Panjer-Verteilung
| Panjer-Verteilung | |
| Verteilungsfunktion | |
| Parameter | a,b |
|---|---|
| Träger | <math>\N\cup\{0\}</math> |
| Erwartungswert | <math>\frac{a+b}{1-a}</math> |
| Varianz | <math>\frac{a+b}{(1-a)^2}</math> |
Die Panjer-Verteilung (nach Harry Panjer) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, welche die Verteilungen negative Binomialverteilung, Binomialverteilung (für <math>p \in [0,1)</math>) und Poisson-Verteilung in einer Verteilungsklasse vereint. Somit gehört sie zu den univariaten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie wird in der Versicherungsmathematik als Schadenzahlverteilung eingesetzt, da ihre spezielle rekursive Struktur einen effizienten Algorithmus zur Berechnung der Gesamtschadenverteilung eines Versicherungsportefeuilles ermöglicht.
Charakterisierung[Bearbeiten]
Die Klasse der Panjer-Verteilung besteht aus allen Verteilungen auf <math>\mathbb N_0</math>, für die es Konstanten <math>a, b \in \mathbb R</math> mit <math>a+b \ge 0</math> gibt, sodass folgende Rekursionsvorschrift für die Zähldichte <math>p_k = P(X=k)</math> gilt:
- <math>
p_k= \left(a + \frac{b}{k}\right) \cdot p_{k-1},~~k \ge 1. </math> Die Wahrscheinlichkeit <math>p_0</math> ergibt sich aus der Normierungsbedingung
- <math>
\sum_{k=0}^\infty p_k = 1. </math> Eine Folge <math>(p_k)_{k \in \N_0}</math> mit diesen Eigenschaften ist eine spezielle stochastische Folge, die als Panjer-Folge bezeichnet wird.<ref>Klaus D. Schmidt: Stochastische Folgen. Ein Proseminar mit Anwendungen in der Versicherungsmathematik (= Springer-Lehrbuch). Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2015, ISBN 978-3-662-46175-4, Kap. 8: Panjer-Folgen, S. 95–104, doi:10.1007/978-3-662-46176-1.</ref>
Wenn man die Rekursionsvorschrift nur für <math>k\geq 2</math> fordert und <math>p_0 = 0</math> setzt, erhält man die verschobene Panjer-Verteilung, welche bspw. die logarithmische Verteilung enthält.
Eigenschaften[Bearbeiten]
Erwartungswert und Varianz der Panjer-Verteilung sind gegeben durch
- <math>
E(X) = \frac{a+b}{1-a},~~\operatorname{Var}(X) = \frac{a+b}{(1-a)^2}. </math>
Es ist
- <math>
\frac{\operatorname{Var}(X)}{E(X)} = \frac{1}{1-a}, </math> woraus folgt, dass
- <math>
\operatorname{Var}(X) > E(X) ~~\iff a > 0. </math>
- <math>
\operatorname{Var}(X) = E(X) ~~\iff a = 0. </math>
- <math>
\operatorname{Var}(X) < E(X) ~~\iff a < 0. </math>
Spezialfälle[Bearbeiten]
Jede Panjer-Verteilung ist eine der drei folgenden Verteilungen:<ref>Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter: Schadenversicherungsmathematik. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2023, ISBN 978-3-662-68623-2.</ref>
| Verteilung | <math> P[N=k] </math> | <math> a </math> | <math> b </math> | <math> p_0 </math> | <math> W_N(x) </math> | <math> E[N] </math> | <math> \operatorname{Var}(N) </math> |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Binomial | <math>\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} </math> | <math> \frac{p}{p-1} </math> | <math> \frac{p(n+1)}{1-p} </math> | <math> (1-p)^n </math> | <math> (px+(1-p))^{n} </math> | <math> np </math> | <math> np(1-p) </math> |
| Poisson | <math> e^{-\lambda}\frac{ \lambda^k}{k!} </math> | <math> 0 </math> | <math> \lambda </math> | <math> e^{- \lambda} </math> | <math> e^{\lambda(s-1)} </math> | <math> \lambda </math> | <math> \lambda </math> |
| Negativ Binomial | <math> \frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,(1-p)^k </math> | <math> 1-p </math> | <math> (1-p)(r-1) </math> | <math> p^r </math> | <math> \left( \frac{p}{1 - x(1-p)}\right) ^r </math> | <math> \frac{r(1-p)}{p} </math> | <math> \frac{r(1-p)}{p^2} </math> |
Mit <math>a=0,~b=\lambda,~p_0=e^{-\lambda}</math> erhält man die Poisson-Verteilung. In diesem Fall ist also <math>\operatorname{Var}(X) = E(X)</math>.
Mit <math>a=-\frac{p}{1-p},~b=(n+1) \cdot \frac{p}{1-p},~p_0=(1-p)^n</math> erhält man die Binomialverteilung. In diesem Fall ist <math>\operatorname{Var}(X) < E(X)</math>.
Mit <math>a=1-p,~b=(r-1) \cdot (1-p),~p_0=p^r</math> erhält man die Negative Binomialverteilung (Zählung der Misserfolge). Hier ist nun <math>\operatorname{Var}(X) > E(X)</math>.
Siehe auch[Bearbeiten]
Literatur[Bearbeiten]
- Thomas Mack: Schadenversicherungsmathematik. 2. Auflage, Verlag Versicherungswirtschaft 2002, ISBN 3-88487-957-X.
- Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter: Schadenversicherungsmathematik. 2. Auflage, Springer Spektrum Berlin / Heidelberg, 2023, ISBN 978-3-662-68623-2.
Einzelnachweise[Bearbeiten]
<references />