Obstruktionstheorie

In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, beschreibt die Obstruktionstheorie oder Hindernistheorie die Hindernisse für die Existenz von Schnitten in Faserbündeln.

Obstruktionskozykel

Sei <math>p \colon E\to B</math> eine Faserung über einem Simplizialkomplex <math>B</math> mit Faser <math>F</math>. Wir nehmen an, dass bereits ein Schnitt <math>s_n \colon B_n\rightarrow E</math> über dem <math>n</math>-Skelett von <math>B</math> konstruiert wurde und fragen, ob sich dieser Schnitt auf das <math>(n+1)</math>-Skelett fortsetzen lässt.

Für jeden <math>(n+1)</math>-Simplex <math>\sigma\in B_{n+1}</math> ist <math>p^{-1}(\sigma)</math> homotopieäquivalent zu <math>F</math> und die Abbildung

<math>s_n\mid_{\partial\sigma} \colon S^n\simeq \partial\sigma\to p^{-1}(\sigma)\simeq F</math>

definiert ein Element der <math>n</math>-ten Homotopiegruppe der Faser

<math>o_{n+1}(\sigma)\in\pi_n(F)</math>.

Offensichtlich kann der gegebene Schnitt <math>s_n\mid_{\partial\sigma} \colon \partial\sigma\to E</math> nur dann auf <math>\sigma</math> fortgesetzt werden, wenn

<math>o_{n+1}(\sigma)=0\in\pi_n(F)</math>.

Man kann zeigen, dass <math>o_{n+1} \colon C_{n+1}(B)\to\pi_n(F)</math> ein Kozykel mit lokalen Koeffizienten ist, er wird als Obstruktionskozykel bezeichnet. Seine Kohomologieklasse (in der Kohomologie mit lokalen Koeffizienten)

<math>o_{n+1}\in H^{n+1}(B,\pi_n(F))</math>

heißt <math>(n+1)</math>-te Obstruktionsklasse. Sie hängt zwar vom gewählten Schnitt <math>s_n</math> ab, man kann aber zeigen, dass sie tatsächlich nur von seiner Einschränkung auf das <math>(n-1)</math>-Skelett abhängig ist.

Schnitte in Vektorbündeln

Die wichtigste Anwendung der Obstruktionstheorie ist auf die Frage nach der Existenz von <math>k</math> linear unabhängigen Schnitten in einem Vektorbündel vom Rang <math>n</math>, für <math>1\le k\le n</math>, oder äquivalent nach der Existenz eines Schnittes im <math>k</math>-Rahmenbündel

<math>V_k(\R^n)\to V_k(E)\to B</math>,

dessen Faser die Stiefel-Mannigfaltigkeit <math>V_k(\R^n)</math> ist.

Wegen <math>\pi_i(V_k(\R^n))=0</math> für <math>0\le i\le n-k-1</math> kann man einen solchen Schnitt auf dem <math>(n-k)</math>-Skelett <math>B_{n-k}</math> konstruieren, das Hindernis für die Fortsetzung auf das <math>(n-k+1)</math>-Skelett ist dann die oben definierte Obstruktionsklasse

<math>o_{n-k+1}(E)\in H^{n-k+1}(B,\pi_{n-k}(V_k(\R^n))).</math>

Stiefel-Whitney-Klassen

Die Stiefel-Whitney-Klassen wurden von Stiefel und Whitney ursprünglich als Obstruktionsklassen definiert. Die Homotopiegruppe <math>\pi_{n-k}(V_k(\R^n))</math> ist entweder isomorph zu <math>\Z/2\Z</math> (falls <math>k>1</math> und <math>n-k+1</math> gerade ist) oder sonst unendlich zyklisch, kann also in jedem Fall surjektiv auf <math>\Z/2\Z</math> abgebildet werden. Das Bild der Obstruktionsklasse unter dieser Abbildung ist die Stiefel-Whitney-Klasse

<math>w_{n-k+1}(E)\in H^{n-k+1}(B,\Z/2\Z)</math>.

Euler-Klasse

Für <math>k=1</math> ist <math>\pi_{n-k}(V_k(\R^n))=\pi_{n-1}(V_1(\R^n))=\pi_{n-1}(S^n)=\Z</math>, für orientierbare Vektorbündel ist die Kohomologie mit lokalen Koeffizienten <math>H^n(B,\pi_{n-1}(V_1(\R^n)))</math> isomorph zu <math>H^n(B,\Z)</math> und die so definierte Obstruktionsklasse ist die Euler-Klasse

<math>e(E)\in H^n(B,\Z)</math>.

Analog kann man die Euler-Klasse für beliebige Sphärenbündel, also für Faserbündel mit Faser <math>S^{n-1}</math> definieren: wegen <math>\pi_i(S^{n-1})=0</math> für <math>0<i<n-1</math> gibt es einen Schnitt auf dem <math>(n-1)</math>-Skelett der Basis und die Obstruktion für die Fortsetzung auf das <math>n</math>-Skelett ist die Euler-Klasse

<math>e(E)\in H^n(B,\Z)</math>.

(Im Falle des Einheitssphärenbündels eines orientierten Vektorbündels stimmt die Euler-Klasse des Sphärenbündels mit der Euler-Klasse des Vektorbündels überein.)

Literatur

• Norman Steenrod: The Topology of Fibre Bundles. (= Princeton Mathematical Series. vol. 14). Princeton University Press, Princeton, N. J. 1951 (Kapitel 25, 35, 38)
• John W. Milnor, James D. Stasheff: Characteristic classes. In: Annals of Mathematics Studies. No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo 1974. (Kapitel 12)
• George W. Whitehead: Elements of Homotopy Theory. (= Graduate Texts in Mathematics. 61). Springer Verlag, 1978, ISBN 1-4612-6320-4.