Modell harter Kugeln

Harte Kugeln sind ein häufig verwendetes Teilchenmodell für Fluide und Festkörper in der statistischen Mechanik. Sie sind definiert als nicht-durchdringbare Kugeln im Raum, die sich nicht überlappen können, und modellieren die starke Abstoßung, die Atome und kugelförmige Moleküle auf sehr kleinen Distanzen zueinander erfahren. Untersucht werden harte Kugeln mittels analytischer Methoden, durch Simulation molekularer Dynamik sowie die experimentelle Untersuchung von bestimmten Kolloid-Modellsystemen. Siehe auch Hard-core-Prozess.

Formale Definition

Harte Kugeln mit Durchmesser <math>\sigma</math> sind Teilchen mit dem folgenden paarweisen Wechselwirkungspotential:

<math>V\left(\mathbf{r}_{1},\mathbf{r}_{2}\right)=\begin{cases}

0 & \left|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right|\geq\sigma\\ \infty & \left|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right|<\sigma \end{cases}</math> wobei <math>\mathbf{r}_1</math> und <math>\mathbf{r}_2</math> die Positionen der beiden Teilchen beschreiben.

Harte-Kugeln-Modell für ein Gas

Die ersten drei Virialkoeffizienten für harte Kugeln können analytisch ermittelt werden:

<math>\frac{B_2}{v_0}</math>	=	<math>4{\frac{}{}}</math>
<math>\frac{B_3}{{v_0}^2}</math>	=	<math>10{\frac{}{}}</math>
<math>\frac{B_4}{{v_0}^3}</math>	=	<math>-\frac{712}{35}+\frac{219 \sqrt{2}}{35 \pi}+\frac{4131}{35 \pi} \arccos{\frac{1}{\sqrt{3}}}\approx 18{,}365</math>

Koeffizienten höherer Ordnung können durch Monte-Carlo-Integration numerisch gefunden werden. Beispielhaft seien die folgenden aufgelistet:

<math>\frac{B_5}{{v_0}^4}</math>	=	<math>28{,}24 \pm 0{,}08</math>
<math>\frac{B_6}{{v_0}^5}</math>	=	<math>39{,}5 \pm 0{,}4</math>
<math>\frac{B_7}{{v_0}^6}</math>	=	<math>56{,}5 \pm 1{,}6</math>

Eine Tabelle von Virialkoeffizienten für bis zu acht Dimensionen können im SklogWiki<ref>Hard sphere: virial coefficients page. In: SklogWiki – a wiki for statistical mechanics and thermodynamics. 20. Mai 2014, abgerufen am 20. Juli 2015 (). </ref> gefunden werden.

Das Harte-Kugeln-System bildet einen Flüssig-Fest-Phasenübergang zwischen den Packungsdichten für Gefrieren <math>\eta_\mathrm{f}\approx 0{,}494</math> und Schmelzen <math>\eta_\mathrm{m}\approx 0{,}545</math>. Der Druck divergiert bei der dichtesten Zufallspackung <math>\eta_\mathrm{rcp}\approx 0{,}644</math> für den metastabilen Flüssigkeitszweig und bei dichtesten Kugelpackung <math>\eta_\mathrm{cp}=\sqrt{2}\pi/6 \approx 0{,}74048</math> für den stabilen festen Zweig.

Harte-Kugeln-Modell für eine Flüssigkeit

Der Strukturfaktor für eine Flüssigkeit aus harten Kugeln kann über die Percus-Yevick-Näherung berechnet werden.

Datei:Hard-sphere phase diagram pressure packing fraction.svg

Phasendiagramm eines Systems harter Kugeln (Durchgezogene Line – stabiler Ast, gestrichelte Line – metastabiler Ast): Druck <math>P</math> als Funktion der Packungsdichte (Kristallographie) <math>\eta</math>

Herleitung der Boltzmann-Gleichung

Die Boltzmann-Gleichung ergibt sich aus dem Modell harter Kugeln im Boltzmann-Grad-Grenzwert. 1975 wurde dies für ausreichend kurze Zeiten von Lanford erstmals gezeigt und 2026 gelang schließlich der Beweis für lange Zeiten durch Yu Deng, Hani Zaher und Xiao Ma.<ref>Yu deng, Hani Zaher und Xiao Ma: Long time derivation of Boltzmann equation from hard sphere dynamics. In: Annals of Mathematics. 2026, arxiv:2408.07818 [abs] (princeton.edu). </ref><ref>Fraydoun Rezakhanlou. "Boltzmann-Grad Limit for Hard Sphere Model", May 9, 2025</ref>

Verallgemeinerungen

Nicht nur Kugeln können mit einem harten Wechselwirkungspotential ausgestattet werden, sondern auch Körper beliebiger Geometrie.

Literatur

• J. P. Hansen, I. R. McDonald: Theory of Simple Liquids. 4. Auflage, Academic Press, London 2013, ISBN 978-0-12-387032-2.

Weblinks

• Hard sphere model. SklogWiki (zum Harte-Kugeln-Modell).

Einzelnachweise

<references />