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Spektralsequenz

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Eine Spektralsequenz<ref>Klaus Lamotke: Semisimpliziale algebraische Topologie (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Nr. 147). Springer-Verlag, Berlin 1968, ISBN 978-3-662-12989-0, Überschrift des VI. Kapitels, doi:10.1007/978-3-662-12988-3.</ref><ref>Andreas Dress: Zur Spectralseqenz einer Faserung. In: Inventiones Mathematicae. Band 3, Nr. 2, 1967, S. 172–178, doi:10.1007/BF01389743.</ref> oder Spektralfolge<ref>Volker Puppe: Über Konvergenz von Spektralfolgen in der stabilen Homotopietheorie. In: manuscripta mathematica. Band 6, Nr. 4, 1972, ISSN 0025-2611, S. 327–358, doi:10.1007/BF01303687.</ref> ist ein Grenzwertprozess zur Berechnung von Homologiegruppen im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra. Nach J. F. Adams sind Spektralsequenzen wie exakte Sequenzen, nur komplizierter. Wie für exakte Sequenzen gelte auch für Spektralsequenzen: Sie bieten keine Erfolgsgarantie, sind aber trotzdem in den Händen der Fachleute häufig ein effektives Werkzeug.<ref>J. F. Adams: Algebraic Topology. a student's guide (= London Mathematical Society Lecture Note Series. Nr. 4). Cambridge University Press, 1972, ISBN 0-521-08076-2, S. 13: „A spectral sequence is … like an exact sequence, but more complicated. … Like an exact sequence, it does not provide a guarantee that one can carry out any required calculation effectively, but the experts succeed with it more often than not.“</ref>

Die Grundidee geht auf eine 1946 von Leray veröffentlichte Forschungsankündigung zur kohomologischen Untersuchung einer Garbe zurück. Bereits 1947 hatte Koszul – mit Hilfe eines Hinweises von Cartan – das Spektralsequenz-Kalkül in der heutigen Form abstrahiert, so dass auch Leray in der vollständigen Version seiner Arbeit Koszuls Formalismus verwendete.<ref>Jean Dieudonné: A history of algebraic and differential topology, 1900–1960 (= Modern Birkhäuser Classics). Nachdruck der 1989 Auflage. Birkhäuser, Boston 2009, ISBN 978-0-8176-4906-7, S. 132–141, doi:10.1007/978-0-8176-4907-4.</ref>

Formale Definition[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Es sei <math> \mathcal{A} </math> eine abelsche Kategorie, beispielsweise die Kategorie der Moduln über einem Ring, und es sei <math> r_0 </math> eine nicht-negative ganze Zahl. Eine kohomologische Spektralsequenz ist eine Sequenz <math> \{E_r, d_r\}_{r\geq r_0} </math> von Objekten <math> E_r </math> mit Endomorphismen <math> d_r \colon E_r \to E_r </math>, sodass für jedes <math> r\geq r_0 </math> gilt:

  1. <math> d_r \circ d_r = 0 </math>,
  2. <math> E_{r+1} \cong H_{*}(E_r, d_r), </math> die Homologie von <math> E_r </math> bezüglich <math> d_r. </math>

Die Isomorphismen werden oft weggelassen und man schreibt <math> E_{r+1} = H_{*}(E_r, d_r). </math> Ein Objekt <math> E_r </math> wird auch als die r-te Seite oder der r-te Term bezeichnet, ein Endomorphismus <math> d_r </math> wird Randoperator oder Differential genannt.

