Radargleichung

Vorlage:Hinweisbaustein Mit der Radargleichung (oder Radargrundgleichung) kann die vom Empfänger registrierte Leistung in Abhängigkeit von der Sendeleistung, der Entfernung und den Eigenschaften des reflektierenden Objektes ermittelt werden. Damit kann abgeschätzt werden, ob unter den gegebenen Umständen das Objekt im Empfänger ein ausreichend starkes Signal erzeugt, sodass es erkannt werden kann.<ref name="Handbook">Radar Handbook Merrill I. Skolnik, books.google.ca 22. Januar 2008, McGraw-Hill-Verlag, ISBN 978-0-07-148547-0, Kapitel 1.4</ref> Aufgrund der unterschiedlichen Reflexionsbedingungen bei Punktzielen (Luftraumaufklärung) und bei Volumenzielen (Wetterradar) werden für diese beiden Fälle unterschiedliche Radargleichungen formuliert. Generell wird die Radargleichung aus dem Abstandsgesetz abgeleitet und gilt wie dieses nur für ungehinderte Abstrahlungen in den freien Raum.

Allgemeiner Überblick

Datei:Inverse square law.svg

Illustration des Abstandsgesetzes für Energiegrößen

Von wenigen Sonderfällen abgesehen ist bei Radaranwendungen das Verhältnis von Entfernung zu Wellenlänge so groß, dass die Sendeantenne – unabhängig von ihrer Abmessung – als mathematischer Punkt betrachtet werden kann. Deshalb verteilt sich die Energie wie bei einer Kugelwelle auf immer größere Flächen. Für die Ermittlung der reflektierten Energie muss deshalb unterschieden werden:

• Bei einem „Punktziel“ (z. B. ein Flugzeug) ist die Absorptionsfläche konstant; deshalb nimmt die empfangene Energie, als Funktion der Entfernung r mit 1/r² ab. Ein Teil davon wird (passiv) zum Radargerät zurückgestrahlt, wobei auch die rückgestrahlte Energie wieder mit 1/r² abnimmt; die Empfangsantenne ist ja ebenfalls ein Punktziel. Insgesamt muss man beide Faktoren multiplizieren und es gilt somit ein 1/r⁴-Zusammenhang.
• Bei sehr großen flächigen Zielen wie beispielsweise (nicht zu weit entfernten) Wolken vergrößert sich auch das angestrahlte Volumen mit dem Faktor r². Das heißt, die gesamte von der Wolke empfangene Energie ist konstant. Ein gewisser, vom Reflexionsfaktor des Objekts abhängiger Bruchteil davon wird zurückgestrahlt. Nur für diesen Rückweg gilt die 1/r²-Abhängigkeit der Energie, so dass auch insgesamt nur ein 1/r²-Zusammenhang gilt.

Interessanterweise gilt diese Vergrößerung nur für ein halb-transparentes Volumen – nicht für eine spiegelnde Fläche. Bei dieser Fläche würde sich die reflektierte Energie über die Zeit verteilen, da die Laufzeit mittig zu dieser Fläche kürzer ist als bis zum Rand der Fläche. Dieses Problem führt bei Radaraltimetern ebenfalls zu einer wesentlichen zeitlichen Verformung des Echoimpulses auf bis zur Vervielfachung der Dauer des Sendeimpulses.

• Mit steigender Entfernung der Wolken füllen diese jedoch einen immer kleineren Anteil der Strahlungskeule aus, denn ein wachsender Teil der gesendeten Energie trifft die Wolke nicht mehr. Dann gilt keiner der beiden vorhergehenden Punkte; es ergibt sich in diesem Fall ein Übergang von einem Abschnitt mit 1/r²- zu einem Abschnitt mit 1/r⁴-Zusammenhang.

