Modulationsraum

In einem Modulationsraum wird die „Größe“ einer Funktion anhand ihres Spektrogramms bestimmt. Anschaulich wird das Spektrogramm in gleich große Abschnitte unterteilt, deren Größe wiederum anhand deren Spektrogramme bestimmt wird; bei einer ähnlichen Beschreibung der Besov-Räume ist die Größe dieser Abschnitte exponentiell anwachsend. Bei Modulationsräumen handelt es sich um eine Familie von Banachräumen,<ref>Karlheinz Gröchenig: Foundations of Time-Frequency Analysis. Birkhäuser, Boston 2001, ISBN 978-0817640224</ref><ref>Modulation Spaces: Looking Back and Ahead (Memento vom 24. Dezember 2012 im Internet Archive)</ref> in denen eine Funktion mittels ihrer Kurzzeit-Fourier-Transformation mit einer Testfunktion in einem Schwartz-Raum gemessen wird. Ursprünglich von Hans Georg Feichtinger untersucht, erwiesen sich diese Räume als nützlicher Rahmen für die Zeit-Frequenz-Analyse.

Definition

Für <math> 1\leq p,q \leq \infty </math>, eine nicht-negative Funktion <math> m(x,\omega) </math> auf <math>\mathbb{R}^{2d}</math> und eine Testfunktion <math> g \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d) </math> ist der Modulationsraum <math> M^{p,q}_m(\mathbb{R}^d) </math> durch

<math> M^{p,q}_m(\mathbb{R}^d) = \left\{ f\in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^d)\ :\ \left(\int_{\mathbb{R}^d}\left(\int_{\mathbb{R}^d} |V_gf(x,\omega)|^p m(x,\omega)^p dx\right)^{q/p} d\omega\right)^{1/q} < \infty\right\}.</math>

definiert.

Dabei bedeutet <math> V_gf </math> die Kurzzeit-Fourier-Transformation von <math> f </math> in Hinblick auf <math> g </math> bei <math> (x,\omega) </math> ausgewertet. Das heißt, <math> f\in M^{p,q}_m(\mathbb{R}^d) </math> ist äquivalent zu <math> V_gf\in L^{p,q}_m(\mathbb{R}^{2d}) </math>. Der Raum <math> M^{p,q}_m(\mathbb{R}^d) </math> hängt nicht von <math> g \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d) </math> ab. Die kanonische Wahl für die Testfunktion ist die Gauß-Funktion.

Feichtinger-Algebra

Der Modulationsraum mit <math> p=q=1 </math> und <math> m(x,\omega) = 1 </math>, also <math> M^{1,1}_m(\mathbb{R}^d) = M^1(\mathbb{R}^d)</math> wird auch als Feichtinger-Algebra bezeichnet und wurde von Feichtinger ursprünglich <math> S_0 </math> genannt,<ref>H. Feichtinger: On a new Segal algebra. Monatsh. Math. 92, S. 269–289, 1981, (online (Memento vom 25. September 2006 im Internet Archive)).</ref> weil es sich um die kleinste Segal-Algebra handelt, die unter Zeit-Frequenzverschiebungen, also kombinierten Translations- und Modulationsoperatoren invariant ist. <math> M^1(\mathbb{R}^d)</math> ist ein in <math> L^1(\mathbb{R}^d) \cap C_0(\mathbb{R}^d) </math> eingebetteter Banachraum und unter der Fouriertransformation invariant. Aus diesem und anderen Gründen ist <math> M^1(\mathbb{R}^d)</math> ein naheliegender Raum für Testfunktionen in der Zeit-Frequenz-Analyse.

Einzelnachweise

<references />