Weil-Algebra

In der Mathematik ist die Weil-Algebra (ursprünglich von Henri Cartan eingeführt und nach André Weil benannt) ein Hilfsmittel bei der Berechnung charakteristischer Klassen.

Definition

Es sei <math>\mathfrak g</math> eine Lie-Algebra. Die Weil-Algebra ist die graduierte Algebra

<math>W^n(\mathfrak g)=\bigoplus_{2p+q=n}S^p(\mathfrak g^*)\otimes \Lambda^q(\mathfrak g^*)</math>,

wobei <math>\mathfrak g^*</math> der duale Vektorraum, <math>S^*(\mathfrak g^*)</math> die Polynomalgebra und <math>\Lambda^*(\mathfrak g^*)</math> die Graßmann-Algebra ist.

Explizite Definition des Differentials

Sei <math>e_1,\ldots,e_m</math> eine Basis von <math>\mathfrak g</math>. Seien <math>c_{ij}^k</math> die Strukturkonstanten, also <math>\left[e_i,e_j\right]=c_{ij}^ke_k</math>. Die Weil-Algebra <math>W^*(\mathfrak g)</math> hat Erzeuger <math>\theta_1,\ldots,\theta_m</math> vom Grad 1 und <math>\mu_1,\ldots,\mu_m</math> vom Grad 2. Dann ist das Differential definiert durch

<math>d(\theta_i)=\mu_i-\frac{1}{2}\sum_{j,k}c_{jk}^i\theta_j\theta_k</math>

<math>d(\mu_i)=-\sum_{jk}c_{jk}^i\theta_j\mu_k</math>.

Die Kohomologie von <math>(W(\mathfrak{g}),d)</math> ist trivial (außer in Grad 0).

Konstruktion charakteristischer Klassen

Ein Zusammenhang <math>\omega\in\Omega^1(P,\mathfrak g)</math> auf einem <math>G</math>-Prinzipalbündel <math>\pi\colon P\to M</math> induziert einen Homomorphismus

<math>f_\omega\colon \Omega^1(\mathfrak{g})\to \Omega^1(P,\R)</math>,

der sich zu einem Homomorphismus differentieller graduierter Algebren

<math>f_\omega\colon W(\mathfrak{g})\to\Omega^*(P,\R)</math>

fortsetzen lässt.<ref>Theorem 5.18 in: J.I. Burgos Gil: "The regulators of Beilinson and Borel." CRM Monograph Series, 15. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002. ISBN 0-8218-2630-1</ref> Die <math>G</math>-invarianten Elemente von <math>W^{2k}(\mathfrak{g})</math> werden auf (das Urbild von) <math>\Omega^{2k}(M,\R)</math> abgebildet und definieren charakteristische Klassen in <math>H^{2k}_{dR}(M;\R)</math>. (Diese Konstruktion wird als Chern-Weil-Homomorphismus bezeichnet.)

Relative Weil-Algebra

Sei <math> G</math> eine Lie-Gruppe und <math>K\subset G</math> eine maximal kompakte Untergruppe mit Lie-Algebra <math>\mathfrak{k}\subset\mathfrak{g}</math>. Die relative Weil-Algebra ist definiert als

<math>W(G,K)=(S(\mathfrak{g}^*)\otimes \Lambda(\mathfrak{g}/\mathfrak{k}))^K</math>.

Sei <math>BG</math> der klassifizierende Raum und <math>EG\to BG</math> das universelle Bündel der Lie-Gruppe <math>G</math>. Man hat kanonische Isomorphismen der Kohomologiegruppen

<math>H^*(W(G,K))=H^*(EG/K)=H^*(BG)=I(K)</math>

mit dem Ring <math>I(K)</math> der invarianten Polynome.

Die relative Weil-Algebra wird bei der Berechnung sekundärer charakteristischer Klassen von lokal symmetrischen Räumen verwendet.

Literatur

• W. Greub, S. Halperin, R. Vanstone, "Connections, curvature, and cohomology. Volume III: Cohomology of principal bundles and homogeneous spaces." Pure and Applied Mathematics, Vol. 47-III. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1976 (Chapter VI).
• H. Cartan, "Cohomologie réelle d'un espace fibré principal differentiable", Sem. H. Cartan 1949/50, Exp. 19–20 (1950).
• H. Cartan, "Notions d’algébre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés ou opère un groupe de Lie", Colloque de topologie (espaces fibrés), Bruxelles, (1950), pp. 15–27.
• J.L. Dupont, F.W. Kamber, "On a generalization of Cheeger–Chern–Simons classes" Illinois J. Math. 34 (1990), no. 2, 221–255.
• F.W. Kamber, Ph. Tondeur, "Foliated bundles and characteristic classes", Lecture Notes in Mathematics, 493, Springer (1975).
• F.W. Kamber, Ph. Tondeur, "Semi-simplicial Weil algebras and characteristic classes" Tôhoku Math. J. 30 (1978) pp. 373–422 (pdf).
• J.L. Dupont, F.W. Kamber, "Cheeger-Chern-Simons classes of transversally symmetric foliations: dependence relations and eta-invariants." Math. Ann. 295 (1993), no. 3, 449–468, doi:10.1007/BF01444896.

Weblinks

• Weil Algebra of a Lie Algebra (Encyclopedia of Mathematics)
• Weil Algebra (nLab)

Einzelnachweise

<references />