Bigraduierte Spektralsequenz[Bearbeiten]

In der 'Realität' treten Spektralsequenzen meist in der Kategorie der bigraduierten Moduln über einem Ring R auf, das heißt jede Seite ist ein bigraduierter R-Modul <math display="inline"> E_r = \bigoplus_{p,q \in \mathbb{Z}^2} E_r^{p,q}. </math> In diesem Fall ist eine kohomologische Spektralsequenz also eine Sequenz <math> \{E_r, d_r\}_{r\geq r_0} </math> von bigraduierten R-Moduln <math> \{E_r^{p,q}\}_{p,q} </math> und für jeden Modul die direkte Summe von Endomorphismen <math> d_r = (d_r^{p,q} \colon E_r^{p,q} \to E_r^{p+r,q-r+1})_{p,q \in \mathbb{Z}^2} </math> vom Bigrad <math> (r,1-r) </math>, sodass für jedes <math> r\geq r_0 </math> gilt:

  1. <math> d_r^{p+r,q-r+1} \circ d_r^{p,q} = 0 </math>,
  2. <math> E_{r+1} \cong H_{*}(E_r, d_r) </math>.

Die hier verwendete Notation heißt Komplementärgrad. Manche Autoren schreiben stattdessen <math> E_r^{d,q} </math>, wobei <math> d = p + q </math> der totale Grad ist. In der nicht-graduierten Situation ist <math> r_0 </math> irrelevant, im bigraduierten Fall ist <math> r_0 </math> meist null, eins oder zwei.

Homologische Spektralsequenz[Bearbeiten]

Meist sind die Objekte <math> \{E_r\}_{r\geq r_0} </math> Kettenkomplexe, die mit aufsteigender (wie oben) oder absteigender Indizierung auftreten können. Im zweiten Fall erhält man, indem man <math> E_r^{p,q} </math> durch <math> E^r_{p,q} </math> und <math> d_r^{p,q} \colon E_r^{p,q} \to E_r^{p+r,q-r+1} </math> durch <math> d^r_{p,q} \colon E^r_{p,q} \to E^r_{p-r,q+r-1} </math> (Bigrad (-r,r-1)) ersetzt, analog die Definition einer homologische Spektralsequenz.

Spektralsequenz eines Kettenkomplexes[Bearbeiten]

Das grundlegendste Beispiel (im nicht-graduierten Fall) ist die abelsche Kategorie der Kettenkomplexe. Ein Objekt <math> (C_{\bullet},\, d) </math> hat ein natürliches Differential, den Randoperator <math> d </math>. Für <math> r_0 = 0 </math> ist die 0-te Seite <math> E_0 = C_{\bullet} </math> der Komplex selbst. Um das zweite Axiom der Definition zu erfüllen, muss das nächste Objekt die Homologie des Kettenkomplexes sein, <math> E_1 \,=\, H(C_{\bullet}) </math>. Da das einzige natürliche Differential auf diesem Komplex die Nullabbildung ist, ist <math> E_2 </math> erneut die Homologie des Komplexes usw., das heißt <math> E_1 = E_2 = E_r </math> für alle <math> r \geq 1 </math> und die Sequenz stabilisiert auf der ersten Seite. Um mehr Informationen aus einer Spektralsequenz zu bekommen, benötigen wir mehr Struktur auf den Objekten.

Visualisierung[Bearbeiten]

Die Definition der Spektralsequenz ist sehr abstrakt, wir wollen die bigraduierte Situation visualisieren. Man kann sich das Objekt <math display="inline"> E_r = \bigoplus_{p,q \in \mathbb{Z}^2} E_r^{p,q} </math> als die r-te Seite eines karierten Buches vorstellen, an jedem Gitterpunkt <math> (p,q) </math> ist ein Objekt <math> E_r^{p,q}.</math> Zwischen einigen Objekten gibt es Verbindungslinien, die Differentiale. Auf die (r+1)-te Seite umzublättern bedeutet, Homologie zu bilden. Das heißt, die (r+1)-te Seite ist ein Subquotient der r-ten Seite. Die Differentiale ändern ihre Richtung bei jedem Umblättern.