Die Radargleichung gilt nur für Primärradar. Ein Sekundärradar nutzt nicht die passive Reflexion von Funkwellen. Es besteht vielmehr aus einer bidirektionalen Funkverbindung. Die Empfangsleistung verringert sich in der Entfernung nach einer 1/r²-Abhängigkeit durch das einfache Abstandsgesetz. Wenn der Transponder antwortet, so ist seine Sendeleistung nicht abhängig von der empfangenen Leistung. Somit gilt für den Rückweg separat eine 1/r²-Abhängigkeit.

Radargleichung für ein Punktziel

Als Punktziel wird ein Ziel bezeichnet, das vom Radar weder in der Entfernung noch in den Winkelkoordinaten aufgelöst wird und das Impulsvolumen nicht ausfüllt. Seine gesamte Streuwirkung kann daher durch einen einzelnen Radarquerschnitt <math>\sigma</math> beschrieben werden. Ob ein Objekt als Punktziel gilt, hängt damit nicht allein von seiner geometrischen Größe, sondern auch von der Entfernungs-, Azimut- und Höhenauflösung des Radars ab.

Für eine bistatische Anordnung mit getrennten Sende- und Empfangsantennen lautet die Radargleichung

<math>P_\mathrm{r} =

\frac{P_\mathrm{t} G_\mathrm{t} G_\mathrm{r} \lambda^2 \sigma} {(4\pi)^3 R_\mathrm{t}^2 R_\mathrm{r}^2 L}.</math><ref name="Skolnik2008">Merrill I. Skolnik: Radar Handbook. 3. Auflage. McGraw-Hill, New York 2008, ISBN 978-0-07-148547-0, Abschnitt 1.4, S. 1.10–1.13.</ref>

Dabei bedeuten:

<math>P_\mathrm{t}</math>

Sendeleistung,

<math>P_\mathrm{r}</math>

am Empfängereingang verfügbare Echoleistung,

<math>G_\mathrm{t}</math> und <math>G_\mathrm{r}</math>

lineare Antennengewinne der Sende- und Empfangsantenne in Richtung des Ziels,

<math>\lambda</math>

Wellenlänge,

<math>\sigma</math>

Radarquerschnitt für die betrachtete Sende- und Empfangsrichtung sowie Polarisation,

<math>R_\mathrm{t}</math>

Entfernung zwischen Sendeantenne und Ziel,

<math>R_\mathrm{r}</math>

Entfernung zwischen Ziel und Empfangsantenne,

<math>L</math>

dimensionsloser Verlustfaktor mit <math>L \geq 1</math> für nicht bereits in den übrigen Größen berücksichtigte System- und Ausbreitungsverluste.

Bei einem monostatischen Radar befinden sich Sender und Empfänger am selben Ort. Mit <math>R_\mathrm{t}=R_\mathrm{r}=R</math> und bei Verwendung derselben Antenne mit <math>G_\mathrm{t}=G_\mathrm{r}=G</math> ergibt sich

<math>P_\mathrm{r} =

\frac{P_\mathrm{t} G^2 \lambda^2 \sigma} {(4\pi)^3 R^4 L}.</math>

Die Echoleistung eines Punktziels nimmt unter diesen Voraussetzungen mit der vierten Potenz der Entfernung ab. Wird als Nachweisgrenze eine erforderliche Empfangsleistung <math>P_{\mathrm{r,min}}</math> angesetzt, folgt für die maximale Entfernung

<math>R_\mathrm{max} =

\sqrt[4]{\frac{P_\mathrm{t}G^2\lambda^2\sigma} {(4\pi)^3 P_{\mathrm{r,min}}L}}.</math><ref name="Skolnik2008" />

Die Gleichung setzt eine Ausbreitung im Fernfeld voraus. Für eine Antenne mit der größten Aperturabmessung <math>D</math> wird der Beginn des Fernfeldes üblicherweise durch die Fraunhofer-Entfernung

