SIS-Modell
Als SIS-Model bezeichnet man in der mathematischen Epidemiologie, einem Teilgebiet der Theoretischen Biologie, einen semi-realistischen Ansatz zur Beschreibung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten ohne Immunitätsbildung. Dieser Artikel benutzt die Differentialgleichungen. Ein einführender Artikel mit elementarer Mathematik findet sich bei Mathematische Modellierung der Epidemiologie.
Voraussetzungen[Bearbeiten]
Beim SIS-Modell werden zwei Gruppen von Individuen unterschieden: Zum Zeitpunkt <math>t</math> bezeichnet <math>S(t)</math> die Anzahl der Gesunden (susceptible individuals) und <math>I(t)</math> die Zahl der Infizierten (infectious individuals). Weiterhin sei <math>N</math> die Gesamtzahl der Individuen. Das SIS-Modell kann dann für Krankheiten verwendet werden, die folgende Eigenschaften aufweisen:
- Jedes Individuum geht nach der Heilung der Krankheit sofort wieder in die Gruppe der Gesunden über und kann erneut angesteckt werden.
- Infizierte sind sofort ansteckend.
- Gesunde erkranken mit der linearen Rate <math>c</math>.
- Infizierte genesen mit der linearen Rate <math>\omega</math>.
- Jede Gruppe interagiert miteinander mit derselben Wahrscheinlichkeit. Dies rechtfertigt die Annahme linearer Zusammenhänge.
- Alle Parameter bleiben im biologisch sinnvollen Bereich, also <math>S(t),I(t)\in[0,\infty)</math>.
Differentialgleichungen des SIS-Modells[Bearbeiten]
Die Ausbreitung der betrachteten Krankheit wird meist in Form von gewöhnlichen Differentialgleichungen formuliert:
<math display="block"> \begin{align} \frac{\mathrm{d}S} {\mathrm{d}t} &= -cIS + \omega I\\
\frac{\mathrm{d}I} {\mathrm{d}t} &= cIS -\omega I .
\end{align} </math>Aus den Gleichungen folgt die Erhaltung der Populationsgröße:
<math display="block">\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=0\Rightarrow N=I(t)+S(t)=\text{const.}</math>
Wegen <math>S(t)=N-I(t)</math> lässt sich das SIS-Modell vollständig durch
<math display="block">\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=cI(N-I)-\omega I=(cN-\omega)I-cI^2</math>beschreiben. Definiere <math>A=cN-\omega</math>, wodurch sich die DGL als <math>\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=(A-cI)I</math> schreiben lässt.
Lösungen der Differentialgleichung[Bearbeiten]
Durch Trennung der Variablen folgt: <math>\frac{\mathrm{d}I}{(A-cI)I}=\mathrm{d}t</math>, woraus durch eine einfache Partialbruchzerlegung und Integration die Funktion <math>I(t)</math> mit der Anfangsbedingung <math>I(0)=I_0>0</math> folgt:<math display="block">I(t)=\frac{AI_0e^{At}}{A+cI_0\left(e^{At}-1\right)}.</math>Die Zahl der Gesunden <math>S(t)</math> folgt durch <math>S(t)=N-I(t)</math> aus der Lösung für <math>I(t)</math>.
Analyse der DGLs durch dimensionslose Größen[Bearbeiten]
Zur Vereinfachung der Analyse geht man zu dimensionslosen Größen über: <math> u_1 := \frac{S}{N} , u_2 := \frac{I}{N} , \theta = \omega t, r:= \frac{cN}{\omega}</math><math display="block"> \begin{align} \frac{du_1} {d\theta} &= -ru_1u_2 + u_2\\ \frac{du_2} {d\theta} &= ru_1u_2 - u_2 \end{align} </math>
Die Änderung <math> \frac{du_2} {d\theta} </math> kann nach oben abgeschätzt werden durch: <math> \frac{du_2} {d\theta} = ru_2 - u_2 = (r-1)u_2 </math>.
Diese vereinfachte Differentialgleichung führt für r < 1 auf einen exponentiellen Abfall, damit verschwindet die Krankheit vollständig aus der Population. Für r > 1 wird auf lange Sicht der Fixpunkt <math> (\frac{1}{r},1-\frac{1}{r})</math> angestrebt. Die Krankheit bleibt verbreitet.
Abgrenzungen zu weiteren Modellen[Bearbeiten]
Neben dem SIS-Modell gibt es in der Epidemiologie weitere einfache Modelle, die mit gewöhnlichen Differentialgleichungen beschrieben werden können. Das sind insbesondere die folgenden:
- Das SIS-Modell stellt eine Erweiterung zum SI-Modell dar, bei dem Individuen nicht gesunden können.
- Eine alternative Erweiterung ist das SIR-Modell, bei dem Individuen immun gegen die Krankheit werden.
Siehe auch[Bearbeiten]
- SI-Modell (Ansteckung ohne Gesundung)
- SIR-Modell (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung)
- SEIR-Modell (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung, bei denen Infizierte nicht sofort infektiös sind)
- Basisreproduktionszahl
- Dynamisches System (mathematischer Oberbegriff)
Literatur[Bearbeiten]
- Nicholas F. Britton: Essential Mathematical Biology. Springer
- Sebastian Möhler: Ausbreitung von Infektionskrankheiten. (tu-Freiburg [PDF; abgerufen am 12. März 2020]).