Relativ innerer Punkt

Der Begriff Relativ Innerer Punkt ist ein topologischer Begriff, der in der Mathematischen Optimierung gebraucht wird.

Definition

Es sei <math> M </math> eine Teilmenge eines <math> n </math> -dimensionalen reellen Vektorraums <math> V </math>, <math> \operatorname{aff}(M) </math> die affine Hülle von <math> M </math> in <math> V </math>. Dann heißt ein Punkt <math> x </math> aus <math> M </math> ein relativ innerer Punkt von <math> M </math>, wenn es eine Umgebung <math> U_\epsilon(x) </math> von <math> x </math> gibt, so dass <math> U_\epsilon(x) \cap \operatorname{aff}(M) \subset M </math> gilt. Die relativ inneren Punkte von <math> M </math> sind also genau die inneren Punkte bezüglich der Unterraumtopologie von <math> \operatorname{aff}(M) </math>. Die Menge aller relativ inneren Punkte heißt das relativ Innere der Menge <math> M </math> und wird mit <math> \operatorname{relint}(M) </math> bezeichnet.

Datei:InnererPunkt.png

Unterschied zwischen innerem Punkt und relativ innerem Punkt einer Menge

Beispiele

Quader

Wir betrachten einen Quader im dreidimensionalen (reellen) Raum. Dann gilt:

• Ein Punkt im Inneren des Quaders ist relativ innerer Punkt des Vollquaders.
• Ein Punkt auf einer Seitenfläche des Quaders (nicht auf einer Kante) ist relativ innerer Punkt der betreffenden Seitenfläche, aber nicht des Vollquaders.
• Ein Punkt auf einer Kante des Quaders, der kein Eckpunkt des Quaders ist, ist relativ innerer Punkt der betreffenden Kante, aber weder einer Seitenfläche noch des Vollquaders.
• Ein Eckpunkt des Quaders ist relativ innerer Punkt der aus dem Eckpunkt bestehenden Einermenge, aber sonst in keiner anderen Teilmenge des Quaders ein relativ innerer Punkt.

Kreisscheibe

Wir betrachten eine abgeschlossene Kreisscheibe im dreidimensionalen (reellen) Raum. Dann gilt:

• Die affine Hülle der Kreisscheibe ist die Ebene im Raum, in der der Kreis liegt.
• Die Punkte der Kreislinie sind für die Kreisscheibe keine relativ inneren Punkte.
• Alle anderen Punkte der Kreisscheibe sind relativ innere Punkte.

Kurve in der Ebene

Sei <math>C</math> eine Kurve in der Ebene. Formal: <math>C</math> sei das Bild einer stetigen Funktion <math> f\colon I\rightarrow\mathbb{R}^2</math> auf einem Intervall <math>I\subseteq\mathbb R</math>.

Ein Punkt <math>f(t)</math> auf der Kurve, der weder ihr Anfangs- noch ihr Endpunkt ist (das heißt, <math>t</math> liegt im Inneren von <math>I</math>), ist genau dann ein relativ innerer Punkt der Kurve, wenn die Kurve in einer Umgebung von <math>t</math> geradeaus geht. Falls die Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>t</math> zweimal differenzierbar ist, bedeutet dies, dass die Kurve dort die Krümmung 0 hat.