Whitehead-Turm

In der Mathematik ist der Whitehead-Turm eines topologischen Raumes ein Hilfsmittel bei der Berechnung von Homotopiegruppen.

Definition

Es sei <math>X</math> ein gegebener topologischer Raum. Ein Whitehead-Turm von <math>X</math> ist eine Folge

<math>\ldots \to X_n\to X_{n-1}\to\ldots\to X_2\to X_1\to X_0=X</math>

von Abbildungen topologischer Räume mit folgenden Eigenschaften:

• für alle <math>n</math> ist <math>X_n\to X_{n-1}</math> eine Faserung, deren Faser ein Eilenberg-MacLane-Raum <math>K(\pi_nX,n-1)</math> ist
• <math>X_n</math> ist <math>n</math>-zusammenhängend, d. h. für alle <math>k\le n </math> ist <math>\pi_kX_n=0</math>
• für alle <math>k> n</math> ist <math>\pi_kX_n=\pi_kX</math>.

Konstruktion

<math>X_1</math> ist die universelle Überlagerung von <math>X</math>.

<math>X_n</math> wird aus <math>X_{n-1}</math> wie folgt konstruiert. Zunächst kann man <math>X_{n-1}</math> in einen Raum <math>Y_n</math> vom schwachen Homotopietyp des <math>K(\pi_nX,n)=K(\pi_nX_{n-1},n)</math> einbetten, indem man sukzessive alle Homotopiegruppen der Dimensionen <math>n+1,n+2,\ldots</math> durch Ankleben von Zellen der Dimensionen <math>n+2,n+3,\ldots</math> „tötet“. Dann definiert man <math>X_n=\Omega_*^{X_{n-1}}\subset \Omega K(\pi_nX,n)</math> als Raum aller Wege in <math>K(\pi_nX,n)</math>, die in einem Basispunkt <math>*</math> starten und in <math>X_{n-1}</math> enden.

Die "Endpunkt"-Projektion <math>X_n\to X_{n-1}</math> ist eine Faserung, deren Faser der Schleifenraum <math>\Omega Y_n</math> ist. Dieser hat den schwachen Homotopietyp eines <math>K(\pi_nX,n-1)</math>.

Falls <math>X</math> ein CW-Komplex ist, dann ist die Faser ein CW-Komplex und insbesondere also nach dem Satz von Whitehead ein <math>K(\pi_nX,n-1)</math>. Falls zusätzlich die höheren Homotopiegruppen <math>\pi_kX, k\ge 2</math> endlich erzeugt sind, dann ist der <math>K(\pi_nX,n-1)</math> homotopieuaquivalent zu einer topologischen abelschen Gruppe und die Konstruktion lässt sich so durchführen, dass für <math>n>1</math> die Faserungen <math>X_n\to X_{n-1}</math> Prinzipalbündel mit abelscher Strukturgruppe sind.

Siehe auch

• Postnikow-Turm

Literatur

• H. Cartan, J.-P. Serre: Espaces fibrés et groupes d'homotopie. I. Constructions générales. C. R. Acad. Sci. Paris 234, (1952).
• G. W. Whitehead: Fiber spaces and the Eilenberg homology groups. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 38, (1952). 426–430. PMC 1063578 (freier Volltext)
• R. Bott, L. Tu: Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. ISBN 0-387-90613-4.