Separationsansatz
Der Separationsansatz dient der Lösung partieller Differentialgleichungen mit mehreren Variablen. Der Produktansatz ist ein Spezialfall.
Allgemeines[Bearbeiten]
Man nimmt an, dass sich die Lösung durch eine Trennungsfunktion <math>\varphi(a,b)</math> auf folgende Weise trennen lässt
- <math>u(t,x) = \varphi(X(x),T(t)),</math>
wobei <math>X</math> und <math>T</math> geeignete Funktionen sind.
Produktansatz[Bearbeiten]
Beim Produktansatz wählt man als Trennungsfunktion <math>\varphi(a,b)=ab</math>, so dass sich die Lösung als ein Produkt der Form
- <math>u(t,x) = X(x) T(t)</math>
darstellen lässt. Durch Ableiten und Einsetzen der separierten Funktionen <math>X</math> und <math>T</math> in die Ausgangsfunktion erhält man einen Ausdruck
- <math>\Phi(x, X, X',X) = \lambda = \Psi(t, T, T', T) </math>
Diese Gleichung lässt sich in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen überführen, die mit Hilfe der Randbedingungen lösbar sind. Die gefundene Lösung muss nicht die einzige Lösung der Ausgangsfunktion sein.
Beispiel[Bearbeiten]
Zu lösen sei die eindimensionale Wellengleichung
- <math>\frac{\partial^{2}y(x,t)}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2}y(x,t)}{\partial x^{2}}</math>.
die beispielsweise Longitudinalwellen in einem elastischen Stab beschreibt. Der Separationsansatz mit <math>y(x,t)=f(x)g(t)</math>:
- <math>\frac{\partial^{2}f(x)g(t)}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2}f(x)g(t)}{\partial x^{2}}</math>
führt auf
- <math>f(x) \frac{\mathrm d^{2} g(t)}{\mathrm d t^{2}} =c^{2} \frac{\mathrm d^{2} f(x)}{\mathrm d x^{2}} g(t)</math>
Nun folgt die „Separation der Variablen“ mit Division durch <math>f(x)g(t)</math> mit der Annahme <math>y(x,t)\neq 0</math> im Inneren der Fläche.
- <math> \frac{1}{g(t)} \frac{\mathrm d^{2}g(t)}{\mathrm dt^{2}} = c^{2} \frac{1}{f(x)} \frac{\mathrm d^{2} f(x)}{\mathrm d x^{2}} </math>
Vereinfachung der Notation <math>f(x) = \tfrac{\mathrm d^{2} f(x)}{\mathrm d x^{2}}</math> und <math>g(t) = \tfrac{\mathrm d^{2}g(t)}{\mathrm dt^{2}}</math> ergibt
- <math>\frac{g(t)}{g(t)} = c^{2} \frac{f(x)}{f(x)}</math>
Die Gleichung kann nur erfüllt sein, wenn beide Seiten der Gleichung konstant sind, da sie von verschiedenen Variablen abhängen. Also
- <math>\frac{g(t)}{g(t)} = c^{2} \frac{f(x)}{f(x)} = \lambda </math>
Dies führt auf die folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung
- <math>f(x) = \frac{\lambda}{c^{2}} f(x)</math>
- <math>g(t)= \lambda g(t)</math>,
die nun in Abhängigkeit vom Parameter <math>\lambda</math> und den Randbedingungen lösbar sind. Das Einsetzen der einzelnen Lösungen in <math>y(x,t)</math> ergibt die Lösung der partiellen Differentialgleichung.
Literatur[Bearbeiten]
- Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2008, ISBN 978-0-8218-0772-9 (Graduate studies in mathematics 19).