Spinorbündel

Ein Spinorbündel – auch Spinbündel<ref>Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Mit einem Ausblick auf die Seiberg-Witten-Theorie. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1997. ISBN 3-528-06926-0, S. 467–468.</ref> genannt – ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie beziehungsweise der globalen Analysis. Es ist eine spezielle Art eines Vektorbündels über einer Mannigfaltigkeit. Spinorbündel können nur für Spin-Mannigfaltigkeiten definiert werden. Dies sind spezielle riemannsche Mannigfaltigkeiten mit einer Spinstruktur auf dem Tangentialbündel. Ob ein Tangentialbündel mit einer Spinstruktur ausgestattet werden kann, kann durch die zweite Stiefel-Whitney-Klasse gemessen werden.

Der Raum der glatten Schnitte eines Spinorbündels wird auch als Raum der Spinoren oder Spinorfelder bezeichnet und dient als eine natürliche Definitionsmenge für den Dirac-Operator.

Das mathematische Teilgebiet, das sich mit Spinorbündeln und Spin-Mannigfaltigkeiten sowie mit verwandten Themen, wie zum Beispiel Dirac-Operatoren und deren Indextheorie beschäftigt, wird als Spin-Geometrie bezeichnet.<ref>spin geometry. In: nlab. Abgerufen am 31. März 2021 (). </ref>

Spinstruktur

Sei <math>(M,g)</math> eine riemannsche Mannigfaltigkeit und <math>\pi_E \colon E \to M</math> ein orientiertes hermitesches Vektorbündel der Dimension <math>n</math>. Mit <math>\operatorname{Spin}(n)</math> wird die Spin-Gruppe von <math>C\ell_n</math> bezeichnet. Sie kann als eine zweiblättrige Überlagerung <math>\tau_0 \colon \operatorname{Spin}(n) \to \operatorname{SO}(n)</math> der orthogonalen Gruppe <math>\operatorname{SO}(n)</math> aufgefasst werden. Eine Spinstruktur auf <math>E</math> ist ein <math>\operatorname{Spin}(n)</math>-Hauptfaserbündel <math>P_{\operatorname{Spin}}(E) \to E</math> zusammen mit einer zweiblättrigen Überlagerung

<math>

\tau \colon P_{\operatorname{Spin}}(E) \to P_{\operatorname{SO}}(E) </math>

des <math>\operatorname{SO}(n)</math>-Hauptfaserbündels <math>P_{\operatorname{SO}}(E)</math>, so dass <math>\tau(p g) = \tau(p) \tau_0(g)</math> für alle <math>p \in P_{\operatorname{Spin}}(E)</math> und alle <math>g \in \operatorname{Spin}(n)</math> gilt.<ref>H. B. Lawson, M. Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0-691-08542-5, S. 80.</ref>

Spin-Mannigfaltigkeit

Eine Spin-Mannigfaltigkeit ist eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit, die eine Spinstruktur auf ihrem Tangentialbündel erlaubt.<ref>H. B. Lawson, M. Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0-691-08542-5, S. 96.</ref>

Da die Stiefel-Whitney-Klasse einer Mannigfaltigkeit definiert ist als die Stiefel-Whitney-Klasse ihres Tangentialbündels ist, bedeutet das, dass eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit genau dann eine Spinstruktur zulässt, wenn <math>\omega_\text{2}(X)=0</math> gilt. Dann werden die verschiedenen Spinstrukturen von den Elementen von <math>H^1(X;\mathbb{Z}_\text{2})</math> bestimmt.<ref>H. B. Lawson, M. Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0-691-08542-5, S. 96–97.</ref>

Definition des Spinorbündels

Sei <math>(M,g)</math> eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit gerader Dimension und einer Spinstruktur <math>\pi \colon P_{\operatorname{Spin}}(M) \to TM</math> auf dem Tangentialbündel <math>TM</math>, also kurz eine Spin-Mannigfaltigkeit mit gerader Dimension. Sei <math>S</math> die Darstellung der komplexen Clifford-Algebra <math>\Complex l(n)</math> (auch Spinor-Modul genannt). Die <math>\operatorname{Spin}(n)</math>-Gruppe hat als Teilmenge von <math>\Complex l(n)</math> ebenfalls eine Darstellung <math>\rho \colon \operatorname{Spin}(n) \to \operatorname{End}(S)</math>.