Datei:Spectral Sequence Visualization.jpg
Vier Seiten einer kohomologischen Sequenz

Die roten Pfeile demonstrieren eine sogenannte Erster-Quadrant-Spektralsequenz, bei der nur die Objekte im ersten Quadranten nicht-null sind. Der Bild- oder der Urbildbereich aller Differentiale wird mit wachsendem <math>r</math> zum Nullobjekt, siehe Beispiel unten.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Kategorische Eigenschaften[Bearbeiten]

Die kohomologischen Spektralsequenzen bilden eine Kategorie. Ein Morphismus <math> f \colon E \to E' </math> ist hierbei eine Familie <math> \{f_r\}_{r \geq r_0} </math> von Abbildungen <math> f_r \colon E_r \to E'_r </math>, die mit den Differentialen und den Isomorphismen aus der Definition vertauschen: <math> f_r \circ d_r = d'_r \circ f_r </math> und <math> f_{r+1}(E_{r+1}) \,=\, f_{r+1}(H(E_r)) \,=\, H(f_r(E_r)) </math>. Im bigraduierten Fall sollen die Abbildungen außerdem die Graduierung respektieren: <math> f_r(E_r^{p,q}) \subset {E'_r}^{p,q}. </math>

Multiplikative Struktur[Bearbeiten]

Die Kohomologiegruppe wird mit dem Cup-Produkt zu einem Ring. Wir wollen daher auch auf der Spektralsequenz eine multiplikative Struktur definieren. Eine Spektralsequenz heißt multiplikativ oder Spektralring, falls gilt: (i) jede Seite ist eine bigraduierte Algebra, wobei die Differentiale Antiderivationen von Grad 1 sind, d. h. <math display="inline">d(a \cdot b)=(da) \cdot b + (-1)^{\deg(a)}a \cdot (db)</math> (ii) die Multiplikation auf <math>E_{r+1}</math> ist durch diejenige auf <math>E_r</math> induziert.

Konvergenz[Bearbeiten]

Zykel und Ränder[Bearbeiten]

Es sei eine Spektralsequenz <math> \{E_r\}_{r \geq 1} </math> gegeben. Da sie aus Subquotienten besteht, induziert sie eine Sequenz von Subobjekten <math> 0\,=\,B_0 \,\supset\, B_1 \,\supset\, B_2 \,\supset\,\dots\,\supset\, Z_2 \,\supset\, Z_1 \,\supset\, Z_0 \,=\, E_1 </math> mit <math> E_r = Z_r/B_r </math>, gegeben durch die folgende induktive Relation: setze <math> Z_0 \colon = E_1 </math>, <math> B_0 \colon = 0. </math> Sind <math> Z_r </math> und <math> B_r </math> schon definiert, dann seien <math> Z_{r+1} </math> and <math> B_{r+1} </math> die eindeutig bestimmten Objekte mit der Eigenschaft, dass <math> Z_{r+1}/B_r = ker(d_r\colon E_r \to E_r) </math> und <math> B_{r+1}/B_r = im(d_r\colon E_r \to E_r) </math>. Wir setzen <math> Z_{\infty} \colon = \cap_r Z_r,</math> <math> B_{\infty} \colon = \cup_r B_r</math> und definieren den Grenzterm der Spektralsequenz als <math> E_{\infty} \colon = Z_{\infty}/B_{\infty} </math> (falls er in der betrachteten Kategorie definiert ist).

Konvergenz[Bearbeiten]

Eine Spektralsequenz konvergiert schwach, falls es ein graduiertes Objekt <math> H^{\bullet} </math> gibt mit einer Filtrierung <math> F^{\bullet} H^{n} </math> für jedes <math> n </math>, und für jedes <math> p </math> einen Isomorphismus <math> E_{\infty}^{p,q} \cong F^pH^{p+q}/ F^{p+1}H^{p+q} </math>; in Symbolen:

<math> E_r^{p,q} \Longrightarrow H^{\bullet} </math>.

