Tangenssatz

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In der Trigonometrie stellt der Tangenssatz oder Tangentensatz eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines ebenen Dreiecks und dem Tangens der halben Summe bzw. der halben Differenz zweier Winkel des Dreiecks her.

Formulierung

Für die drei Seiten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> eines Dreiecks sowie für die diesen Seiten jeweils gegenüber liegenden Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> gilt:

<math>\frac{b + c}{b - c} = \frac{\tan \frac{\beta + \gamma}{2}}{\tan \frac{\beta - \gamma}{2}}</math><ref group="H">Die in Beziehung gesetzten Seiten <math>b</math> und <math>c</math> des Dreiecks seien dabei als unterschiedlich lang vorausgesetzt, so dass die beteiligten Nenner stets <math>\neq 0</math> sind. Entsprechendes gilt im Folgenden für alle weiteren Formeln.</ref>

Wegen

<math>\tan \frac{\beta + \gamma}{2} = \tan \frac{180^\circ - \alpha}{2} = \tan \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = \cot \frac{\alpha}{2}</math>

kann man diese Formel auch schreiben als

<math>\frac{b + c}{b - c} = \frac{\cot \frac{\alpha}{2}}{\tan \frac{\beta - \gamma}{2}}</math>

Analoge Formeln für <math>\frac{a + b}{a - b}</math> und <math>\frac{a + c}{a - c}</math> erhält man durch zyklische Vertauschung:

<math>\frac{a + b}{a - b} = \frac{\tan \frac{\alpha + \beta}{2}}{\tan \frac{\alpha - \beta}{2}} = \frac{\cot \frac{\gamma}{2}}{\tan \frac{\alpha - \beta}{2}}</math>

<math>\frac{c + a}{c - a} = \frac{\tan \frac{\gamma + \alpha}{2}}{\tan \frac{\gamma - \alpha}{2}} = \frac{\cot \frac{\beta}{2}}{\tan \frac{\gamma - \alpha}{2}}</math>

Wegen <math>\tan(-x) = -\tan(x)</math> bleiben diese Formeln gültig, wenn sowohl die Seiten als auch die zugehörigen Winkel vertauscht werden, also zum Beispiel:

<math>\frac{a + c}{a - c} = \frac{\tan \frac{\alpha + \gamma}{2}}{\tan \frac{\alpha - \gamma}{2}} = \frac{\cot \frac{\beta}{2}}{\tan \frac{\alpha - \gamma}{2}}</math>

Beweis

Beweis mit Sinussatz und Identitäten der Winkelfunktionen

Nach dem Sinussatz gilt <math>\tfrac{b}{c}=\tfrac{\sin\beta}{\sin\gamma}</math> und damit folgt

<math>\frac{b + c}{b - c} = \frac{\frac{b}{c} + 1}{\frac{b}{c} - 1} = \frac{\frac{\sin \beta}{\sin \gamma} + \frac{\sin \gamma}{\sin \gamma}}{\frac{\sin \beta}{\sin \gamma} - \frac{\sin \gamma}{\sin \gamma}} = \frac{\sin \beta + \sin \gamma}{\sin \beta - \sin \gamma}</math>

nach Einsetzen der Identitäten

<math>\sin \beta + \sin \gamma = 2 \cdot \sin \frac{\beta + \gamma}{2} \cdot \cos \frac{\beta - \gamma}{2}</math>

sowie

<math>\sin \beta - \sin \gamma = 2 \cdot \cos \frac{\beta + \gamma}{2} \cdot \sin \frac{\beta - \gamma}{2}</math>

die sich aus den Additionstheoremen ableiten lassen, ergibt sich durch Einsetzen in die obere Gleichung der Tangenssatz:

<math>\frac{b + c}{b - c} = \frac{\sin \beta + \sin \gamma}{\sin \beta - \sin \gamma} = \frac{2 \cdot \sin \frac{\beta + \gamma}{2} \cdot \cos \frac{\beta - \gamma}{2}}{2 \cdot \cos \frac{\beta + \gamma}{2} \cdot \sin \frac{\beta - \gamma}{2}} = \frac{\sin \frac{\beta + \gamma}{2}}{\cos \frac{\beta + \gamma}{2}} \cdot \frac{\cos \frac{\beta - \gamma}{2}}{\sin \frac{\beta - \gamma}{2}} = \tan \frac{\beta + \gamma}{2} \cdot \cot \frac{\beta - \gamma}{2} = \frac{\tan \frac{\beta + \gamma}{2}}{\tan \frac{\beta - \gamma}{2}}</math>

