Spitzenform
In der Zahlentheorie wird eine holomorphe Modulform <math>f</math> zur Modulgruppe <math>\Gamma=SL(2,\Z)</math> (manchmal wird auch <math>PSL(2,\Z)</math> als Modulgruppe definiert) als Spitzenform (engl.: cusp form) bezeichnet, wenn sie in der Spitze (cusp), das heißt für <math>Im \, z \to \infty</math> verschwindet.
Eine äquivalente Bedingung ist, dass der konstante Term <math>a_0=f(0)</math> in der Fourier-Entwicklung
- <math>f(z)=\sum a_n e^{2\pi in z} = \sum a_n q^n</math>
mit <math>q=e^{2\pi i z}</math>, verschwindet:
- <math>a_0=0</math>.
und keine negativen n in der Entwicklung vorhanden sind (die Modulform ist holomorph). Dann verschwindet <math>f</math> in der Spitze <math>q=0</math>.
Man kann auch Spitzenformen zu Kongruenzuntergruppen <math>\Gamma_*</math> der Modulgruppe betrachten, dann gibt es im Allgemeinen mehrere Spitzen, parametrisiert durch rationale Zahlen im Unendlichen. Das entspricht dem Grenzwert <math>\frac {a}{c}</math> für <math>z \to \infty</math> im Transformationsgesetz <math> z \to \frac {az+b}{cz+d}</math> der Modulform, wobei sich nur endliche viele Spitzen im Unendlichen ergeben als Repräsentant jeweils eines Orbits. Kompaktifiziert man den Quotientenraum der oberen Halbebene <math>\mathbb {H} \backslash \Gamma_*</math> durch Hinzunahme der Spitzen erhält man die Riemannsche Flächen der zugehörigen Modulkurven.
Spitzenformen mit gegebenem Gewicht[Bearbeiten]
Im Folgenden werden die Spitzenformen zur vollen Modulgruppe betrachtet. Aus der Definition folgt, dass es für ungerade Gewichte keine nicht-verschwindenden Spitzenformen gibt. Die Dimension des Raumes der Spitzenformen mit gegebenem Gewicht <math>k\in \Z</math> kann mit dem Satz von Riemann-Roch berechnet werden. Die kleinsten Gewichte, für die nichttriviale Spitzenformen existieren, sind
- <math>k=12,16,18,20,22,26</math>,
in allen diesen Fällen ist der Raum der Spitzenformen 1-dimensional, es gibt zu diesen Gewichten also jeweils eine bis auf Multiplikation mit komplexen Zahlen eindeutige Spitzenform. Allgemein ist die Dimension des Vektorraums der Spitzenformen zum Gewicht <math>k=2m</math> gleich <math>\left[\frac{m}{6}\right]-1</math> falls <math>m\equiv 1\ mod\ 6</math> ist und gleich <math>\left[\frac{m}{6}\right]</math> sonst.
Beispielsweise ist die bis auf Multiplikation mit komplexen Zahlen eindeutige Spitzenform zum Gewicht 12 die Diskriminante
- <math>\Delta(z)=(2\pi )^{12}\sum_{n=1}^{\infty} \tau(n)\,{\mathrm e}^{2\pi inz}</math>,
deren Fourier-Koeffizienten <math>\tau(n)</math> die Ramanujansche tau-Funktion definieren.
Die Fourier-Koeffizienten einer Spitzenform zum Gewicht <math>k=2m</math> verschwinden in <math>0</math> zur Ordnung <math>m</math>
- <math>a_n=O(n^k)</math>.
Das Petersson-Skalarprodukt auf dem Raum der Spitzenformen ist definiert durch
- <math>\langle f , g \rangle := \int_\mathrm{F} f(\tau) \overline{g(z)} (\operatorname{Im}z)^k {\rm d}\nu (z)</math>,
wobei <math>\mathrm{F} = \{ z \in \mathrm{H} | \left| \operatorname{Re}z \right| \leq \tfrac{1}{2}, \left| z \right| \geq 1 \}</math> der Fundamentalbereich der Modulgruppe <math>\Gamma</math> und <math>{\rm d}\nu(z) = y^{-2}{\rm d}x{\rm d}y</math> mit <math>z = x + iy</math> das hyperbolische Volumenelement ist.
Literatur[Bearbeiten]
- Tom Apostol: Modular functions and Dirichlet series in number theory. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 41. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-97127-0