Monoid-Objekt

Monoid-Objekt ist in der Kategorientheorie eine Verallgemeinerung des Begriffs des Monoids.

Definition

Es sei <math>\mathcal C</math> eine monoidale Kategorie mit dem Funktor <math>{-}\otimes{-}\colon \mathcal C\times \mathcal C\to \mathcal C</math>, dem Einheitsobjekt <math>I\in|\mathcal C|</math>, der natürlichen Transformation <math>\alpha</math> mit den Komponenten <math>\alpha_{A,B,C}\colon (A\otimes B)\otimes C \to A\otimes (B\otimes C)</math>, sowie den natürlichen Transformationen <math>\lambda\colon (I\otimes {-}) \to \mathrm{Id}_{\mathcal C}</math> und <math>\rho \colon ({-}\otimes I) \to \mathrm{Id}_{\mathcal C}</math> gegeben.

Ein Monoid-Objekt ist nun ein Objekt <math>M\in|\mathcal C|</math> zusammen mit zwei Pfeilen <math>\eta\colon I\to M</math> und <math>\mu\colon M\otimes M \to M</math>, für die die Gleichungen

• <math>\mu\circ (\mu\otimes M) = \mu \circ (M\otimes \mu) \circ \alpha_{M,M,M}\ \colon (M\otimes M)\otimes M \to M</math>,
• <math>\mu \circ (M\otimes \eta) = \rho_M\ \colon M\otimes I\to M</math> und
• <math>\mu \circ (\eta\otimes M) = \lambda_M\ \colon I\otimes M\to M</math>

gelten.

Beispiele

• Monoide sind Monoidobjekte in der Kategorie der Mengen, welche mit dem kartesischen Produkt monoidal ist.
• Gruppenobjekte sind Monoidobjekte.
• In der Kategorie der Monoide (monoidal durch direkte Produkte) sind Monoid-Objekte kommutative Monoide.
• Ist <math>\mathcal C</math> eine beliebige Kategorie, so ist die Funktorkategorie <math>\mathcal C^{\mathcal C}</math> mit der Funktorkomposition monoidal. Monoid-Objekte in <math>\mathcal C^{\mathcal C}</math> sind Monaden.