Satz von Dold

In der Mathematik ist der Satz von Dold eine Verallgemeinerung des Satzes von Borsuk-Ulam, der zahlreiche Anwendungen in der topologischen Kombinatorik besitzt.

Satz von Dold

Wenn eine stetige Abbildung

<math>f\colon S^m\to S^n</math>

äquivariant für freie Wirkungen einer nichttrivialen endlichen Gruppe auf den Sphären <math>S^m</math> und <math>S^n</math> ist, dann ist

<math>n\ge m</math>.

Wenn <math>n=m</math> ist, dann ist <math>f</math> nicht nullhomotop.

Spezialfall: Satz von Borsuk-Ulam

Wenn man <math>G=\Z/2\Z</math> und ihre Wirkung per Antipodenabbildung

<math>x\to -x</math>

auf <math>S^m</math> und <math>S^n</math> betrachtet, dann erhält man aus dem Satz von Dold die folgende Variante des Satzes von Borsuk-Ulam.

Für <math>m>n</math> gibt es keine stetige Abbildung

<math>f\colon S^m\to S^n</math>,

die

<math>f(-x)=-f(x)</math>

für alle <math>x\in S^m</math> erfüllt.

Verallgemeinerung

Eine nichttriviale endliche Gruppe <math>G</math> wirke auf einem Raum <math>X</math> und frei auf einem Raum <math>Y</math>.

Für die Dimension <math>n:=\mathrm{dim}(Y)</math> gelte <math>\pi_0X=\pi_1X=\ldots=\pi_{n-1}X=\pi_nX=0</math>.

Dann gibt es keine stetige <math>G</math>-äquivariante Abbildung <math>f\colon X\to Y</math>.

Geschichte

Der Satz wurde 1983 von Albrecht Dold veröffentlicht.<ref>Dold, op. cit., S. 65</ref> Die Verallgemeinerung (unter der Annahme, dass auch die Wirkung auf <math>X</math> frei ist) wurde ebenfalls von Dold mit der Bemerkung "Essentially the same proof gives the following result." formuliert.<ref>Dold, op. cit., S. 68</ref> Er bemerkte weiterhin, dass für <math>Y</math> parakompakt und <math>\mathrm{dim}(Y)=1+\mathrm{conn}(X)<\infty</math><ref>Die Konnektivität <Math>\mathrm{conn}(X)</Math> eines topologischen Raumes ist die größte Zahl <Math>m</Math>, für die <math>\pi_0X=\pi_1X=\ldots=\pi_mX=0</Math> gilt.</ref> eine äquivariante stetige Abbildung nicht nullhomotop sein kann.

Ein Beweis der Verallgemeinerung findet sich in <ref>Blagojević et al., op. cit.</ref>.

Literatur

• Albrecht Dold: Simple proofs of some Borsuk-Ulam results. Proceedings of the Northwestern Homotopy Theory Conference (Evanston, Ill., 1982), 65–69, Contemp. Math., 19, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1983. online
• Pavle Blagojević, Aleksandra Dimitrijević Blagojević, John McCleary: Spectral sequences in combinatorial geometry: cheeses, inscribed sets, and Borsuk-Ulam type theorems. Topology Appl. 158 (2011), no. 15, 1920–1936. online

Einzelnachweise

<references />