Poisson-Approximation

Datei:Binomial versus poisson.svg

Vergleich der Poisson-Verteilung (schwarze Linien) und der Binomialverteilung mit <math>n=10</math> (rote Kreise), <math>n=20</math> (blaue Kreise),<math>n=1000</math> (grüne Kreise). Alle Verteilungen haben einen Erwartungswert von 5. Die horizontale Achse zeigt die Anzahl der eingetretenen Ereignisse <math>k</math>. Je größer <math>n</math> wird, umso besser ist die Approximation der Binomialverteilung durch die Poisson-Verteilung.

Die Poisson-Approximation ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Möglichkeit, die Binomialverteilung und die verallgemeinerte Binomialverteilung für große Stichproben und kleine Wahrscheinlichkeiten durch die Poisson-Verteilung anzunähern. Durch den Grenzübergang nach unendlich erhält man dann die Konvergenz in Verteilung der beiden Binomialverteilungen gegen die Poisson-Verteilung.

Formulierung

Ist <math>(S_n)</math> eine Folge binomialverteilter Zufallsvariablen mit Parametern <math>n \in \N</math> und <math>p_n</math>, sodass für die Erwartungswerte <math>E(S_n) = n \cdot p_n \to \lambda > 0</math> für <math>n \to \infty</math> gilt, dann folgt

<math>P(S_n = k) =B_{n,p_n}( \{ k \} ) \to \, \frac{\lambda^k}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda}= P_\lambda (\{ k \})\quad</math>

für <math>n\to\infty</math>.

Beweis-Skizze

Der Wert einer Poisson-verteilten Zufallsvariable an der Stelle <math>k</math> ist der Grenzwert <math>n\to\infty</math> einer Binomialverteilung mit <math>p=\tfrac{\lambda}{n}</math> an der Stelle <math>k</math>:

<math>\begin{align}

\lim_{n\to\infty}P(S_n=k) &= \lim_{n\to\infty} \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k} \\

& =\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^{k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}\\
& =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\lambda^{k}}{k!}\right)\left(\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{n^{k}}\right)\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}\\
& =\frac{\lambda^{k}}{k!}\cdot\lim_{n\to\infty}\underbrace{\left(\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\right)}_{\to1}\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}}_{\to e^{-\lambda}}\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to1}\\
& =\frac{\lambda^{k}\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!}.

\end{align}</math>

Bei großen Stichproben und kleinem <math>p</math> lässt sich folglich die Binomialverteilung gut durch die Poisson-Verteilung approximieren.

Die Darstellung als Grenzwert der Binomialverteilung erlaubt eine alternative Berechnung von Erwartungswert und Varianz der Poisson-Verteilung. Seien <math>X_1,\dotsc,X_n \,n</math> unabhängige bernoulliverteilte Zufallsvariablen mit <math>\,p=\lambda/n</math> und sei <math>S_n:=X_1+\dotsb+X_n</math>. Für <math>n\to\infty</math> gilt <math>S_n\sim P_{\lambda}</math> und

<math>\begin{align}

\operatorname{E}(S_n)&=\operatorname{E}(X_1)+\dotsb+\operatorname{E}(X_n)=\underbrace{\frac{\lambda}{n}+\dotsb+\frac{\lambda}{n}}_{n\, \mathrm{mal}}=\lambda\to\lambda\\ \operatorname{Var}(S_n)&=\operatorname{Var}(X_1)+\dotsb+\operatorname{Var}(X_n)\\ &=\underbrace{\frac{\lambda}{n}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)+\dotsb+\frac{\lambda}{n}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)}_{n\, \mathrm{mal}}=\lambda\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)\to\lambda. \end{align} </math>

Güte der Approximation

Vorlage:Hinweisbaustein Für die Fehlerabschätzung gilt

<math>\sum_{k\geq 0} \left| B_{n,p}(\{k\})-P_{n \cdot p}(\{k\})\right| \leq 2np^2</math>.

Die Approximation einer Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen (bzw. einer binomialverteilten Zufallsvariable) ist also insbesondere für kleine <math>p</math> gut. Als Faustregel gilt, dass die Approximation gut ist, wenn <math>n\geq 50</math> und <math>p\leq 0{,}05</math> gilt. Ist <math>p \approx 0{,}5</math>, so ist die Normal-Approximation besser geeignet.