Wir sagen, sie konvergiert gegen <math> H^{\bullet} </math>, falls die Filterung <math> F^{\bullet} H^{n} </math> Hausdorff ist, das heißt <math> \cap_{p}F^pH^{\bullet}=0 </math>. In der Praxis bezieht man sich auf den wichtigsten Term der Sequenz, welcher meist der erste oder der zweite ist, und schreibt <math> E_1^{p,q} \Longrightarrow H^{\bullet} </math> oder <math> E_2^{p,q} \Longrightarrow H^{\bullet} </math>.

Weitere Konvergenzbegriffe[Bearbeiten]

Im englischsprachigen Raum liest man die Wendung "a spectral sequence abuts", falls für jedes Tupel <math> p,q </math> ein <math> r(p,q) </math> existiert, sodass für alle <math> r \geq r(p,q) </math> gilt <math> E^{p,q}_r \,=\, E^{p,q}_{r(p,q)} </math>. Die Seite <math> E_{\infty} \,=\, E_{r(p,q)} </math> ist wieder der Grenzterm. Die Spektralsequenz ist regulär oder degeneriert bei <math> \mathbf{r_0} </math>, wenn <math> d_r </math> verschwindet für alle <math> r \geq r_0 </math>. Man sagt die Spektralsequenz kollabiert, falls insbesondere ein <math> r_0 \geq 2 </math> existiert, sodass die <math> r_0 </math>-te Seite auf eine Spalte oder eine Zeile konzentriert ist.

Allgemeine Konstruktionsmethoden[Bearbeiten]

Es gibt viele Methoden, Spektralsequenzen zu konstruieren. Die folgenden sind die drei wichtigsten:

Der Doppelkomplex-Zugang ist lediglich ein besonders wichtiger Spezialfall des Filtrierten-Kettenkomplex-Zugangs, und jeder filtrierte Kettenkomplex induziert auf natürliche Weise ein exaktes Paar. Alle bekannten Spektralsequenzen können mithilfe der ersten Methode konstruiert werden.

Exaktes Paar[Bearbeiten]

Datei:Exact couple.jpg
Darstellung eines exakten Paares

Wir beginnen wieder mit einer abelschen Kategorie, wie zuvor meist die Kategorie der bigraduierten Moduln über einem Ring. Ein exaktes Paar ist ein Paar von Objekten <math>(A,E)</math>, zusammen mit drei Homomorphismen <math> i\colon A \to A </math>, <math> f\colon A \to E </math> und <math> g\colon E \to A </math>, welche die folgenden Exaktheit-Eigenschaften erfüllen:

  • Bild <math>i</math> = Kern <math>f</math>,
  • Bild <math>f</math> = Kern <math>g</math>,
  • Bild <math>g</math> = Kern <math>i</math>.

Man schreibt kurz <math> (A, E, i, f, g) </math>. <math> E </math> wird der erste Term <math> E_0 </math> der Spektralsequenz sein. Für die zweite Seite bilden wir das abgeleitete Paar:

  • <math> d:= f \circ g </math>
  • <math> A' := i(A) </math>
  • <math> E' := Ker(d)/Im(d) </math>
  • <math> i':= i|_{A'} </math>
  • <math> g'\colon E' \to A' </math> die induzierte Abbildung
  • <math> f'\colon A' \to E' </math> ist folgendermaßen definiert: jedes <math> a' \in A' </math> kann geschrieben werden als <math> a'=i(a) </math> für ein <math> a \in A </math>. Setze <math> f'(a') </math> als das Bild von <math> f(a) </math> in <math> E' </math>.

Es kann leicht nachgerechnet werden, dass das abgeleitete Paar <math>(A', E', i', f', g')</math> wiederum ein exaktes Paar ist<ref>Allen Hatcher: Spectral Sequences, Kapitel 5. (cornell.edu [PDF]).</ref>.

Setze also <math> E_r := E^{(r)} </math> und <math> d_r:= f^{(r)} \circ g^{(r)} </math>. Die Sequenz <math> \{E_r, d_r\} </math> ist eine Spektralsequenz.

