Satz von Halmos-Savage

Der Satz von Halmos-Savage ist ein Lehrsatz der mathematischen Statistik, der bei Vorliegen einer dominierten Verteilungsklasse ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Suffizienz von σ-Algebren (und damit auch von Statistiken) liefert. Damit ist der Satz von Halmos-Savage ein Hilfsmittel, um zu überprüfen, ob gewisse Funktionen eine Datenkompression ohne Informationsverlust ermöglichen. Aus dem Satz von Halmos-Savage lässt sich das leichter zu handhabende Neyman-Kriterium für Suffizienz ableiten. Ebenso lassen sich aus dem Satz Kriterien für die Existenz von minimalsuffizienten σ-Algebren ableiten.

Der Satz wurde 1949 von Paul Halmos und Leonard J. Savage bewiesen.<ref>Halmos, Savage: Application of the Radon-Nikodym Theorem to the Theory of Sufficient Statistics, Annals of Mathematical Statistics, Band 20, 1949, S. 225–241, Project Euclid</ref>

Rahmenbedingungen

Gegeben sei ein statistisches Modell <math> (X, \mathcal A, \mathcal P) </math> mit einer dominierten Verteilungsklasse <math> \mathcal P </math>.

Für eine beliebige Verteilungsklasse <math> \mathcal P </math> sei <math> \mathcal N_{\mathcal P} </math> die Menge aller <math> \mathcal P</math>-Nullmengen. Für eine dominierte Verteilungsklasse existiert nun immer ein dominierendes <math> P^* </math>, so dass <math> \mathcal N_{\mathcal P}= \mathcal N_{P^*} </math> und <math> P^* </math> eine abzählbare Konvexkombination mit echt positiven Koeffizienten von Elementen aus <math> \mathcal P </math> ist. Es gilt also

<math> P^*=\sum_{i=1}^\infty \alpha_i P_i \text{ mit } \alpha_i > 0 \text{ und } \sum_{i=1}^\infty \alpha_i =1 </math>.

Aussage

Sei <math> \mathcal P </math> eine dominierte Verteilungsklasse und <math> P^* </math> wie oben angegeben. Dann ist eine Unter-σ-Algebra <math> \mathcal S </math> von <math> \mathcal A </math> genau dann suffizient, wenn für alle <math> P \in \mathcal P </math> eine Funktion <math> f_P \in \mathcal L(X, \mathcal S) </math> existiert, so dass <math> f_P </math> <math> P^*</math>-fast sicher die Radon-Nikodým-Ableitung von <math> P </math> bezüglich <math> P^* </math> ist, also

<math> f_P=\frac{\mathrm dP}{ \mathrm d P^*} \quad P^*\text{-fast sicher}</math>.

Beispiel

Seien <math> \mathcal S_1 \subset \mathcal S_2 \subset \mathcal A </math> σ-Algebren und sei <math> \mathcal S_1 </math> suffizient. Außerdem sei <math> \mathcal P </math> eine dominierte Verteilungsklasse. Dann existiert nach dem Satz von Halmos-Savage ein <math> f_P </math>, so dass <math> f_P \in \mathcal L(X, \mathcal S_1) </math> und

<math> f_P=\frac{\mathrm dP}{ \mathrm d P^*} \quad P^*\text{-fast sicher}</math>.

Da aber <math> L(X, \mathcal S_1) \subset L(X, \mathcal S_2) </math> ist, gilt <math> f_P \in L(X, \mathcal S_2) </math>. Da <math> f_P </math> immer noch die Dichten-Eigenschaft erfüllt, ist mit nochmaliger Anwendung des Satzes auch <math> \mathcal S_2 </math> suffizient.

Man beachte, dass diese Aussage im Allgemeinen nicht gilt und dies eines der Defizite des Suffizienzbegriffs darstellt.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3. 

Einzelnachweise

<references />