Reduktive Gruppe

Vorlage:Hinweisbaustein Die reduktive Gruppe ist ein Begriff der Mathematik, der vor allem in der Darstellungstheorie und der geometrischen Invariantentheorie von Bedeutung ist.

Definition

Eine reduktive Gruppe <math>G</math> ist eine algebraische Gruppe über einem algebraisch abgeschlossenen Körper <math>k</math>, die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• Das Radikal der Komponente der Eins <math>G_0</math> ist ein algebraischer Torus, insbesondere also eine abelsche Gruppe.
• Das unipotente Radikal von <math>G_0</math> ist die triviale Gruppe. Mit anderen Worten: <math>G_0</math> hat keine abgeschlossenen, zusammenhängenden und unipotenten Normalteiler.
• Die Gruppe ist das Produkt <math>G=ST</math> zweier abgeschlossener Normalteiler <math>S</math> und <math>T</math>, wobei <math>S</math> halbeinfach und <math>T</math> ein algebraischer Torus ist.

Im letzten Fall ist <math>S = \left[G_0,G_0\right]</math> und <math>T</math> das Radikal von <math>G</math>, der Durchschnitt <math>S\cap T</math> ist endlich und jede halbeinfache oder unipotente Untergruppe von <math>G_0</math> ist in <math>S</math> enthalten.

Im Fall <math>\operatorname{char}(k) = 0</math> ist <math>G</math> genau dann reduktiv, wenn jede Darstellung vollständig reduzibel ist und dies ist genau dann der Fall, wenn die adjungierte Darstellung vollständig reduzibel ist.

Im Fall <math>k = \Complex</math> ist <math>G</math> genau dann reduktiv, wenn sie die Komplexifizierung einer zusammenhängenden kompakten Lie-Gruppe ist.

Beispiele

Sei <math>k</Math> ein algebraisch abgeschlossener Körper. Dann sind die folgenden Gruppen reduktiv.

• Die multiplikative Gruppe <math>G_m(k)=k^*</math>.
• Die allgemeine lineare Gruppe <math>GL(n,k)</math>.
• Die spezielle lineare Gruppe <math>SL(n,k)</math>.
• Alle halbeinfachen algebraischen Gruppen.

Reduktive Gruppenschemata

Reduktivität kann für Gruppenschemata über beliebigen Basisschemata definiert werden. Dabei wird aus technischen Gründen eine Zusammenhangsbedingung gefordert.<ref>Die Gründe für diese Einschränkung sind in Conrad §3 ausgeführt.</ref>

Ein reduktives Gruppenschema über einem Schema <math>S</math> ist ein glattes <math>S</math>-affines <math>S</math>-Gruppenschema <math>G</math>, sodass alle geometrischen Fasern <math>G_{\overline{s}}</math> von <math>G</math> zusammenhängende reduktive Gruppen im Sinne der Definition im ersten Abschnitt sind.<ref>Conrad: Def. 3.1.1</ref>

Ist <math>S</math> das Spektrum eines algebraisch abgeschlossenen Körpers <math>k</math>, so ergibt sich die Definition von zusammenhängenden reduktiven Gruppen. In diesem Fall ist nämlich <math>\mathrm{id} \colon S \to S</math> ein geometrischer Punkt und für jeden algebraisch abgeschlossenen Körper <math>l</math>, der <math>k</math> erweitert, ist der Basiswechsel <math>H_l</math> einer zusammenhängenden reduktiven Gruppe <math>H</math> wieder zusammenhängend und reduktiv.

Literatur

• Armand Borel, Jacques Tits: Groupes réductifs. Publ. Math. IHES, 27 (1965) pp. 55–150.
• James E. Humphreys: Linear Algebraic Groups. Springer, New York 1975, ISBN 978-1-4684-9445-7.
• Brian Conrad: Reductive group schemes.
• V.L. Popov: Hilbert's theorem on invariants. Soviet Math. Dokl., 20 : 6 (1979) pp. 1318–1322 Dokl. Akad. Nauk SSSR, 249 : 3 (1979) pp. 551–555.
• T.A. Springer: Invariant theory. Lect. notes in math., 585, Springer (1977).

Weblinks

• Reductive Group (Encyclopedia of Mathematics)
• What is ... a reductive group?
• J.S.Milne: Reductive Groups

Einzelnachweise

<references />