Das Spinorbündel <math>\mathcal{S}</math> über der Mannigfaltigkeit <math>M</math> ist definiert als das assoziierte komplexe Vektorbündel<ref>Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 111.</ref>

<math>

\mathcal{S} := P_{\operatorname{Spin}}(M) \times_{\operatorname{Spin}(n)} S \,. </math>

Hierbei bezeichnet <math>\times_{\operatorname{Spin}(n)}</math> das Faserprodukt von <math>P_{\operatorname{Spin}}(M)</math> mit <math>S</math> über <math>\operatorname{Spin}(n)</math>. In diesem konkreten Fall bedeutet dies

<math>

P_{\operatorname{Spin}}(M) \times_{\operatorname{Spin}(n)} S = P_{\operatorname{Spin}}(M) \times S / \{(p \cdot g, f) \sim (p, \rho(g) f\} </math>

für <math>p \in P_{\operatorname{Spin}}(M)</math>, <math>g \in \operatorname{Spin}(n)</math> und <math>f \in S</math>.

Verallgemeinerung

Statt der Spin-Gruppe <math>\operatorname{Spin}(n)</math> können ebenso die Spinᶜ-Gruppe <math>\operatorname{Spin}^\mathrm{c}(n)</math> und Spinʰ-Gruppe <math>\operatorname{Spin}^\mathrm{h}(n)</math> betrachtet werden, welche aus dieser durch Vertwistung entstehen. Auch diese sind von großem Interesse. Etwa ergeben sich aus einer <math>\operatorname{Spin}^\mathrm{c}(4)</math>-Struktur zwei komplexe Ebenenbündel, welche gleiches Determinantenbündel und daher auch gleiche erste Chern-Klasse haben. Zusammen bilden diese ein Spinorbündel, dessen beide Teile jeweils negative und positive Chiralität von Spinoren beschreiben. Dadurch kann etwa die Dirac-Gleichung aus der relativistischen Quantenfeldtheorie betrachtet werden. Eine ganz andere Anwendung ergibt sich in der Seiberg-Witten-Theorie, bei welcher <math>\operatorname{Spin}^\mathrm{c}(4)</math>-Strukturen allgemeiner zur Untersuchung von 4-Mannigfaltigkeiten dienen können.

Wegen der kanonischen Inklusionen <math>\operatorname{Spin}(n)\hookrightarrow\operatorname{Spin}^\mathrm{c}(n)\hookrightarrow\operatorname{Spin}^\mathrm{h}(n)</math> (welche mit den Projektionen auf <math>\operatorname{SO}(n)</math> kompatibel sind) ist jede Spin- eine Spinᶜ-Struktur und jede Spinᶜ- eine Spinʰ-Struktur. Für beide Implikationen gelten die Umkehrungen nicht unbedingt. Im ersten Fall ist der zweite komplexe projektive Raum <math>\mathbb{C}P^2</math> und im zweiten Fall ist die Wu-Mannigfaltigkeit <math>\operatorname{SU}(3)/\operatorname{SO}(3)</math> ein Gegenbeispiel. Da Orientierbarkeit äquivalent zu einer verschwindenden ersten Stiefel-Whitney-Klasse und die Existenz einer Spin-Struktur äquivalent zu einer zusätzlich (zur Orientierbarkeit) verschwindenden zweiten Stiefel-Whitney-Klasse sind, lässt sich auch bei Spinᶜ- und Spinʰ-Strukturen untersuchen, welche charakteristischen Klassen eine Obstruktion darstellen. Im Falle der Spinᶜ-Struktur ist dies eine zusätzlich (zur Orientierbarkeit) verschwindende dritte integrale Stiefel-Whitney-Klasse, welche sich durch Komposition mit dem Bockstein-Homomorphismus ergibt. Im Falle der Spinʰ-Struktur kann keine einzelne Kohomologieklasse über deren Existenz entscheiden, da die Homotopiefaser von <math>\operatorname{Spin}^\mathrm{h}(n)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(n)</math> kein Eilenberg-MacLane-Raum ist. Ein Teil der Obstruktion ist jedoch eine verschwindende fünfte integrale Stiefel-Whitney-Klasse. Beide Beispiele zeigen, dass auch diese Strukturen weitreichende Verbindungen ausweisen.

Siehe auch

• String-Struktur

Literatur

• Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Mit einem Ausblick auf die Seiberg-Witten-Theorie. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1997, ISBN 3-528-06926-0. 

Einzelnachweise

<references />