Beweis mit Mollweideschen Formeln

Aus der Winkelsumme im Dreieck <math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ</math> und dem Übergang zum Komplementärwinkel des Tangens folgt:

<math>\tan\frac{\beta + \gamma}{2} = \tan \frac{180^\circ - \alpha}{2} = \tan \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = \cot \frac{\alpha}{2}</math>

Aus den Mollweideschen Formeln folgt daraus der Tangenssatz:

<math>\frac{b + c}{b - c}

= \frac{b + c}{a} \cdot \frac{a}{b - c} = \frac{\cos \frac{\beta - \gamma}{2}} {\sin \frac{\alpha }{2}} \cdot \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\beta - \gamma}{2}} = \cot \frac{\beta - \gamma}{2} \cdot \cot \frac{\alpha}{2} = \frac{\cot \frac{\alpha}{2}}{\tan \frac{\beta - \gamma}{2}} = \frac{\tan \frac{\beta + \gamma}{2}}{\tan \frac{\beta - \gamma}{2}}</math>

Verallgemeinerung für Sehnenvierecke

Eine Verallgemeinerung des Tangenssatzes gilt für Sehnenvierecke <math>ABCD</math>. Für die Seitenlängen <math>a = |\overline{AB}|</math>, <math>b = |\overline{BC}|</math>, <math>c = |\overline{CD}|</math>, <math>d = |\overline{DA}|</math> und die Winkelgrößen <math>\alpha = \angle{DAB}</math>, <math>\beta = \angle{ABC}</math> gilt:<ref>Emmanuel Antonio José García: A Generalization of the Law of Tangents. In: Mathematics Magazine. Band 97, Nr. 3, 2024, S. 274–275, doi:10.1080/0025570X.2024.2336633. </ref>

<math>\frac{(a+c) \cdot (b+d)}{(a-c) \cdot (b-d)} = \frac{\tan \tfrac{\alpha + \beta}{2}}{\tan \tfrac{\alpha - \beta}{2}}</math>

Diese Formel reduziert sich für <math>c = 0</math> auf den Tangenssatz für Dreiecke.

Tangenssatz für Kugeldreiecke

Für Kugeldreiecke gelten die Gleichungen<ref>Wolfram: Spherical Law of Tangents</ref><ref>Rob Johnson, West Hills Institute of Mathematics: Spherical Trigonometry</ref>

<math>\frac{\tan{\frac{a + b}{2}}}{\tan{\frac{a - b}{2}}} = \frac{\tan{\frac{\alpha + \beta}{2}}}{\tan{\frac{\alpha - \beta}{2}}}</math>

<math> \frac{\tan{\frac{b + c}{2}}}{\tan{\frac{b - c}{2}}} = \frac{\tan{\frac{\beta + \gamma}{2}}}{\tan{\frac{\beta - \gamma}{2}}}</math>

<math> \frac{\tan{\frac{c + a}{2}}}{\tan{\frac{c - a}{2}}} = \frac{\tan{\frac{\gamma + \alpha}{2}}}{\tan{\frac{\gamma - \alpha}{2}}}</math>

Dabei sind <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> die Seiten (Kreisbögen) des Kugeldreiecks und <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> die gegenüberliegenden Winkel auf der Kugeloberfläche.

Geschichte

Der Tangenssatz wurde von dem persischen Mathematiker Abu l-Wafa im 10. Jahrhundert entdeckt.<ref></ref>

Auch Ibn Muʿādh al-Dschaiyānī beschrieb im 11. Jahrhundert den Tangenssatz für ebene Dreiecke.<ref name=Debarnot></ref>

Der Tangenssatz für sphärische Dreiecke wurde im 13. Jahrhundert von dem persischen Mathematiker Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274) beschrieben, der in seiner fünfbändigen "Abhandlung über das Viereck" auch den Sinussatz für ebene Dreiecke präsentierte.<ref name=Debarnot /><ref></ref>

Siehe auch

• Sinussatz
• Kosinussatz
• Formelsammlung Trigonometrie

Literatur

• Fachredaktion des Bibliographischen Instituts (Hrsg.): Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis. Bearbeitet von Prof. Dr. Harald Scheid. 4. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1985, DNB 850380359, S. 617 ff.,622. 
• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. Springer 2007, S. 129 (Auszug (Google))
• Johannes Tropfke: Geschichte der Elementarmathematik. Band 5. I: Ebene Trigonometrie. II: Sphärik und sphärische Trigonometrie. Walter de Gruyter, 1923, ISBN 3-11-144776-6, S. 79–82, doi:10.1515/9783111447766.70, Auszug (Google)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Law of Tangents. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

<references />

Hinweise

<references group="H" />