Le Cams Verallgemeinerung

Allgemeiner lässt sich Folgendes zeigen: Seien <math>X_1, \dotsc , X_n</math> stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit <math>P(X_i=1)=p_i=1-P(X_i=0)</math> (jede Zufallsvariable ist also Bernoulli-verteilt), dann ist

<math>S:= \sum_{i=1}^nX_i</math>

verallgemeinert binomialverteilt. Definiere

<math>\lambda :=\sum_{i=1}^n p_i</math>,

dann gilt

<math>\sum_{k=0}^\infty \left| P(S=k)-\exp(-\lambda) \frac{\lambda^k}{k!}\right| \leq 2 \sum_{i=1}^n p_i^2</math>.

Im Englischen ist dieses Resultat als „Ungleichung von Le Cam“ (Le Cam’s Inequality) bekannt.<ref>Eric W. Weisstein: Le Cam's Inequality. In: Mathworld. Abgerufen am 18. November 2023. </ref>

Gilt <math>p_i=p_j</math> für alle <math>1 \leq i,j \leq n</math>, so ist <math>S</math> binomialverteilt und das obige Ergebnis folgt sofort.

Beispiel

Ein Individuum einer Spezies zeugt <math>n=1000</math> Nachkommen, die alle stochastisch unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>p_i=0{,}001</math> das geschlechtsreife Alter erreichen. Interessiert ist man nun an der Wahrscheinlichkeit, dass zwei oder mehr Nachkommen das geschlechtsreife Alter erreichen.

Exakte Lösung

Sei <math>X_i =1</math> die Zufallsvariable „Der <math>i</math>-te Nachkomme erreicht das geschlechtsreife Alter“. Es gilt <math>P(X_i=1)=p_i</math> und <math>P(X_i=0)=1-p_i</math> für alle <math>i</math>. Dann ist die Anzahl der überlebenden Nachkommen <math>S:= \sum_{i=1}^n X_i</math> aufgrund der stochastischen Unabhängigkeit <math>B_{n,p}</math>-verteilt. Zur Modellierung definiert man den Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega, \Sigma, P)</math> mit der Ergebnismenge <math>\Omega := \{0, \dotsc, n\}</math>, der Anzahl der überlebenden geschlechtsreifen Nachkommen. Die σ-Algebra ist dann kanonisch die Potenzmenge der Ergebnismenge: <math>\Sigma := \mathcal P (\Omega)</math> und als Wahrscheinlichkeitsverteilung die Binomialverteilung: <math>P(\{k\}):= B_{n,p}(\{k\})</math>. Gesucht ist <math>P(S \geq 2)=1-P(S=1)-P(S=0) =1-B_{1000;\,0{,}001}(\{0\})-B_{1000;\,0{,}001}(\{1\})\approx 0{,}2642</math>. Es erreichen also mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 26 % mindestens zwei Individuen das geschlechtsreife Alter.

Approximierte Lösung

Da <math>n</math> ausreichend groß und <math>p</math> ausreichend klein ist, lässt sich die Binomialverteilung genügend genau mittels der Poisson-Verteilung annähern. Diesmal ist der Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega, \Sigma, P)</math> definiert mittels des Ergebnisraums <math>\Omega:= \mathbb{N}</math>, der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\Sigma:= \mathcal P (\mathbb N )</math> und der Poisson-Verteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P(\{k\}):= P_\lambda (\{k\}) = \frac{\lambda^k}{k!}\, \mathrm{e}^{-\lambda}</math> mit dem Parameter <math>\lambda=n \cdot p =1</math>. Man beachte hier, dass die beiden modellierten Wahrscheinlichkeitsräume unterschiedlich sind, da die Poisson-Verteilung auf einem endlichen Ergebnisraum keine Wahrscheinlichkeitsverteilung definiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Individuen das geschlechtsreife Alter erreichen, ist also <math>P(S \geq 2) \approx 1- P_\lambda(\{1\})-P_\lambda(\{0\})=1- \frac{\lambda^1}{1!}e^{-1}-\frac{\lambda^0}{0!}e^{-1}\approx 0{,}2642</math>.

Bis auf vier Nachkommastellen stimmt also die exakte Lösung mit der Poisson-Approximation überein.

Siehe auch

• Zwei-Drittel-Gesetz (auch Gesetz der kleinen Zahlen genannt)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Poisson theorem. In: MathWorld (englisch).

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 
• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5, doi:10.1007/978-3-663-09885-0. 
• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274. 

Einzelnachweise

<references />