Anwendung[Bearbeiten]

Filtrierter Kettenkomplex[Bearbeiten]

Eine weitere wichtige Konstruktion ist die Spektralsequenz für einen filtrierten (Ko-)Kettenkomplex, da ein solcher auf natürliche Weise ein bigraduiertes Objekt induziert. Die Idee ist, die Kohomologie des filtrierten Komplexes mithilfe der Kohomologien der Objekte der Filtrierung zu berechnen.

Sei <math> (C^{\bullet}, d) </math> ein Kokettenkomplex, <math> d </math> von Grad 1, mit einer absteigenden Filtrierung <math display="inline"> ... \supset\, F^{-2}C^{\bullet} \,\supset\, F^{-1}C^{\bullet} \supset F^{0}C^{\bullet} \,\supset\, F^{1}C^{\bullet} \,\supset\, F^{2}C^{\bullet} \,\supset\, F^{3}C^{\bullet} \,\supset... \, </math>, wobei das Differential mit der Filtrierung kompatibel sei, d. h. <math display="inline"> d(F^pC^n) \subset F^pC^{n+1}</math>, und zudem sei die Filtrierung erschöpfend und Hausdorff. Dann gibt es eine Spektralsequenz mit <math display="inline"> E_0^{p,q} = F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q} </math> und <math display="inline"> E_1^{p,q} = H^{p+q}(F^{p}C^{\bullet}/F^{p+1}C^{\bullet}) </math>. Ist die Filtrierung auf <math> C^i </math> zudem nach oben und unten beschränkt für jedes i, dann gilt <math display="inline"> E_\infty^{p,q} = Gr^p(H^{p+q}(C^{\bullet})) </math> <ref>Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Nr. 211). Überarbeitete 3. Auflage. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X, S. 821.</ref><ref>Michael Hutchings: Introduction to spectral sequences. 28. April 2011 (berkeley.edu [PDF]).</ref>, d. h. die Spektralsequenz "abuts" (siehe Konvergenz) gegen den p-ten graduierten Teil der <math> (p+q)- </math>ten Kohomologie.

Konstruktion[Bearbeiten]

Um für die 0-te Seite der Spektralsequenz ein bigraduiertes Objekt zu konstruieren, betrachten wir das assoziierte graduierte Objekt:

<math>GrFC^{\bullet} = \bigoplus_{p\ge 0} Gr^pC^\bullet</math> mit <math>Gr^pC^\bullet = \frac{F^p C^{\bullet}}{F^{p+1} C^{\bullet}},</math>
<math>E_0^{p,q} = \frac{F^p C^{p+q}}{F^{p+1} C^{p+q}},</math>
<math>E_0 = \bigoplus_{p,q\in\mathbf{Z}} E_0^{p,q},</math>

wobei <math> d </math> ein natürliches bigraduiertes Differential <math> d_0 </math> auf <math> E_0 </math> induziert<ref>Michael Hutchings: Introduction to spectral sequences. 28. April 2011 (berkeley.edu [PDF]).</ref>. Für die nächste Seite <math> E_1 </math> nehmen wir nun die Homologie von <math> E_0 </math> bezüglich <math> d_0 </math>:

<math>E_1^{p,q} = \frac{\ker d_0^{p,q} : E_0^{p,q} \rightarrow E_0^{p,q+1}}{\text{im } d_0^{p,q-1} : E_0^{p,q-1} \rightarrow E_0^{p,q}} = \frac{\ker d_0^{p,q} : F^p C^{p+q}/F^{p+1} C^{p+q} \rightarrow F^p C^{p+q+1}/F^{p+1} C^{p+q+1}}{\text{im } d_0^{p,q-1} : F^p C^{p+q-1}/F^{p+1} C^{p+q-1} \rightarrow F^p C^{p+q}/F^{p+1} C^{p+q}},</math>
<math>E_1 = \bigoplus_{p,q\in\mathbf{Z}} E_1^{p,q}.</math>

