R-Matrix

In der statistischen Physik werden Matrizen <Math>R\in Mat(n)</Math>, welche der Yang-Baxter-Gleichung (nach C. N. Yang<ref>Yang, Some exact results for the many-body problem in one dimension with delta-function interaction, Phys. Rev. Lett., Band 19, 1967, S. 1312–1314, doi:10.1103/PhysRevLett.19.1312</ref> und Rodney Baxter<ref>Baxter, Solvable eight-vertex model on an arbitrary planar lattice, Phil. Trans. Royal Soc., Band 289, 1978, S. 315–346, doi:10.1098/rsta.1978.0062, </ref>):

<math>R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12}</math>

genügen, als R-Matrizen bezeichnet.

In der Mathematik werden R-Matrizen zur Konstruktion von Quanteninvarianten in der Knotentheorie verwendet.

Beschreibung der Yang-Baxter-Gleichung in Koordinaten

Veranschaulichung der Yang-Baxter-Gleichung

Eine <math>n^2\times n^2</math>-Matrix <math>R</math> mit Einträgen <math>r_{ij}^{kl}</math> kann als Endomorphismus des <math>\Complex^n\otimes\Complex^n</math> mit Basis <math>e_i\otimes e_j</math> aufgefasst werden, also

<math>R(e_i\otimes e_j)=\sum_{k,l}r_{ij}^{kl}e_k\otimes e_l</math>.

Die Yang-Baxter-Gleichung lässt sich schreiben als

<math>R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12}</math>,

wobei <math>R^{ij}</math> der Endomorphismus von <math>\Complex^n\otimes \Complex^n\otimes \Complex^n</math> ist, der auf den Faktoren <math>i,j</math> als <math>R</math> wirkt und auf dem dritten Faktor als Identitätsabbildung. Also

<math>R^{12}=R\otimes id, R^{23}=id\otimes R</math>

und

<math>R^{13}(e_i\otimes e_j\otimes e_k)=\sum_{a,b}r_{ik}^{ab}e_a\otimes e_j\otimes e_b</math>.

R-Matrizen in der Quantenmechanik

Ein eindimensionales quantenmechanisches System ist genau dann integrabel, wenn seine Streumatrix der Yang-Baxter-Gleichung genügt, also eine R-Matrix ist.

R-Matrizen in der Knotentheorie

Jede R-Matrix kann zur Konstruktion einer Quanteninvariante von Knoten verwendet werden.

Literatur

• Yang-Baxter equation. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
• J. Park, H. Au-Yang: Yang-Baxter equations. In: J.-P. Françoise, G.L. Naber, Tsou S.T. (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematical Physics. Volume 5, Elsevier, Oxford 2006, ISBN 978-0-12-512666-3, S. 465–473.
• M. Jimbo: Quantum R matrix for the generalized Toda system. In: Comm. Math. Phys. 102, Nr. 4, 1986, S. 537–547, doi:10.1007/BF01221646.

Einzelnachweise

<references />