Van-Cittert-Dekonvolution

Die Van-Cittert-Dekonvolution (benannt nach Pieter Hendrik van Cittert) ist ein Verfahren, um die Faltung eines Bildes g mit einer Filtermaske (PSF) h rückgängig zu machen (Dekonvolution/inverse Filterung). Sie kann zur Verbesserung der Bildqualität benutzt werden, wenn das Bild zum Beispiel durch ein unscharfes Objektiv o. ä. „verwaschen“ wurde. Das Bild g stellt das ideale Bild dar, das man als Ergebnis des Verfahrens erhalten möchte. Das verwaschene Bild f, das den Ausgangspunkt des Verfahrens darstellt, wird beschrieben durch:

<math>f=\mathcal{H}\ g=g * h</math>

Hier entspricht <math>\mathcal{H}</math> dem Filteroperator, der durch Faltung mit h dargestellt wird. Ziel ist es, folgenden Ausdruck zu berechnen:

<math>g=\mathcal{H}^{-1}\ f</math>

Die Van-Cittert-Dekonvolution approximiert diesen durch eine iterative Formel:

<math>g_{k+1}=f+(\mathcal{I}-\mathcal{H})g_k=f+(I-h) * g_k</math>

Dabei ist <math>\mathcal{I}</math> ein Operator, dessen Punktantwort I einem Delta-Puls entspricht (überall 0, nur in der Mitte 1). Die Operation <math>\mathcal{I}g_k</math> ergibt also gerade <math>g_k</math>. Die Stärke der Rückfaltung hängt von der Anzahl der Iterationsschritte k ab. Je mehr Iterationsschritte durchgeführt werden, desto stärker ist die Rückfaltung (Schärfung). Dafür wird das Bildrauschen bei zu großer Anzahl an Iterationen verstärkt und somit das Bild wieder undeutlich.

Beispiel[Bearbeiten]

Die folgenden Bilder zeigen die Anwendung der Van-Cittert-Iteration auf ein weichgezeichnetes Bild (3×3-Gauß-Filter):

Herleitung[Bearbeiten]

Im Fourierraum wird die Faltung zu einer punktweisen Multiplikation, sodass gilt:

Dies lässt sich leicht berechnen, wenn die Übertragungsfunktion <math>\hat h</math> keine Nullstellen enthält, da sonst eine Division durch 0 nötig wäre. Um dieses Problem zu umgehen, führt man <math>\hat h'=1-\hat h</math> ein. Damit gilt dann:

<math>\hat g=\frac{\hat f}{\hat h}=\frac{\hat f}{1-\hat h'}\approx (1+\hat h'+\hat h'^2+\hat h'^3+ \ldots)\cdot \hat f</math>

Im letzten Schritt wurde eine Taylor-Entwicklung durchgeführt. Dabei wird der Term <math>(1-\hat h')^{-1}</math> um die invariante Abbildung <math>\hat h=1</math>, bzw. <math>\hat h'=0</math> entwickelt. Im Ortsraum ergibt dieser Ausdruck:

<math>g=\mathcal{H}^{-1}f\approx (\mathcal{I}+\mathcal{H}'+\mathcal{H}'^2+\mathcal{H}'^3+ \ldots)f</math> mit <math>\mathcal{H}'=\mathcal{I}-\mathcal{H}</math>.

Unter Ausnutzung des Horner-Schemas für dieses Polynom erhält man obige Iterationsvorschrift:

<math>g_{k+1}=f+(\mathcal{I}-\mathcal{H})g_k=f+(I-h) * g_k</math>

Literatur[Bearbeiten]

P. H. van Cittert: Zum Einfluß der Spaltbreite auf die Intensitätsverteilung in Spektrallinien. II. In: Zeitschrift für Physik. Band 69, Nr. 5, 1. Mai 1931, S. 298–308, doi:10.1007/BF01391351.
Bernd Jähne: Digitale Bildverarbeitung. 6. Auflage, Springer, 2005, ISBN 3-540-24999-0.