<math>R_\mathrm{F} \simeq \frac{2D^2}{\lambda}</math>

abgeschätzt. Bei einer bistatischen Anordnung muss die Fernfeldbedingung für beide Teilstrecken erfüllt sein.<ref>Constantine A. Balanis: Antenna Theory: Analysis and Design. 4. Auflage. John Wiley & Sons, Hoboken 2016, ISBN 978-1-118-64206-1, S. 33–35.</ref> Ferner werden freie Ausbreitung, angepasste Polarisation und ein für die jeweilige Beobachtungsgeometrie gültiger Radarquerschnitt angenommen. Die Leistungsform der Radargleichung setzt keine bestimmte Modulationsart voraus. Impulsdauer, Pulskompression, Rauschleistung und Signalverarbeitung werden bei der Berechnung des Signal-Rausch-Verhältnisses und der Entdeckungswahrscheinlichkeit berücksichtigt.

Radargleichung für ein Volumenziel

Ein Volumenziel besteht aus einer großen Zahl nicht einzeln aufgelöster Streukörper, die innerhalb des räumlichen Auflösungsvolumens verteilt sind. Bei einem Wetterradar handelt es sich dabei beispielsweise um Regentropfen, Schneeflocken oder Eiskristalle. Wegen der unterschiedlichen Phasenlagen der Einzelechos schwankt die momentane Empfangsleistung. Die Radargleichung für Volumenziele beschreibt deshalb die über mehrere unabhängige Abtastungen gemittelte Echoleistung <math>\overline{P_\mathrm{r}}</math>.<ref name="DoviakZrnic1993">Richard J. Doviak, Dušan S. Zrnić: Doppler Radar and Weather Observations. 2. Auflage. Academic Press, San Diego 1993, ISBN 978-0-12-221422-6, S. 64–85.</ref>

Die Summe der Radarquerschnitte innerhalb eines Volumens wird durch den volumenbezogenen Rückstreuquerschnitt <math>\eta</math> beschrieben:

<math>\eta =

\frac{1}{V}\sum_{i=1}^{N}\sigma_i = \int_0^\infty \sigma_\mathrm{b}(D)\,N(D)\,\mathrm{d}D.</math>

Dabei ist <math>\sigma_\mathrm{b}(D)</math> der Rückstreuquerschnitt eines Teilchens mit dem Durchmesser <math>D</math> und <math>N(D)</math> dessen Anzahlkonzentration je Durchmesserintervall. <math>\eta</math> hat in SI-Einheiten die Dimension <math>\mathrm{m}^{-1}</math>.

Für kugelförmige Teilchen, deren Durchmesser klein gegenüber der Wellenlänge ist, gilt die Näherung der Rayleigh-Streuung:

<math>\sigma_\mathrm{b}(D) =

\frac{\pi^5}{\lambda^4}|K|^2D^6</math>

mit

<math>K=\frac{\varepsilon_\mathrm{r}-1}

{\varepsilon_\mathrm{r}+2}.</math>

<math>\varepsilon_\mathrm{r}</math> bezeichnet die komplexe relative Permittivität des Streukörpers. Mit dem Reflektivitätsfaktor

<math>Z =

\int_0^\infty D^6N(D)\,\mathrm{d}D = \frac{1}{V}\sum_{i=1}^{N}D_i^6</math>

folgt

<math>\eta =

\frac{\pi^5}{\lambda^4}|K|^2Z.</math><ref name="ProbertJones1962">J. R. Probert-Jones: The radar equation in meteorology. In: Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. Band 88, Nr. 378, 1962, S. 485–495, doi:10.1002/qj.49708837810.</ref> In diesen Gleichungen müssen <math>D</math> und <math>\lambda</math> in miteinander verträglichen Einheiten eingesetzt werden. In der Radarmeteorologie wird <math>Z</math> üblicherweise in <math>\mathrm{mm}^6\,\mathrm{m}^{-3}</math> angegeben; der entsprechende Umrechnungsfaktor ist dann in der Radarkonstante enthalten.

