Postnikow-Turm
Ein Postnikow-Turm oder Postnikow-System ist im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie eine Methode, einen gegebenen topologischen Raum in Eilenberg-MacLane-Räume zu zerlegen, was zum Beispiel die Berechnung seiner Homologiegruppen mittels Spektralsequenzen ermöglicht.
Definition[Bearbeiten]
Es sei <math>X</math> ein gegebener topologischer Raum. Ein Postnikow-Turm von <math>X</math> ist eine Folge
- <math>\ldots \to Y_n\to Y_{n-1}\to\ldots\to Y_2\to Y_1</math>
von Abbildungen topologischer Räume mit folgenden Eigenschaften:
- für alle <math>n</math> ist <math>Y_n\to Y_{n-1}</math> eine Faserung
- für alle <math>k>n </math> ist <math>\pi_kY_n=0</math>
- für alle <math>k\le n</math> ist <math>\pi_kY_n=\pi_kX</math>.
Eigenschaften[Bearbeiten]
- Ein Postnikow-Turm existiert für jeden zusammenhängenden Raum. Für CW-Komplexe <math>X</math> sind die Räume im Postnikow-Turm bis auf Homotopieäquivalenz eindeutig bestimmt, sonst nur bis auf schwache Homotopieäquivalenz.
- Man erhält <math>Y_n</math> (bis auf Homotopieäquivalenz) aus <math>X</math>, indem durch Ankleben von Zellen der Dimensionen <math>\ge n+2</math> an <math>X</math> die Homotopiegruppen in Graden <math>\ge n+1</math> "getötet" werden. (Indem man die Inklusion <math>Y_{n+1}\to Y_n</math> durch ihren Abbildungskegel ersetzt, erhält man eine Faserung, ohne den Homotopietyp zu ändern.)
- Falls <Math>X</Math> ein CW-Komplex ist, dann ist <math>Y_1</math> ein Eilenberg-MacLane-Raum <math>K(\pi_1X,1)</math> und die Faser der Faserung <math>Y_n\to Y_{n-1}</math> ist ein Eilenberg-MacLane-Raum <math>K(\pi_nX,n)</math>.
- Die Abbildung von <math>X</math> in den projektiven Limes <math>\varprojlim_{n\in \N} Y_n</math> ist eine schwache Homotopieäquivalenz.
- Falls die Wirkung von <math>\pi_1X</math> auf <math>\pi_nX</math> für <math>n>1</math> trivial ist, lassen sich die Faserungen <math>Y_n\to Y_{n-1}</math> als Hauptfaserbündel realisieren.
Siehe auch[Bearbeiten]
Literatur[Bearbeiten]
- M. M. Postnikow: Determination of the homology groups of a space by means of the homotopy invariants. In: Doklady Akad. Nauk SSSR. (N.S.) 76, 1951, 359–362. (russisch)
- R. Bott, L. W. Tu: Differential forms in algebraic topology. (= Graduate Texts in Mathematics. 82). Springer-Verlag, New York / Berlin 1982, ISBN 0-387-90613-4.
- Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X.
- P. Griffiths, J. Morgan: Rational homotopy theory and differential forms. (= Progress in Mathematics. 16). 2. Auflage. Springer, New York 2013, ISBN 978-1-4614-8467-7.