Numerische Funktion

Eine numerische Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, deren Funktionswerte erweiterte reelle Zahlen sind, also reelle Zahlen zuzüglich <math>-\infty</math> und <math>+\infty</math>.

Betrachtet man eine Folge reeller Funktionen, so sind deren Supremum und deren Infimum im Allgemeinen nicht reell. In der Maßtheorie betrachtet man daher numerische Funktionen.<ref>Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. ISBN 978-3-642-21026-6, S. 91.</ref>

Definition

Sei <math>\Omega\ne\emptyset</math> und bezeichne <math>\bar{\R} = \R \cup \{-\infty,\infty\}</math> die Zweipunktkompaktifizierung der Menge der reellen Zahlen. Eine Funktion

<math> f \colon \Omega \to \bar{\R} </math>

heißt numerische Funktion.

Bemerkungen

Jede reellwertige Funktion <math> f \colon \Omega \to \R </math> ist eine numerische Funktion, ebenso die erweiterten Funktionen.

Beispiele

• Die konstante Funktion <math> f \colon \Omega \to \bar{\R} </math> mit <math> f(\omega) \colon= c </math>, wobei <math> c \in \bar{\R}</math> also auch als <math>+\infty</math> bzw. <math>-\infty</math> definiert werden kann.
• Die Funktion

<math>f\colon\R\rightarrow \bar{\R}</math>, <math>f(x) = \begin{cases}

 \frac{1}{x^2}, & \text{falls }x \not = 0\\
 +\infty, & \text{falls }x=0 \end{cases}</math>

ist eine numerische Funktion. Mit der üblichen Definition der Konvergenz gegen ∞ ist sie sogar stetig.

Literatur

• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-21026-6, doi:10.1007/978-3-642-21026-6. 

Einzelnachweise

<references />