Für einen rechteckigen Sendeimpuls der Dauer <math>\tau</math> besitzt das durch die Halbwertsbreiten <math>\theta_\mathrm{az}</math> und <math>\theta_\mathrm{el}</math> begrenzte geometrische Impulsvolumen näherungsweise den Wert

<math>V_\mathrm{geom} \simeq

\frac{\pi R^2c_0\tau\theta_\mathrm{az}\theta_\mathrm{el}}{8}.</math>

Die Leistungsdichte ist innerhalb dieses Volumens nicht gleichmäßig. Wird die Hauptkeule in beiden Winkelkoordinaten durch eine Gaußfunktion angenähert, ergibt sich unter Berücksichtigung des Antennendiagramms auf Hin- und Rückweg das wirksame Auflösungsvolumen

<math>V_\mathrm{eff} =

\frac{V_\mathrm{geom}}{2\ln 2} = \frac{\pi R^2c_0\tau\theta_\mathrm{az}\theta_\mathrm{el}} {16\ln 2}.</math><ref name="ProbertJones1962" />

Füllt ein homogenes Volumenziel dieses Auflösungsvolumen vollständig aus, kann in die Radargleichung für ein monostatisches Punktziel der gesamte wirksame Radarquerschnitt

<math>\sigma_V=\eta V_\mathrm{eff}</math>

eingesetzt werden. Daraus folgt

<math>\begin{aligned}

\overline{P_\mathrm{r}} &= \frac{P_\mathrm{t}G^2\lambda^2} {(4\pi)^3R^4L}\, \eta V_\mathrm{eff}\\ &= \frac{\pi^3P_\mathrm{t}G^2c_0\tau \theta_\mathrm{az}\theta_\mathrm{el}} {1024\ln 2\,\lambda^2R^2L} \,|K|^2Z. \end{aligned}</math><ref name="DoviakZrnic1993" />

Die entfernungsunabhängigen Radarparameter können zur Radarkonstante

<math>C_\mathrm{r} =

\frac{\pi^3P_\mathrm{t}G^2c_0\tau \theta_\mathrm{az}\theta_\mathrm{el}} {1024\ln 2\,\lambda^2}</math>

zusammengefasst werden. Damit lautet die Gleichung

<math>\overline{P_\mathrm{r}} =

\frac{C_\mathrm{r}|K|^2Z}{R^2L}.</math>

Die mittlere Echoleistung eines vollständig strahlfüllenden Volumenziels nimmt somit proportional zu <math>R^{-2}</math> ab. Gegenüber dem Punktziel kompensiert die mit <math>R^2</math> wachsende Querschnittsfläche des Auflösungsvolumens zwei Potenzen der Zweiweg-Ausbreitungsdämpfung. Diese Abhängigkeit gilt nicht, wenn das Ziel den Radarstrahl nur teilweise ausfüllt, <math>Z</math> innerhalb des Auflösungsvolumens stark variiert oder eine entfernungsabhängige atmosphärische Dämpfung auftritt. Bei Pulskompression oder abweichender Empfängerbandbreite wird das einfache Volumen durch die tatsächliche Entfernungsgewichtungsfunktion ersetzt.<ref name="DoviakZrnic1993" />

Sind die Streukörper nicht klein gegenüber der Wellenlänge, nicht annähernd kugelförmig oder nicht homogen verteilt, entspricht der aus der Empfangsleistung berechnete Wert nicht mehr unmittelbar der Summe der sechsten Potenzen der Teilchendurchmesser. Unter Bezug auf kugelförmige Wassertropfen im Rayleigh-Bereich wird er dann als äquivalenter Reflektivitätsfaktor <math>Z_\mathrm{e}</math> angegeben.

Literatur

• R. J. Doviak, D. S. Zrnic: Doppler Radar and Weather Observations, Academic Press. Second Edition, San Diego Cal. ISBN 978-0-12-221420-2, Seite 562, 1993.
• J. R. Probert-Jones: The radar equation in meteorology, Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, 1962, Band 88, Ausgabe 378, Seiten 485–495.

Weblinks

• Radartutorial (Herleitung der Radargrundgleichung für ein Punktziel)
• Radartutorial (Herleitung der Radargleichung für ein Volumenziel)

Einzelnachweise

<references />