Die Filtrierung auf dem Kettenkomplex induziert eine Filtrierung auf der Homologie und wir können die assoziierte graduierte Kohomologie definieren:

<math display>GrH(C^\bullet) = \bigoplus_{p,q}Gr^pH^q(C^\bullet)</math> mit <math>Gr^pH^q(C^\bullet) = F^pH^{q}(C^{\bullet})/F^{p+1}H^{q}(C^{\bullet}).</math>

Hat nun die Filtrierung nur Länge 1, dann ist <math>E_1^{p,q}=H^{p+q}(F^pC^{\bullet})</math> (also die Homologie des assoziierten graduierten Objektes) isomorph zur assoziierten graduierten Kohomologie <math>Gr^p(H^{p+q}(C^\bullet))=F^pH^{p+q}(C^{\bullet})/F^{p+1}H^{p+q}(C^{\bullet})</math><ref>Michael Hutchings: Introduction to spectral sequences. 28. April 2011 (berkeley.edu [PDF]).</ref>. Im Allgemeinen machen wir dabei aber einen Fehler, da das Differential Elemente in der Filtrierung nach oben schiebt. Wir fahren daher mit der Approximation fort und definieren:

<math>Z_r^{p,q} = \{x \in F^pC^{p+q}|dx \in F^{p+r}C^{p+q+1}\},</math>
<math>E_r^{p,q} = \frac{Z_r^{p,q}}{d(Z_{r-1}^{p-r+1,q+r-2}) + Z_{r-1}^{p+1,q-1}}.</math>

Beachte, dass auch <math>E_0^{p,q}</math> und <math>E_1^{p,q}</math> auf diese Weise geschrieben werden können. Das Differential <math>d_r</math> auf der r-ten Seite <math>E_r</math> ist dabei jeweils durch das ursprüngliche Differential <math> d </math> induziert. Es kann nun nachgerechnet werden, dass die entsprechende Homologie isomorph zu <math> E_{r+1} </math> ist<ref>Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Nr. 211). Überarbeitete 3. Auflage. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X, S. 821.</ref>, das heißt <math> \{E_r, d_r\} </math> ist eine Spektralsequenz.

Anwendung[Bearbeiten]

Doppelkomplex[Bearbeiten]

Eine weitere Konstruktion ist die Spektralsequenz eines Doppelkomplexes <math display="inline"> (C, d', d) </math>, bestehend aus einem bigraduierten Objekt <math display="inline"> C = \bigoplus_{p,q \geq 0}C^{p,q} </math> mit zwei Differentialen <math display="inline"> d'\colon C^{p,q} \to C^{p+1,q} </math> und <math display="inline"> d\colon C^{p,q} \to C^{p,q+1} </math>, also <math display="inline"> d'^2 = d^2=0 </math>. Die Differentiale sollen zudem antikommutieren,, d. h. <math display="inline"> d'd+ dd'=0</math>. Der assoziierte einfache Komplex <math display="inline"> (Tot(C^{\bullet}), D) </math> ist definiert durch

<math> C^i = \bigoplus_{p+q=i}C^{p,q} </math> mit <math> D = d' + d </math>

Wir wollen <math display="inline"> H'^i(H^j(C^{\bullet,\bullet})) </math> und <math display="inline"> H^j(H'^i(C^{\bullet,\bullet})) </math> vergleichen, indem wir nun zwei Filtrierungen betrachten:

<math> 'F^iC^n = \bigoplus_{p+q=n \atop p \geq i} C^{p,q} </math> und
<math> F^jC^n = \bigoplus_{p+q=n \atop q \geq j} C^{p,q} </math>.

