Topologische K-Theorie

In der Mathematik, speziell in der algebraischen Topologie, beschäftigt sich die Topologische K-Theorie mit dem Studium von Vektorbündeln auf topologischen Räumen. Der Name K-Theorie wurde von Alexander Grothendieck kreiert; das K steht für „Klasse“ in einem sehr allgemeinen Sinn.

Definitionen

Es sei <math>X</math> ein fester kompakter Hausdorffraum.

Dann ist <math>K(X)</math> der Quotient der freien abelschen Gruppe auf den Isomorphieklassen der stabil äquivalenten komplexen Vektorbündeln über <math>X</math> nach der Untergruppe, die von Elementen der Form

<math> [E\oplus F]-[E]-[F] </math>

für beliebige komplexe Vektorbündel <math>E,F</math> über <math>X</math> erzeugt wird. Dabei bezeichnet <math>\oplus</math> die Whitney-Summe der Vektorbündel. Diese Konstruktion, die der Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen nachempfunden ist, heißt Grothendieck-Gruppe (nach Alexander Grothendieck). Man kann sich Elemente von <math>K(X)</math> also als formale Summen und Differenzen von (Isomorphieklassen von) komplexen Vektorbündeln denken.

Betrachtet man stattdessen reelle Vektorbündel, erhält man die reelle <math>K</math>-Theorie <math>KO(X)</math>. Zur besseren Abgrenzung nennt man die K-Theorie der komplexen Vektorbündel auch komplexe K-Theorie.

Zwei Vektorbündel <math>E</math> und <math>F</math> auf <math>X</math> definieren genau dann dasselbe Element in <math>K(X)</math>, wenn sie stabil äquivalent sind, d. h. wenn es ein triviales Vektorbündel <math>G</math> gibt, so dass

<math>E\oplus G\cong F\oplus G</math>

Mit dem Tensorprodukt von Vektorbündeln wird <math>K(X)</math> zu einem kommutativen Ring mit Einselement.

Der Begriff des Ranges eines Vektorbündels überträgt sich auf Elemente der <math>K</math>-Theorie. Die reduzierte K-Theorie <math>\tilde K(X)</math> ist die Untergruppe der Elemente von Rang 0. Weiter führt man die Bezeichnung <math>\tilde K^n(X)=\tilde K(S^nX)</math> ein; dabei bezeichnet <math>S</math> die reduzierte Einhängung.

Eigenschaften

• <math>K</math> ist ein kontravarianter Funktor auf der Kategorie der kompakten Hausdorffräume.
• Es gibt einen topologischen Raum <math>BU</math>, so dass Elemente von <math>K(X)</math> den Homotopieklassen von Abbildungen <math>X \to BU</math> entsprechen.
• Es gibt einen natürlichen Ringhomomorphismus <math>K(X) \to H^*(X,Q)</math>, den Chern-Charakter.

Bott-Periodizität

Dieses nach Raoul Bott benannte Periodizitätsphänomen lässt sich auf die folgenden äquivalenten Arten formulieren:

• <math>K(X\times S^2)=K(X)\otimes K(S^2),</math> und <math>K(S^2)=\mathbb Z[H]/(H-1)^2;</math> dabei ist <math>H</math> die Klasse des tautologischen Bündels über <math>S^2=\mathbb CP^1</math>.
• <math>\tilde K^{n+2}(X)=\tilde K^n(X)</math>
• <math>\Omega^2\mathrm{BU}\simeq\mathrm{BU}\times\mathbf Z</math>.

In der reellen K-Theorie gibt es eine ähnliche Periodizität mit Periode 8.

Berechnung

Die (komplexe oder reelle) topologische K-Theorie ist eine verallgemeinerte Kohomologietheorie und kann oft mit Hilfe der Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz berechnet werden.<ref>Atiyah, Hirzebruch: Vector bundles and homogeneous spaces. In: Proc. Sympos. Pure Math. Band III. American Mathematical Society, Providence, R.I. 1961, S. 7–38.</ref>

K-Theorie für Banachalgebren

→ Hauptartikel: K-Theorie von Banachalgebren

Die topologische K-Theorie lässt sich auf allgemeine Banachalgebren ausdehnen, wobei die C*-Algebren eine wichtige Rolle spielen. Die topologische K-Theorie kompakter Räume <math>X</math> kann als K-Theorie der Banachalgebren <math>C(X)</math> der stetigen Funktionen <math>X\rightarrow \Complex</math> umformuliert und dann auf beliebige Banachalgebren übertragen werden, sogar auf das Einselement der Algebren kann man verzichten. Da die Zuordnung <math>X\mapsto C(X)</math> ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie der Banachalgebren ist und da die topologische K-Theorie ebenfalls kontravariant ist, erhalten wir insgesamt einen kovarianten Funktor von der Kategorie der Banachalgebren in die Kategorie der abelschen Gruppen.<ref>Blackadar: K-Theory for Operator Algebras. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-96391-X.</ref>

Da hier auch nicht-kommutative Algebren auftreten können, spricht man von nicht-kommutativer Topologie. Die K-Theorie ist ein wichtiger Untersuchungsgegenstand in der Theorie der C*-Algebren.

Siehe auch

• Algebraische K-Theorie

Literatur

• Michael Atiyah: K -theory. Notes by D. W. Anderson. Second edition. Advanced Book Classics. Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989. ISBN 0-201-09394-4
• Allen Hatcher: Vector bundles and K-theory (math.cornell.edu).
• Karlheinz Knapp: Vektorbündel. (link.springer.com).

Weblinks

• Max Karoubi: Lectures on K-theory. (PDF; 400 kB).

Quellen

<references />