Pachner-Zug
Der Pachner-Zug ist ein Begriff aus der kombinatorischen Topologie, also dem Studium von Simplizialkomplexen und triangulierten Mannigfaltigkeiten innerhalb der Mathematik.
Ein Pachner-Zug ersetzt einige Simplizes in einer triangulierten <math>n</math>-Mannigfaltigkeit durch andere Simplizes, und zwar so, dass die Vereinigung aus den ersetzten und den ersetzenden Simplizes genau den Rand eines <math>(n+1)</math>-Simplex bildet.
Die Bedeutung der Pachner-Züge ergibt sich daraus, dass je zwei unterschiedliche Triangulierungen einer Mannigfaltigkeit durch eine Folge von Pachner-Zügen ineinander überführen lassen. Dies wurde 1991 von Pachner bewiesen.
Definition[Bearbeiten]
Im Folgenden bezeichne <math>\Delta^{n+1}</math> den <math>(n+1)</math>-dimensionalen Standardsimplex und <math>\partial\Delta^{n+1}</math> seinen Rand mit der Triangulierung durch Seitenflächen.
Gegeben sei eine <math>n</math>-dimensionale triangulierte Mannigfaltigkeit <math>M</math>. Ein Pachner-Zug besteht in der Auswahl eines zu einem <math>n</math>-dimensionalen Unterkomplex <math>C^\prime\subset \partial\Delta^{n+1}</math> isomorphen Unterkomplexes <math>C\subset M</math> und dem Bilden der triangulierten Mannigfaltigkeit
- <math>(M\setminus C)\cup_\phi(\partial\Delta^{n+1}\setminus C^\prime)</math>,
wobei die Verklebeabbildung <math>\phi\colon \partial C\to\partial C^\prime</math> die Einschränkung des gegebenen simplizialen Isomorphismus <math>C\to C^\prime</math> ist.
Man erhält mittels dieser Konstruktion wieder dieselbe Mannigfaltigkeit <math>M</math>, aber mit einer anderen als der ursprünglichen Triangulierung.
Beispiele[Bearbeiten]
Im Fall <math>3</math>-dimensionaler Mannigfaltigkeiten spricht man von <math>1</math>-<math>4</math>- und <math>2</math>-<math>3</math>-Pachner-Zügen. Ein <math>1</math>-<math>4</math>-Pachner-Zug ersetzt einen <math>3</math>-dimensionalen Simplex durch vier andere (oder umgekehrt), ein <math>2</math>-<math>3</math>-Pachner-Zug ersetzt zwei <math>3</math>-dimensionale Simplizes durch drei andere (oder umgekehrt).
Satz von Pachner[Bearbeiten]
Satz von Pachner: Wenn zwei triangulierte PL-Mannigfaltigkeiten (beliebiger Dimension) PL-homöomorph sind, dann gibt es eine Folge von Pachner-Zügen, die die eine Triangulierung in die andere überführt.
Insbesondere gilt für Flächen und <math>3</math>-dimensionale Mannigfaltigkeiten, dass je zwei Triangulierungen sich durch eine Folge von Pachner-Zügen ineinander überführen lassen. (Dies ergibt sich aus der Eindeutigkeit der PL-Struktur für Mannigfaltigkeiten der Dimensionen <math>2</math> und <math>3</math>.)
Literatur[Bearbeiten]
- Udo Pachner: Homeomorphic manifolds are equivalent by elementary shellings, European J. Combin. 12 (1991), 129–145.
- W. B. R. Lickorish: Simplicial moves on complexes and manifolds. Proceedings of the Kirbyfest (Berkeley, CA, 1998), 299–320 Geom. Topol. Monogr., 2, Geom. Topol. Publ., Coventry, 1999.