Projektive Gerade
In der Mathematik, insbesondere der projektiven Geometrie, ist die projektive Gerade ein eindimensionaler projektiver Raum.
Die projektive Gerade entsteht, wenn man alle Geraden durch den Ursprung des Vektorraumes <math>K^2</math> betrachtet und jede Gerade als ein Punkt auffasst. Die Punkte der projektiven Geraden sind von der Form
- <math>p_1=\{\lambda(x_1,y_1)\mid \lambda\in K\setminus\{0\}\}</math>
wobei <math>(x_1,y_1)\in K^2\setminus\{(0,0)\}</math>.
Definition[Bearbeiten]
Es sei <math>K</math> ein Körper, zum Beispiel der Körper der reellen oder komplexen Zahlen oder ein endlicher Körper. Es sei <math>V=K^2</math> der (bis auf Isomorphie eindeutige) zweidimensionale <math>K</math>-Vektorraum. Die projektive Gerade <math>P^1K</math> ist die Menge der eindimensionalen Untervektorräume von <math>V</math>.
Mit anderen Worten: die projektive Gerade ist der Quotientenraum
- <math>P^1K=(K^2\setminus\left\{0\right\})/\sim</math>
bezüglich der Äquivalenzrelation
- <math>(x_1,y_1)\sim(x_2,y_2)\Longleftrightarrow \exists \lambda\in K\setminus\{0\}: x_1=\lambda x_2, y_1=\lambda y_2</math>.
Diese Äquivalenzrelation identifiziert zwei Punkte genau dann, wenn sie im selben eindimensionalen Untervektorraum, also auf derselben Gerade durch den Nullpunkt liegen.
Homogene Koordinaten[Bearbeiten]
Jeder Punkt der projektiven Gerade kann in homogenen Koordinaten als
- <math>\left[x:y\right]</math>
mit <math>x,y\in K, (x,y)\not=(0,0)</math> dargestellt werden, wobei <math>\left[x:y\right]=\left[\lambda x:\lambda y\right]</math> für alle <math>\lambda\in K \setminus \{0\}</math> gilt.
Zahlengerade erweitert um den Punkt im Unendlichen[Bearbeiten]
Die projektive Gerade <math>P^1K</math> kann mit <math>K\cup\left\{\infty\right\}</math>, der um einen "Punkt im Unendlichen" erweiterten Gerade <math>K^1</math> identifiziert werden. Man kann nämlich die Gerade <math>K=K^1</math> mit der in homogenen Koordinaten durch
- <math>\left\{[x : 1] \in \mathbf P^1(K) \mid x \in K\right\}</math>
gegebenen Teilmenge der <math>P^1K</math> identifizieren. Diese Teilmenge enthält dann alle Punkte der <math>P^1K</math> bis auf einen, den sogenannten "Punkt im Unendlichen":
- <math>\infty = [1 : 0].</math>
Beispiele[Bearbeiten]
- Die reelle projektive Gerade <math>P^1\R</math> ist homöomorph zum Kreis <math>S^1</math>.
- Die komplexe projektive Gerade <math>P^1\Complex</math> wird als Riemannsche Zahlenkugel bezeichnet, sie ist homöomorph zur 2-Sphäre <math>S^2</math>.
- Die projektive Gerade <math>P^1F_q</math> über dem endlichen Körper <math>F_q</math> hat <math>q+1</math> Elemente.
Automorphismen[Bearbeiten]
Die allgemeine lineare Gruppe <math>\operatorname{GL}(2,K)</math> wirkt auf <math>K^2</math> durch lineare Abbildungen. Die projektive lineare Gruppe <math> \operatorname{PGL}(2,K) </math> ist die Faktorgruppe <math> \operatorname{GL} (2,K) /K^\times </math>, wobei <math> K^\times </math> die normale (sogar zentrale) Untergruppe der skalaren Vielfachen <math> k \cdot \mathrm{id}_{K^2} </math> der Identität <math> \mathrm{id}: K^2 \rightarrow K^2 </math> ist mit <math> k </math> aus <math> K \setminus \{0\} </math>. Die Wirkung von <math>\operatorname{GL}(2,K)</math> auf <math>K^2</math> induziert eine wohldefinierte Wirkung von <math>\operatorname{PGL}(2,K)</math> auf <math>P^1K</math>. Die Automorphismen von <math>P^1K</math> sind per Definition die durch Elemente von <math>\operatorname{PGL}(2,K)</math> beschriebenen Abbildungen <math>P^1K\to P^1K</math>.
In homogenen Koordinaten wirken die Matrizen als gebrochen-lineare Transformationen:
- <math>\left( \begin{matrix}
a & b \\ c & d \end{matrix} \right) z = \frac{az+b}{cz+d}</math> nach der Identifizierung <math>\left[x_0:x_1\right] \simeq z:=\frac{x_0}{x_1}\in K\cup\left\{\infty\right\}</math>.
Die Automorphismengruppe wirkt transitiv auf Tripeln paarweise unterschiedlicher Punkte.
Eine fundamentale Invariante der projektiven Geometrie ist das Doppelverhältnis von 4-Tupeln paarweise unterschiedlicher Punkte. Falls K algebraisch abgeschlossen ist, lassen sich zwei solche 4-Tupel genau dann durch einen Automorphismus ineinander überführen, wenn ihr Doppelverhältnis übereinstimmt.
Im Fall <math>K=\Complex</math> bezeichnet man die Automorphismen von <math>P^1\Complex</math> als Möbiustransformationen.
Projektive Geraden in der projektiven Ebene[Bearbeiten]
Die projektive Gerade durch zwei gegebene Punkte <math>\left[x_1:y_1:z_1\right]</math> und <math>\left[x_2:y_2:z_2\right]</math> der projektiven Ebene bestimmt man, indem man die beiden Punkte als Geraden im <math>K^3</math> auffasst (und durch ihre Geradengleichung beschreibt), die sie enthaltende Ebene im <math>K^3</math> berechnet (siehe Ebenengleichung) und diese Ebene dann auf eine projektive Gerade in <math>P^2K</math> projiziert.
Analog bestimmt man projektive Geraden durch zwei gegebene Punkte in einem höherdimensionalen projektiven Raum.
Siehe auch[Bearbeiten]
- Reeller projektiver Raum
- Komplexer projektiver Raum
- Quaternionischer projektiver Raum
- Oktonionischer projektiver Raum
Literatur[Bearbeiten]
- Klein, Felix: Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus. Zweiter Band: Geometrie. Dritte Auflage. Ausgearbeitet von E. Hellinger. Für den Druck fertig gemacht und mit Zusätzen versehen von Fr. Seyfarth. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 15 Springer-Verlag, Berlin 1968
- Aczél, J.; Gołąb, S.; Kuczma, M.; Siwek, E.: Das Doppelverhältnis als Lösung einer Funktionalgleichung. Ann. Polon. Math. 9 1960/1961 183–187.
- Kerby, William: Eine Bemerkung über die Gruppen PGL(2,F). Results Math. 15 (1989), no. 3–4, 291–293.