwendet wird:

<math>\hat H_0 = \frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m}</math>

mit dem Impulsoperator <math>\hat \mathbf{p}</math>.

Zur Herleitung der Lippmann-Schwinger-Gleichung für ein stationäres Streuproblem geht man von der Schrödingergleichung aus:

<math>\left[ - \frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(\vec{r}) \right] \psi_k = E_k \psi_k</math>

mit

der kinetischen Energie <math> E_{k} = \frac{\hbar^2 \vec{k}^2}{2 m} </math> eines freien Teilchens
seiner Einschußrichtung <math> \frac{\vec{k}}{k}</math>
seiner Streurichtung <math>\frac{\vec{k^{\prime}}}{k} = \frac{\vec{r}}{r} = \vec{n}</math>

wobei zu beachten ist, dass es sich um eine elastische Streuung handelt, d. h. der Betrag des Impulsvektors wird nicht geändert: <math>k^{\prime} = k</math> und für alle Vektoren <math>|\vec{v}| = v</math>.

Umgestellt und mit der Forderung <math>E \ge 0</math> ergibt sich:

<math>\left[ \Delta + k^2 \right] \psi_k= \frac{2m}{\hbar^2}V(\vec{r})\psi_k =: U(\vec r) \psi_k</math>

Dies lässt sich mit der Methode der Greenschen Funktionen lösen:

<math>\begin{align}

\left[ \Delta + k^2 \right] \phi_0 = 0 \quad & \Rightarrow \quad \phi_0 = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}e^{i\vec{k}\vec{r}}\\ \left[ \Delta + k^2 \right] G(\vec{r}) = \delta{(\vec{r})} \quad & \Rightarrow \quad G(\vec{r}) = -\frac{1}{4\pi} \frac{e^{ikr}}{r}\\ \psi_k(\vec{r}) = \phi_0 & + \int d^3\vec{r}^{\prime} G(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}) \cdot U(\vec{r}^{\prime}) \psi_k(\vec{r}^{\prime})\\ \end{align}</math>

Daraus ergibt sich die Lippmann-Schwinger-Gleichung der Streutheorie:

<math style="border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em"> \psi_k(\vec{r}) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}} - \frac{2m}{4\pi\hbar^2}\int d^3\vec{r}^{\prime} \cdot \frac{e^{ik|\vec{r} - \vec{r}^{\prime}|}} {|\vec{r} - \vec{r}^{\prime}|} V(\vec{r}^{\prime}) \psi_k(\vec{r}^{\prime})</math>

Hier wurde explizit die Ortsdarstellung gewählt.

Diese Gleichung lässt sich iterativ lösen, indem man auf der rechten Seite <math>\psi_k(\vec r)</math> durch die bis dahin gewonnene Lösung ersetzt und als Startwert der Iteration etwa wählt:

Die erste Iteration

<math> \psi_k^{(1)}(\vec{r}) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}e^{i\vec{k}\vec{r}} - \frac{2m}{4\pi\hbar^2}\int d^3\vec{r}^{\prime} \cdot \frac{e^{ik|\vec{r} - \vec{r}^{\prime}|}} {|\vec{r} - \vec{r}^{\prime}|} V(\vec{r}^{\prime}) \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}e^{i\vec{k}\vec{r}^{\prime}}</math>

ist dann die bereits oben erwähnte Bornsche Näherung in Ortsdarstellung.

Einzelnachweise[Bearbeiten]