Salinon
Das Salinon (griechisch vermutlich für „Salzfässchen“<ref>Zur Namensherkunft vgl. Archimedes’ Werke. Mit modernen Bezeichnungen hrsg. von Sir Thomas L. Heath. Deutsch von Dr. Fritz Kliem. Berlin: Häring, 1914, S. 21–23, Anm. 3.</ref>) ist eine aus vier Halbkreisen gebildete, spiegelsymmetrische geometrische Figur. Sie wurde erstmals vermutlich durch Archimedes in seinem Buch der Lemmata beschrieben.
Konstruktion[Bearbeiten]
<math>O</math> sei der Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems. Auf der <math>x</math>-Achse liegen außen die beiden Punkte <math>A</math> und <math>B</math> (jeweils mit gleichem Abstand zu <math>O</math>) und innen die Punkte <math>D</math> und <math>E</math> (ebenfalls mit gleichem Abstand zu <math>O</math>); damit ist <math>\overline{AD} = \overline{EB}</math>. Man errichte einen Halbkreis über <math>AB</math>, sowie zwei kleinere, gleich große Halbkreise über <math>AD</math> und <math>EB</math>. Schließlich zeichne man einen vierten Halbkreis unter <math>DE</math>. Das Salinon ist die durch diese vier Halbkreise begrenzte Figur (blau in der Abbildung). Sie schneidet die <math>y</math>-Achse in den Punkten <math>C</math> und <math>F</math>.
Eigenschaften[Bearbeiten]
Archimedes beschrieb die Eigenschaften des Salinon als Satz 14 in seinem Buch der Lemmata unter Bezug auf Euklids Elemente, Buch 2, Proposition 10.
Bezeichnet man den Radius des großen Halbkreises (<math>\frac{\overline{AB}}{2} = \overline{AO}</math>) mit <math>R</math> und den des kleinen, mittleren Halbkreises (<math>\frac{\overline{DE}}{2} = \overline{DO}</math>) mit <math>r</math>, so gilt für die Fläche <math>A</math> des Salinon:
- <math>A=\frac{1}{4}\pi\left(R+r\right)^2.</math>
Beweis:
- Aus dem Ansatz
- <math>A=\frac{\pi r^2}{2}+\frac{\pi R^2}{2}-\pi\left(\frac{R-r}{2}\right)^2</math>
- folgt nach einigen elementaren Termumformungen die obige Aussage.
Weiterhin lässt sich hieraus folgern, dass der Kreis mit dem Durchmesser <math>\overline{CF}</math> (rot in der Abbildung) denselben Flächeninhalt hat wie das Salinon.
Beweis:
- Der Durchmesser dieses Kreises ist die Summe aus dem Radius <math>R</math> des Halbkreises über <math>AB</math> und dem Radius <math>r</math> des Halbkreises über <math>DE</math>, also beträgt sein Radius
- <math>\frac{R+r}{2}</math>
- und somit seine Flächenmaßzahl
- <math>\pi\left(\frac{R+r}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\pi\left(R+r\right)^2</math>.
Darüber hinaus hat das Salinon folgende weiteren Eigenschaften:
- Die Punkte auf den vier Halbkreisen mit dem jeweils größten Abstand zur <math>x</math>-Achse (darunter <math>C</math> und <math>F</math>) bilden ein Quadrat.
- Wenn der Durchmesser des Halbkreises unter <math>DE</math> zu Null wird (die Punkte <math>D</math> und <math>E</math> also in <math>O</math> zusammenfallen), geht das Salinon in einen zur <math>y</math>-Achse spiegelsymmetrischen Arbelos über, eine weitere Figur aus Halbkreisen, deren Untersuchung Archimedes zugeschrieben wird.
Siehe auch[Bearbeiten]
Literatur[Bearbeiten]
- Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie – Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 156/157
Weblinks[Bearbeiten]
- Eric W. Weisstein: Salinon. In: MathWorld (englisch).
- Alexander Bogomolny: Salinon: From Archimedes’ Book of Lemmas. In: Cut The Knot (englisch)
- Jürgen Köller: Salinon. In: Mathematische Basteleien
Einzelnachweise[Bearbeiten]
<references />