Dann existieren zwei Spektralsequenzen mit

<math>('E_2)^{p,q} = H'^p(H^q(C^{\bullet,\bullet}))</math> und
<math>(E_2)^{p,q} = H^q(H'^p(C^{\bullet,\bullet})),</math>

wobei gilt <math> 'E_2^{p,q} \Longrightarrow H(Tot(C^{\bullet}), D) </math> und <math> E_2^{p,q} \Longrightarrow H(Tot(C^{\bullet}), D) </math><ref>Allen Hatcher: Algebraic Topology - Spectral Sequences. 2001, Kap. 5.</ref>.

Beispiele[Bearbeiten]

Erster-Quadrant-Spektralsequenz[Bearbeiten]

Betrachten wir eine Spektralsequenz, bei der <math display="inline">E_r^{p,q}</math> verschwindet für alle <math> p </math> kleiner als ein <math> p_0 </math> und für alle <math> q </math> kleiner als ein <math> q_0 </math>. Für <math> p_0, q_0 = 0 </math> sprechen wir von einer Erster-Quadrant-Spektralsequenz. Bei dieser Sequenz gilt <math display="inline"> E_{r+i}^{p,q} = E_r^{p,q} </math> für alle <math> i\geq 0 </math>, wenn <math> r>p </math> und <math> r>q+1 </math> (im Englischen würde man also sagen, 'the spectral sequence abuts', siehe Konvergenz). Beachte hierfür, dass entweder das Bild oder das Urbild der Randoperatoren in den genannten Fällen null ist. Die Spektralsequenz muss allerdings nicht degenerieren, da nicht alle Differentiale gleichzeitig null sein müssen. Bildlich gesprochen stabilisiert sich die Spektralsequenz in einem wachsenden Viereck. Ähnlich funktionieren auch die Fälle für <math> p_0, q_0 \ge 0 </math>.

Fünfterm exakte Sequenz[Bearbeiten]

Sei <math>\{E_r\}</math> eine bigraduierte Erster-Quadrant-Spektralsequenz. Dann ist die Sequenz

<math>0 \to E^{1,0}_2 \to E^1 \to E^{0,1}_2 \overset{d}{\to} E^{2,0}_2 \to E^2</math>

exakt. Sie wird Fünfterm exakte Sequenz genannt.

Leray-Serre-Spektralsequenz[Bearbeiten]

Sei <math>F \rightarrow E \rightarrow B</math> eine Serre-Faserung mit einfach zusammenhängendem Basisraum <math>B</math>. Durch Weiterentwicklung von Lerays ursprünglichem Ansatz<ref>Saunders Mac Lane: Homology (= Classics in Mathematics). Nachdruck der 1975 Auflage. Springer-Verlag, Berlin 1995, ISBN 3-540-58662-8, S. 322.</ref> gewann Serre eine Spektralsequenz <math>H_p(B;H_q(F)) \Rightarrow H_{p+q}(E)</math>.<ref>Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge studies in advanced mathematics. Nr. 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5, S. 128.</ref> Serre benutzte seine Spektralsequenz, um die Homologie von Schleifenräumen zu studieren. Die Gysin-Sequenz folgt unmittelbar aus dieser Spektralsequenz.<ref>John McCleary: A User's Guide to Spectral Sequences (= Cambridge studies in advanced mathematics. Nr. 58). 2. Auflage. Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-56759-9, Kap. 5–6.</ref>

Grothendieck-Spektralsequenz[Bearbeiten]

