Orbifaltigkeit

In der Topologie ist eine Orbifaltigkeit (englisch: Orbifold) eine Verallgemeinerung einer Mannigfaltigkeit.

Definition

Wie auch eine Mannigfaltigkeit wird eine Orbifaltigkeit durch lokale Eigenschaften beschrieben. Anders als eine Mannigfaltigkeit, die lokal eine offene Teilmenge des <math>\R^{n}</math> darstellt, wird eine Orbifaltigkeit lokal durch Quotienten von offenen Teilmengen des <math>\R^{n}</math> nach endlichen Gruppenoperationen beschrieben.

Eine <math>n</math>-dimensionale Orbifaltigkeit ist ein topologischer Hausdorff-Raum <math>X</math>, den man den unterliegenden Raum nennt, mit einer Überdeckung durch offene Teilmengen <math>U_{i}</math>, die abgeschlossen ist unter endlichen Schnitten. Für jedes <math>U_{i}</math> gibt es:

• eine offene Teilmenge <math>V_{i}</math> des <math>\R^{n}</math>, welche invariant unter einer treuen endlichen Gruppenoperation <math>\Gamma_{i}</math> ist;
• eine stetige Abbildung <math>\phi_{i}</math> von <math>V_{i}</math> nach <math>U_{i}</math>, die invariant unter <math>\Gamma_{i}</math> ist, auch Karte der Orbifaltigkeit genannt.

Eine Menge von Karten nennt man einen Atlas der Orbifaltigkeit, wenn folgendes gegeben ist:

• Für jede Inklusion <math>U_{i} \subset U_{j}</math> gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus <math>f_{ij}\colon \Gamma_{i} \rightarrow \Gamma_{j}</math> und einen <math>f_{ij}</math>-äquivarianten Homöomorphismus <math>\psi_{ij}</math> von <math>V_{i}</math> auf eine offene Teilmenge von <math>V_{j}</math> (auch als Verklebeabbildung bezeichnet), der mit den Karten kompatibel ist, d. h.:

<math>\phi_{j}\psi_{ij}= \phi_{i}</math>.

Die Verklebeabbildung soll bis auf Translation eindeutig sein, d. h., zu zwei Verklebeabbildungen <math>\psi_{ij},\psi_{ij}^\prime</math> soll es ein <math>g\in \Gamma_j</math> mit <math>\psi_{ij}^\prime=g\psi_{ij}</math> geben.

Beispiele

• Ein einfaches Beispiel ist eine Identifizierungstopologie für eine Gruppenwirkung mit Fixpunkten. Es sei die reelle Zahlengerade <math>\R</math> durch die Koordinate <math>x</math> parametrisiert. Nun entsteht durch die Identifizierung <math>x \sim -x</math> ein Fixpunkt in <math>x=0</math>. Der durch Identifizierung entstehende Quotientenraum ist das einfachste Beispiel einer Orbifaltigkeit.
• Orbifaltigkeiten, die durch Quotientenbildung aus der Wirkung einer endlichen Gruppe auf einer Mannigfaltigkeit entstehen, heißen gute Orbifaltigkeiten.

Anwendung in der Stringtheorie

Wenn die (10 + 1)-dimensionale heterotische Stringtheorie mit einer unterliegenden Mannigfaltigkeit kompaktifiziert wird, ist man meistens daran interessiert, wann man für <math>N=1</math> eine supersymmetrische Theorie in vier Dimensionen erhält. Sind einige Annahmen gegeben, ergibt sich, dass diese unterliegenden Mannigfaltigkeiten Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten sein müssen. Weil die explizite Metrik für fast alle Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten nicht bekannt ist, versucht man Orbifaltigkeiten zu konstruieren, die ein Limes der jeweiligen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten sind, wobei hier die Metrik explizit bekannt ist.

Literatur

• William Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds (Chapter 13), Princeton University lecture notes 1980. PDF
• Barton Zwiebach: A First Course in String Theory, Cambridge University Press 2004, ISBN 0521831431
• Katrin Becker, Melanie Becker und John H. Schwarz: String Theory and M-Theory, A modern introduction, Cambridge University Press 2006, ISBN 0521860695
• Suhyoung Choi: Geometric structures on orbifolds and holonomy representations. Geom. Dedicata 104 (2004), 161–199.