Grothendieck entdeckte eine Spektralsequenz, die die abgeleiteten Funktoren einer Verknüpfung von zwei Funktoren berechnet. Seien <math>F \colon \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}</math> und <math>G \colon \mathcal{B} \rightarrow\mathcal{C}</math> zwei linksexakte Funktoren zwischen abelschen Kategorien, wobei <math>\mathcal{A}</math> und <math>\mathcal{B}</math> genügend viele injektive Objekte haben. Es gelte außerdem: Ist <math>I</math> ein injektives Objekt von <math>\mathcal{A}</math>, dann ist <math>F(I)</math> ein <math>G</math>-azyklisches Objekt von <math>\mathcal{B}</math>. Dann gibt es eine Spektralfolge <math>R^p G (R^q F(A)) \Rightarrow R^{p+q}(G \circ F)(A)</math> für jedes Objekt <math>A</math> von <math>\mathcal{A}</math>.<ref>Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Nr. 211). Überarbeitete 3. Auflage. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X, S. 821.</ref><ref name=WeibelGrothendieck>Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge studies in advanced mathematics. Nr. 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5, S. 150–151.</ref> Die entsprechende Aussage für linksabgeleitete Funktoren gilt ebenfalls.<ref name=WeibelGrothendieck/><ref>Tilman Bauer: Homologische Algebra und Gruppenkohomologie. Vorlesungsskript Wintersemester 2004/05. Universität Münster, 18. Juni 2008, S. 83, abgerufen am 12. Juli 2016 (überarbeitete Fassung).</ref>

Lyndon-Hochschild-Serre-Spektralsequenz[Bearbeiten]

Diese Spektralsequenz in der Gruppenkohomologie wurde von 1953 von Hochschild und Serre entdeckt, nach Vorarbeiten von Lyndon. Sie kann als Anwendungsbeispiel der Grothendieck-Spektralsequenz hergeleitet werden. Sei <math>G</math> eine Gruppe mit Normalteiler <math>N</math>, und sei <math>M</math> ein <math>\mathbb{Z}G</math>-Modul. Dann gibt es eine Spektralfolge <math>H^p(G/N; H^q(N;M)) \Rightarrow H^{p+q}(G,M)</math>.<ref>Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge studies in advanced mathematics. Nr. 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5, S. 195.</ref><ref>Tilman Bauer: Homologische Algebra und Gruppenkohomologie. Vorlesungsskript Wintersemester 2004/05. Universität Münster, 18. Juni 2008, S. 88, abgerufen am 12. Juli 2016 (überarbeitete Fassung).</ref>

Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz[Bearbeiten]

Sei <math>h^*</math> eine verallgemeinerte Kohomologietheorie und <math>X</math> ein CW-Komplex. Dann gibt es eine bedingt konvergierende Spektralsequenz <math>H^p(X;h^q(*)) \Rightarrow h^{p+q}(X)</math>, wobei mit <math>*</math> der topologische Raum gemeint ist, der aus genau einem Punkt besteht.<ref>John McCleary: A User's Guide to Spectral Sequences (= Cambridge studies in advanced mathematics. Nr. 58). 2. Auflage. Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-56759-9, S. 496.</ref><ref>George W. Whitehead: Elements of Homotopy Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Nr. 61). Springer-Verlag, New York 1978, ISBN 0-387-90336-4, Abschnitt XIII.6.</ref> Atiyah und Hirzebruch verwendeten diese Spektralsequenz im Fall der K-Theorie, einer verallgemeinerten Kohomologietheorie.<ref>M. F. Atiyah, F. Hirzebruch: Vector bundles and homogeneous spaces. In: Carl B. Allendoerfer (Hrsg.): Differential Geometry (= Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Nr. 3). American Mathematical Society, 1961, LCCN 62-005289, S. 7–38.</ref> Maunder benutzte Postnikow-Systeme, um eine Alternativkonstruktion der Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz zu geben, die eine bessere Beschreibung der Differentiale ermöglicht.<ref>C. R. F. Maunder: The spectral sequence of an extraordinary cohomology theory. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Band 59, Nr. 3, Juli 1963, ISSN 0305-0041, S. 567–574. </ref><ref>Daniel Grady, Hisham Sati: Spectral sequences in smooth generalized cohomology. 11. Mai 2016, arxiv:1605.03444v1.</ref>

Weitere wichtige Spektralsequenzen[Bearbeiten]

Topologie und Geometrie[Bearbeiten]

Homotopietheorie[Bearbeiten]

Algebra[Bearbeiten]

Komplexe und algebraische Geometrie[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

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